高等数学方明亮版课件2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第四节第四节 隐函数隐函数及及由参数方程由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数 第二章第二章 三、相关变化率三、相关变化率二、二、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数四、小结与思考题四、小结与思考题12/28/20221返回返回上页上页下页下页目录目录一、隐函数的导数一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数

2、.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)12/28/20222返回返回上页上页下页下页目录目录在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数例例1 求由方程12/28/20223返回返回上页上页下页下页目录目录在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例例2 求椭圆12/28/20224返回返回上页上页下页下页目录目录的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导例例3 求12/28/20225返回返回上页上页下页下页目录目录 1)对幂指函数可用对数求导法对数求导法求导:按指数函数求导公式按幂函数求导公式

3、注意注意:说明说明:12/28/20226返回返回上页上页下页下页目录目录例如例如,两边取对数两边对 x 求导2)有些显函数用对数求导法求导很方便.12/28/20227返回返回上页上页下页下页目录目录对 x 求导两边取对数又如又如,12/28/20228返回返回上页上页下页下页目录目录二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有关系,时,有(此时看成 x 是 y 的函数)12/28/20229返回返

4、回上页上页下页下页目录目录二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得若上述参数方程中12/28/202210返回返回上页上页下页下页目录目录点击图中任意点动画开始或暂停12/28/202211返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：12/28/202212返回返回上页上页下页下页目录目录而而所以，所以，于是所求切线方程为于是所求切线方程为即即12/28/202213返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：12/28/202214返回返回上页上页下页下页目录目录确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故例例6 设由方程12/28/202215返回返回上页上页下页下页目录目

5、录三、相关变化率三、相关变化率（Related Rates of Change）为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率12/28/202216返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：12/28/202217返回返回上页上页下页下页目录目录12/28/202218返回返回上页上页下页下页目录目录由由(2)可得可得12/28/202219返回返回上页上页下页下页目录目录其速率为当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则

6、两边对 t 求导已知 h=500m 时,例例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,12/28/202220返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法4.相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公从低到高每次都用

7、参数方程求导公式式12/28/202221返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习题习题2-4 1（2）（）（4）；）；3；5（2）（）（4）；）；6（2）；）；7；10思考与练习思考与练习求1.设答案答案:12/28/202222返回返回上页上页下页下页目录目录由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求2.设12/28/202223返回返回上页上页下页下页目录目录试求当容器内水 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的两边对 t 求导而故体积为 V,则3.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,现以12/28/202224返回返回上页上页下页下页目录目录考研真题考研真题12/28/202225返回返回上页上页下页下页目录目录12/28/202226