线性代数16方阵的行列式.ppt

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1、第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 回忆回忆:1.5一开始提出的问题一开始提出的问题.习题习题1(B)第第17题题:a11 a12 a21 a22A=可逆可逆 一阶方阵一阶方阵a可逆可逆 a 0.a11a22 a12a21 0 a11 a12 a21 a22 D=0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 1.6 方阵的行列式方阵的行列式 历史上历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明行列式因线性方程组的求解而被发明 G.W.Leibniz德德(164

2、6.7.11646.7.1 1716.11.141716.11.14)S.Takakazu日日(1642?1642?1708.10.241708.10.24)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 (a11a22 a12a21)x1=b1a22 a12b2(a11a22 a12a21)x2=a11b2 b1a21 当当a11a22 a12a21 0时时,a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21,x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.消元

3、法消元法由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即一一.行列式行列式(determinant)的定义的定义 主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a21 a22记记D=,b1 a12 b2 a22D1=,a11 b1a21 b2D2=,则当则当

4、D=a11a22 a12a21 0时时,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21有唯一确定的解有唯一确定的解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积

5、冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例2.1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2=14.14.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 一般地一般地,在在n阶行列式中阶行列式中,把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去,留下来的留

6、下来的n 1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素aij的的余子式余子式(minor),记作记作Mij,令令Aij=(1)i+jMij,并称之为并称之为aij的的代数余子式代数余子式(cofactor).例如例如,四阶阶行列式四阶阶行列式中中中中a a3232的余子式为的余子式为的余子式为的余子式为 a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13 a

7、 a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232=,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A A3232 =(=(1 1)3+23+2MM32 32=MM3232.a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33a11的的余子式余子式:a22 a23 a32 a33M11=代数余子式代数余子式:A11=(1)1+1M1

8、1 a12的的余子式余子式:a21 a23 a31 a33M12=代数余子式代数余子式:A12=(1)1+2M12 a13的的余子式余子式:M13=代数余子式代数余子式:A13=(1)1+3M13 a21 a22 a31 a32a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 3阶方阵阶方阵A=的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33|A|=a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a

9、33=a11A11+a12A12+a13A13=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 补充补充.数学归纳法数学归纳法(Principle of mathematical induction)(Principle of mathematical induction)1.第一数学归纳法原理第一数学归纳法原理:则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.设设P是一个关于自然数

10、是一个关于自然数n的命题的命题,若若 P对于对于n=n0成立成立.当当n n0时时,由由“n=k时时P成立成立”可推出可推出“n=k+1时时P成立成立”,第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 2.第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理:设设P为一个关于自然数为一个关于自然数n的命题的命题,若若 P对于对于n=n0成立成立,由由“n0 n k时时P成立成立”可推出可推出 “n=k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式

11、方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=a11A11+a12A12+a1nA1n 假设假设n 1阶行列式已经定义阶行列式已经定义,=a a1111(1)1)1+11+1MM1111 +a a1212(1)1)1+21+2MM1212 +a a1 1n n(1)1+nM1n n 1阶行列式阶行列式(LaplaceLaplace Expansion of Determinants)Expansion of Determinants)P.-S.P.-S.Laplace Laplace 法法法法 (1749.3.231827.3.5

12、)则定义则定义n阶行列式阶行列式 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例2.1 2 1 2

13、4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2=14.14.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例3.下三角形下三角形(lower triangular)行列式行列式 a11 0 0a21 a22 0 an1 an2 ann=a11 a22ann.例例4.上三角形上三角形(upper triangular)行列式行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann=a11 a22ann.第一章第一章 (determinant)(determinant)教学目的和要求教学目的和要求 ：1 1、理解行

14、列式的性质。、理解行列式的性质。2 2、掌握行列式的计算方法。、掌握行列式的计算方法。3 3、理解伴随矩阵的定义及性质。、理解伴随矩阵的定义及性质。4 4、了解行列式的应用。、了解行列式的应用。本节重难点本节重难点 ：重点重点是掌握行列式的计算方法是掌握行列式的计算方法；伴随矩阵的定义及性质；伴随矩阵的定义及性质；难点难点是伴随矩阵的性质；是伴随矩阵的性质；第六节 行列式（2）第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 二二.行列式的性质行列式的性质 性质性质1.互换行列式中的两列互换行列式中的两列,行列式变号行列式变号.推论推

15、论.若行列式若行列式 D 中有两列完全相同中有两列完全相同,则则 D=0.a11 a12 a21 a22例如例如=a11a22 a12a21,a12 a11 a22 a21=a12a21 a11a22.1 1 2 2 D=1 1 2 2=D D=0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质2.(线性性质线性性质)(1)det(1,k j,n)=kdet(1,j,n);(2)det(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).现学现用现学现用(1)设设A为为n阶方阵阶方阵,则则det(A)=_ det

16、(A).(1)n(2)a+b c+d u+v x+y=.a a c c u u x x +b b d d v v y y ,a a c c u u x x +a a d d u u y y +b b c c v v x x +b b d d v v y y .第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 推论推论.若行列式若行列式 D 中有两列元素成比例中有两列元素成比例,则则 D=0.a a11 11 a a1 1i i k ka a1 1i i a a1 1n n a a2121 a a2 2i i k ka a2 2i i

17、a a2 2n n a an n1 1 a an ni i k ka an ni i a annnn=k0=0.=0.=ka a11 11 a a1 1i i a a1 1i i a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2i i a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an ni i a annnn例例第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质3.把行列式的某一列的把行列式的某一列的k倍加到另一列倍加到另一列 上去上去,行列式的值不变行列式的值不变.a a11 11 (

18、a a1 1i i+k ka a1 1j j)a a1 1j j a a1 1n n a a2121 (a a2 2i i+k ka a2 2j j)a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 (a an ni i+k ka an nj j)a an nj j a annnn=a a11 11 a a1 1i i a a1 1j j a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an nj j a annnn+a a11 11 k ka a1 1j j a a1 1j j a a1 1

19、n n a a2121 k ka a2 2j j a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 k ka an nj j a an nj j a annnn第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例1.1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 (2)2)1 0 1 0 4 4 =-=-2 6 1 2 6 1 3 10 3 10 2 2 1 1 0 0 0 0 =-=-2 2 (7 7)2 2 3 3 1 1 3 3 5 5 2 2 1 1 0 0 0 0=14 =14 2 2 0

20、 0 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0=-=-1414 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1=14.14.4 4 1 0 0 1 0 0 =-=-2 6 2 6 7 7 3 10 3 10 1414 (3)3)注注:本题也可以用定义或对角线法则计算本题也可以用定义或对角线法则计算.2 1 2 1 4 4 2 -2 1 2 -2 1 4 -3 4 -3 2 2=-=-第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质4.设设A,B为同阶方阵为同阶方阵,则则|AB|=|A|B|.性质性质5.|AT|

21、=|A|.注注:根据方阵的性质根据方阵的性质5,前面几条关于前面几条关于列列的的 性质可以翻译到性质可以翻译到行行 的情形的情形.例如例如:性质性质1.互换行列式中的两互换行列式中的两行行,行列式变号行列式变号.A.L.A.L.Cauchy Cauchy 法法法法 (1789.8.211789.8.21 1857.5.231857.5.23)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.7.n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和

22、之和.即即 D=a11A11+a12A12+a1nA1n =a21A21+a22A22+a2nA2n =an1An1+an2An2+annAnn =a11A11+a21A21+an1An1 =a12A12+a22A22+an2An2 =a1nA1n+a2nA2n+annAnn.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).定理定理1.8.设设D=|aij|,则则 aikAjk=D ij,k k=1=1n n a

23、kiAkj=D ij.k k=1=1n n注注:克罗内克记号克罗内克记号 ij=1,i=j,0,i j.L.L.KroneckerKronecker 德德德德(1823.12.71823.12.7 1891.12.291891.12.29)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 三三.行列式的计算行列式的计算 1.二二,三阶行列式三阶行列式对角线法则对角线法则.例例例例2 2 2 2 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的

24、行列式 2.按某一行按某一行(列列)展开展开降阶降阶.例例例例2 2 2 2例例3计算计算解解评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用练习练习计算计算 （见（见 P52

25、 25（3）第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 (其中其中n 2,x a).Dn=x a a a x a a a x 例例4.计算计算n阶行列式阶行列式 3.利用初等变换化为三角形利用初等变换化为三角形.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 Dn=x a a a x a a a xx+(n 1)a a a x+(n 1)a x a x+(n 1)a a x=解解:(1 1)x+(n 1)a a a a a 0 x a 0 0 0 0 0 x a 0

26、0 0 0 0 x a 0 0 0 0 0 x a =x+(n 1)a(x a)n 1.练习练习 计算解法一解法二解法二第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 4.递推递推/归纳归纳.(未写出的元素都是未写出的元素都是0).例例5.计算计算2n阶行列式阶行列式 D2n=a b a b c d c d 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 解解解解:D D2 2n n=a=a.a a a a b b b b 0 0 c c c c 0 0 d d d d

27、0 0 0 0 d d .0 0 a a a a b b b b c c 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b.a a 0 0 0 0 a a a a b b c c d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 b b b b 0 0 0 0 c c c c 0 0.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 =a=a.a a a a b b b b 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 a a a a b b b b

28、 c c 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b=ad Dad D2(2(n n 1 1)bcbc D D2(2(n n 1 1)=(=(ad ad bcbc)D D2(2(n n 1 1)=(=(ad ad bcbc)2 2D D2(2(n n 2 2)=(=(ad ad bcbc)3 3D D2(2(n n 3 3)=(=(ad ad bcbc)n n 1 1 D D2 2=(=(ad ad bcbc)n n.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例6.证明

29、证明n阶级阶级(n 2)范德蒙行列式范德蒙行列式 D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an n n n-1-1=(a ai i a aj j).).n n i i j j 1 1 Alexandre-Thophile Vandermonde Born:28 Feb 1735 in Paris,France Died:1 Jan 1796 in Paris,France 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行

30、列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 四四.行列式的应用行列式的应用 设设A=aijn n为方阵为方阵,元素元素aij的代数余子的代数余子 式为式为Aij,则称如下矩阵则称如下矩阵 A*=A11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 为方阵为方阵A的的伴随矩阵伴随矩阵(adjoint).1.伴随矩阵与逆矩阵伴随矩阵与逆矩阵 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例7.求求A=a b c d 的伴随矩阵的伴随矩阵.解解:A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.A*=A11 A21 A1

31、2 A22=d b c a.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例8.设设A为方阵为方阵,A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵.证明证明:AA*=A*A=|A|E.证明证明:AA*=a11 a1n an1 ann A11 An1A1n Ann =n n n n a1kA1k a1kAnk k k=1 =1 k k=1=1 n n n n a1kA1k a1kAnk k k=1 =1 k k=1=1 =|A|A|.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定

32、理1.9.方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0.当当|A|0时时,有有 A 1=|A|1A*.推论推论.设设A,B为方阵为方阵,若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 1.事实上事实上,AB=E|A|0 A可逆可逆 B=EB=(A 1A)B=A 1(AB)=A 1E=A 1.A非奇异非奇异(nonsingular)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例9.求下列方阵的逆矩阵求下列方阵的逆矩阵.(1)(1)A A=1 1 2 2 3 4 3 4 ,1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 3

33、 3 4 3 4 3(2)(2)B B=.解解解解:(1):(1)A A 1 1=|A A|1 1A A*=2 2 1 1 4 4 2 2 3 1 3 1.(2)|(2)|B B|=2|=2 0 0,B B 1 1=|B B|1 1B B*B B1111=(=(1 1)1+1 1+1 2 12 14 34 3=2,=2,B B2121=6,=6,B B3131=4,4,B B1212=3 3,B B2222=6 6,B B3232=5,=5,B B1313=2,=2,B B2323=2,=2,B B3333=2.2.=2 2 1 1 2 2 6 6 4 4 3 3 6 6 5 5 2 2 2

34、2 2 2.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例10.设方阵设方阵A满足满足A2+3A E=0.证明证明:A及及A 2E可逆可逆,并求它们的并求它们的逆矩阵逆矩阵.定理定理1.10.分块对角矩阵分块对角矩阵A=diag(A1,A2,As)可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是:A1,A2,As都都可逆可逆.当当A1,A2,As都都可逆可逆时时,A 1=diag(A1 1,A2 1,As 1).类似题 P54 34n n例例例例10 10 （P47 4P47 4）已知已知已知已知 ，求，求，求，求A A-1-12.克

35、拉默法则克拉默法则(Cramers Rule)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 G.G.Cramer Cramer 瑞士瑞士瑞士瑞士 (1704.7.311704.7.31 1752.1.41752.1.4)C.C.MaclaurinMaclaurin 英英英英 (1698.21698.2 1746.6.141746.6.14)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 可以表示为可以表示为Ax=b.则线性方程组则线性方程组 x x1 1x x2 2x

36、xn n 记记x=,b b1 1b b2 2b bmm b b=,A A=a a1111 a a1212 a a1 1n na a2121 a a2222 a a2 2n n a amm1 1 a amm2 2 a amnmn ,下面讨论下面讨论A为为n阶方阵的情形阶方阵的情形.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 对于对于n元线性方程组元线性方程组记记记记D D=a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annn

37、n,D D1 1=b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn ,D D2 2=a a1111 b b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a annnn ,D Dn n=.a a1111 a a1212 b b1 1 a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn n 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵

38、的行列式 定理定理1.11.设设A为为n阶方阵阶方阵,|A|0,则方程组则方程组 有唯一解有唯一解:Ax=b,x1=D1 D x2=D2 D,xn=Dn D.证明证明:|A|0 1 D A*b x=A 1b=1 D A11 An1 A1n Ann b1 bn x1 xn n总结总结n(1)行列式的6个性质n(2)计算行列式常用方法：利用定义;利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值n作业33，第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例6.证明证明n阶级阶级(n 2)范德蒙行列式范德蒙行列式 D Dn n=1

39、1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an n n n-1-1=(a ai i a aj j).).n n i i j j 1 1 Alexandre-Thophile Vandermonde Born:28 Feb 1735 in Paris,France Died:1 Jan 1796 in Paris,France 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 =1 1 1 11 1 1

40、 10 0 a a2 2 a a1 1 a a3 3 a a1 1 a an n a a1 10 0 a a2 2(a a2 2 a a1 1)a a3 3(a a3 3 a a1 1)a an n2 2(a an n a a1 1)0 0 a a2 2n n-2-2(a a2 2 a a1 1)a a3 3n n-2-2(a a3 3 a a1 1)a an nn n-2-2(a an n a a1 1)现设等式对于现设等式对于现设等式对于现设等式对于(n n 1)1)阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立,则则则则 证明证明证明证明:当当当当n n=2=2

41、时时时时,D D2 2=(=(a a2 2 a a1 1).).D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an n n n-1 -1 (a a1 1)(a a1 1)(a a1 1)第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.6 1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 =(a2 a1)(a3 a1)(an a1)1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1)a3(a3 a1)an2(an a1)0 a2n-2(a2 a1)a3n-2(a3 a1)ann-2(an a1)=(a2 a1)(a3 a1)(an a1)(ai aj)n n i i j j 2 2=(ai aj).n n i i j j 1 1