数字信号处理第2章(1).ppt

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1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引言引言 2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的z域解域解 2.4 维纳预测维纳预测 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.0 理论基础理论基础一、信号分类:(确定性信号,随机信号)1、确定性信号:其幅度随时间的变化有规律性.2、随机信号:任何时间信号的大小不能预测,不能用一明确的数学关系进行描述；存在统计规律,可用概率密度函数、概率分布函数、特征函数和数字特征来描述。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 二、随机信号的形式连续随

2、机信号：时域离散随机信号（随机序列）：幅值离散随机信号：离散随机序列（随机数字信号）：第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引引 言言 一、基本概念一、基本概念1、信信号号处处理理中中的的问问题题：如如何何最最大大限限度度地地抑抑制制噪噪声声，并并将有用信号分离出来。将有用信号分离出来。2、信信号号处处理理的的目目的的：就就是是要要得得到到不不受受干干扰扰影影响响的的真真正正信号。信号。3、处处理理系系统统称称为为滤滤波波器器。（只只考考虑虑加加性性噪噪声声的的影影响响，即观测数据即观测数据x(n)是信号是信号s(n)与噪声与噪声v(n)之和）之和）,即即 x(n)=s(n)+v(n)（2.1

3、.1）第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.1.1 观测信号的组成 观测信号观测信号x(n)是信号是信号s(n)与噪声与噪声v(n)之和，之和，即：即：x(n)=s(n)+v(n)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.1.2 信号处理的一般模型 若滤波系统的单位脉冲响应若滤波系统的单位脉冲响应h(n),如上图如上图.将观测信号将观测信号x(n)送入滤波系统送入滤波系统,实际输出为实际输出为y(n),y(n)是是s(n)的逼近或估计的逼近或估计.理想情况理想情况:输入输入x(n),系统的期望输出用系统的期望输出用yd(n)表示，表示，yd(n)=s(n)实际情况实际情况:输入输入x(n),系统的

4、输出为系统的输出为y(n)，y(n)=第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 因此因此,滤波系统对信号滤波系统对信号x(n)进行处理，可以进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作看作是一个估计器，也就是说是一个估计器，也就是说,信号处理的目的是要信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么，得到信号的一个最佳估计。那么，采用不同的采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估计，的估计，在通信中称为在通信中称为波形估计波形估计;在自动控制在自动控制中，称为动态估计。中，称为动态估计。第二章 维纳滤波和

5、卡尔曼滤波 二、系统分类：二、系统分类：1、假假若若已已知知x(n-1),x(n-2),x(n-m)，要要估估计计当当前前及及以以后后时时刻刻的的信信号号值值s(n+N),N0，这这样样的的估估计计问问题题称称为为预测问题；预测问题；2、若若已已知知x(n-1),x(n-2),x(n-m)，要要估估计计当当前前的的信信号值号值s(n)，称为过滤或滤波；称为过滤或滤波；3、根根据据过过去去的的观观测测值值x(n-1),x(n-2),x(n-m)，估估计计过去的信号值过去的信号值s(n-N),N1，称为平滑或内插。称为平滑或内插。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 三、三、Wiener滤波和滤波和Kal

6、man滤波滤波 维维纳纳(Wiener)滤滤波波与与卡卡尔尔曼曼(Kalman)滤滤波波就就是是用用来来解解决决这这样样一一类类从从噪噪声声中中提提取取信信号号的的过过滤滤或或预预测测问问题题,并并以以估估计计的的结结果果与与信信号号真真值值之之间间的的误误差差的的均均方方值值最最小小作为最佳准则。作为最佳准则。如最小均方误差如最小均方误差:(Minimum Mean Square Error)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 1、Wiener波器的求解，要求知道随机信号的统计分波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到的结果是布规律（自相关函数或功率谱密度），得到

7、的结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号。机信号。2、Kalman滤波是利用状态变量模型来研究随机过程，滤波是利用状态变量模型来研究随机过程，Kalman提出了递推最优估计理论，解决了非平稳、多提出了递推最优估计理论，解决了非平稳、多输入输出随机序列的估计问题。特点是：采用递推输入输出随机序列的估计问题。特点是：采用递推（用前一状态的估计值和最近一

8、个观测数据，估计当（用前一状态的估计值和最近一个观测数据，估计当前状态值），适于计算机处理，适用领域宽。前状态值），适于计算机处理，适用领域宽。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 Wiener滤波器的设计实质就是：选择滤波器的设计实质就是：选择h(n)，使输出使输出y(n)与期望信号与期望信号d(n)的误差均方值最小，即均方误差最的误差均方值最小，即均方误差最小准则下的最佳滤波器设计。小准则下的最佳滤波器设计。假设滤波器系统假设滤波器系统h(n)是一个线性时不变系统，是一个线性时不变系统，即即(1)线性线性设系统对设系统对x1(n)的响应

9、是的响应是y1(n),对对x2(n)的响的响应是应是y2(n);y1(n)=Tx1(n),y2(n)=Tx2(n);该系统对该系统对ax1(n)+bx2(n)的响应是的响应是ay1(n)+by2(n).(2)时不变时不变Tx(n)=y(n),则则Tx(n-k)=y(n-k)又假设它的单位脉冲响应和输入信号都是复函数，设：又假设它的单位脉冲响应和输入信号都是复函数，设：h(n)=a(n)+jb(n),n=0,1,2,第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法维纳滤波器时域求解的方法根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出y(n),n=0,1,2,

10、（2.2.2）设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E|e(n)|2分别为 e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)（2.2.）（2.2.）第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小，须满足（2.2.5）这里，hj表示h(j);同理，可以用aj，bj分别表示a(j)，b(j)。由于误差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求导问题，它等价于 j=0,1,2,（2.2.6）记 j=0,1,2,（2.2.）第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为（2.2.8）将（2.2.8）式展开（2.2.9）又根据（2.2.1）(2.2.3)式 第二章

11、 维纳滤波和卡尔曼滤波（2.2.14)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 因此 Ex*(n-j)e(n)=0 j=0,1,2,（2.2.15）上上式式说说明明，均均方方误误差差达达到到最最小小值值的的充充要要条条件件是是误误差差信信号号与与任任一一进进入入估估计计的的输输入入信信号号正正交交，这这就就是是通通常常所所说说的的正正交交性性原原理理。它它的的重重要要意意义义在在于于提提供供了了一一个个数数学学方方法法，用用以以判判断断线线性性滤滤波波系系统统是否工作于最佳状态。是否工作于最佳状态。将（2.2.10）（2.2.13）式代入（2.2.9）式，得 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 下面计算输出信号

12、与误差信号的互相关函数(2.2.16)假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n)的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到(2.2.17)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.2.1 期望信号、估计值与误差信号的几何关系 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号，即 注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值,应用正交性原理,则,因此在滤波器处于最佳状态时，估计值的能量总是小于等于

13、期望信号的能量。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程将（2.2.15）式展开，可以得到 将上式展开，得到 k=0,1,2,对上式两边取共轭，利用相关函数的性质:ryx(-k)=r*xy(k),得到 k=0,1,2,(2.2.20)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波(2.2.20)式称为维纳-霍夫（WienerHopf）方程。当h(n)是一个长度为M的因果序列(即h(n)是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为 k=0,1,2,(2.2.21)把k的取值代入(2.2.21)式，得到 当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+hMrxx(M-1)=rxd

14、(0)当k=1时，h1rxx(1)+h2rxx(0)+hMrxx(M-2)=rxd(+1)当k=M-1时，h1rxx(M-1)+h2rxx(M-2)+hMrxx(0)=rxd(M-1)(2.2.22)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 定义 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波（2.2.22）式可以写成矩阵的形式，即(2.2.23)(2.2.24)对上式两边同乘 ，得到 上式表明已知期望信号上式表明已知期望信号d(n)与观测数据与观测数据x(n)的互相关的互相关函数函数rxd及观测数据的自相关函数及观测数据的自相关函数rxx时，可以通过矩时，可以通过矩阵求逆运算，阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。得到维纳

15、滤波器的最佳解。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 但但,同同时时可可以以看看到到，直直接接从从时时域域求求解解因因果果的的维维纳纳滤滤波波器器，当当选选择择的的滤滤波波器器的的长长度度M较较大大时时，计计算算工工作作量量很很大大，并并且且需需要要计计算算Rxx的的逆逆矩矩阵阵，从从而而要要求求的的存存贮贮量量也也很很大大。此此外外，在在具具体体实实现现时时，滤滤波波器器的的长长度度是是由由实实验验来来确确定定的的，如如果果想想通通过过增增加加长长度度提提高高逼逼近近的的精精度度，就就需需要要在在新新M基基础础上上重重新新进进行行计计算算。因因此此，从从时域求解维纳滤波器，并不时域求解维纳滤波器，并

16、不是一个有效的方法。是一个有效的方法。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.3 估计误差的均方值估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，将(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到(2.2.25)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式可以进一步化简得到 可以看出，均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次函数关系。由于单位脉冲响应h(n)为M维向量，因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取得最小值。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 将（2.2.24）式代入(2.2.26)式，得到最小均方误差(

17、2.2.27)例2.2.1 设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差22=0.1。期望信号x1(n)的信号模型如图2.2.2（a）所示，其中白噪声v1(n)的方差21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信号模型如图2.2.2（b）所示，b1=0.9458。假定v1(n)与v2(n)、x1(n)与y(n)不相关，并都是实信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波器是一长度为2的FIR滤波器。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.2.2 输入信号与观测数据的模型 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 解解 这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程的典型问题，其关键在于求

18、出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的互相关函数。图 2.2.3 维纳滤波器的框图 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图2.2.3所示。用H1(z)和H2(z)分别表示x1(n)和x(n)的信号模型，那么滤波器的输入信号x(n)可以看作是v1(n)通过H1(z)和H(z)级联后的输出，H1(z)和H(z)级联后的等效系统用H(z)表示，输出信号y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵Ryy和输出信号与期望信号的互相关矩阵Ryd是解决问题的关键。相关函数矩阵由相关函数值组成，已知x(n)与v2(n)不相关，那么 第二章 维纳

19、滤波和卡尔曼滤波 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波(1)求出期望信号的方差。根据图2.2.2(a)，期望信号的时间序列模型所对应的差分方程为 x1(n)=v1(n)-b0 x1(n-1)这里，b0=0.8458,由于x1(n)的均值为零，其方差与自相关函数在零点的值相等。第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (2)计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知时间序列信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号的模型H(z)可以通过计算得到。这是一个二阶系统，所对应的差分方程为 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，a1=-0.1

20、，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值为零，因此，x(n)的均值为0。给方程两边同乘以x*(n-m)，并取数学期望，得到 rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0 m0(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m=0(2)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 对方程（1）取m=1,2，得到 rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0(3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0(4)方程（2）、（3）、（4）联立求解，得 至此，输入信号的自相关矩阵Rxx可以写出：第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 v2(n)是一个零均值的白噪声，它的

21、自相关函数矩阵呈对角形，且，因此，输出信号的自相关Ryy为 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波(3)计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。由于两个信号都是实信号，故 ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m)=E(x(n)+v2(n)x1(n-m)=Ex(n)x1(n-m)m=0,1 根据图2.2.2系统H2(z)的输入与输出的关系,有 x1(n)-b1x(n-1)=x(n)推出 x1(n)=x(n)+b1x(n-1)这样 ryd(m)=Ex(n)x1(n-m)=Ex(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m)=rxx(m)+b1rxx(m-1)第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 将m

22、=0,m=1代入上式,得 ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.94580.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.94581=-0.4458 因此，输出信号与期望信号的互相关Ryd为 求出输出信号自相关的逆矩阵,并乘以Ryd,就可以得到维纳滤波器的最佳解Wopt:第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 把Wopt代入（2.2.27）式，可以计算出该维纳滤波达到最佳状态时均方误差，即取得了最小值E|e(n)|2min，第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 小结1、Wiener滤波器的最优设计准则:最小均方误差2、Wiener-hopf方程3、最小均方误差：4、常用模型：FIR5、正交原理：误差与每个输入量都正交。