10.2 排列 (四)--(五).ppt

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1、1.2 排排 列列 (三三)解排列问题，首先必须认真审题，明确问解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面就不同的题型介绍几种常用的解题下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧技巧.通过前面几节课的学习，我们知道，一个问题通过前面几节课的学习，我们知道，一个问题是否是排列问题，关键是看被取元素能否是

2、否是排列问题，关键是看被取元素能否“重复重复”，被取元素间是被取元素间是“有序有序”还是还是“无序无序”排列问题具有排列问题具有“无重复无重复”性和性和“有序有序”性除了运用排列公式外，性除了运用排列公式外，还要结合分类计数原理和分步计数原理，对题目进行还要结合分类计数原理和分步计数原理，对题目进行分类和细化应按元素的性质进行分类，事情的发生分类和细化应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏不重不漏.但在实际问题中，情况往往比较复杂，给出了一但在实际问题中，情况往往比较复杂，给出了一些限制的条件些

3、限制的条件 分析：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相，2个老师站中间，个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？排法？1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有 种，种，1位的排法位的排法有有 种种,第第

4、2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。例例 题题 解解 析析 一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种方法方法 (1)直接计算法直接计算法 排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素解决的办法是解决的办法是“特事特办特事特办”，对于这些特殊位置和，对于这些特殊位置和元素，实行优先考虑如上题中的分析元素，实行优先考虑如上题中的分析l和分析和分析2 (2)间接计算法间接计算法 先抛开限

5、制条件，计算出所有可能的排列数，再从先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从中减去不合题意的排列数，特别要注意，不能遗漏，中减去不合题意的排列数，特别要注意，不能遗漏，也不能重复如上题中的分析也不能重复如上题中的分析3（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？的五位偶数？个位数为零：个位数为零：个位数为个位数为2或或4：所以所以（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？分类：后两位数字为分类：后两位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：练练 习习 一一 （3

6、）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：（4）31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重复组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）排列问题应用题的解法是重点，也是难点由排列问题应用题的解法是重点，也是难点由于问题的复杂性，往往不能简单地归结为排列问题求于问题的复杂性，往往不能简单地归结为排列问题求解，也不能单纯地考虑用两个基本原理解决问题。应解，也不能单纯地考虑用两个基本原理解决问题。应该通过解题，

7、领悟一些常见的思维方法；把握一些解该通过解题，领悟一些常见的思维方法；把握一些解题的基本原则；掌握一些常用技巧题的基本原则；掌握一些常用技巧：（一）特殊元素的（一）特殊元素的“优先安排法优先安排法”对于特殊元素的排列对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素.例例1（2009 北京北京 理）理）用用0到到9这十个数这十个数字字，组成，组成没有重复数字的三位偶数的个数为（没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648 分析：分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶由于该三位数是偶数，所以末

8、尾数字必须是偶数，数，又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，元素，应优先安排应优先安排.按按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1)0排在末尾时，有排在末尾时，有A29=72 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有最后排十位有 A14 A18 A18=256 个；个；3)由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数A29+A14 A18 A18=328 个个.B 解解 题题 技技 巧巧 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组

9、成没有重复数字的三位数，其中的三位数，其中1不在个位的数共有不在个位的数共有_种种.（二）总体淘汰法（二）总体淘汰法(间接法）间接法）对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减不能多减又不能少减.分析：分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有A35个，个，0排在首位排在首位有有A24个个，1排在末尾的有排在末尾的有A24个，减掉这两种不合条件的个，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为排法数，再加回百位为0同时个位为同时个位为1的排列数的排列数A13（为什（为

10、什么？）故共有么？）故共有 种种.（1）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（站第二个位置，那么不同的站法有（）A.120 B.96 C.78 D.72直接练练 习习 二二 （2）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是且个位数字不是4的五位数？的五位数？（3）用）用间接法解例间接法解例1“6个同学和个同学和2个老师排成一排个老师排成一排照相，照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？站

11、排尾，共有多少种不同的排法？”（三）相邻问题（三）相邻问题捆绑法捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一个在一起，看作一个“大大”的元（组），的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。排列。例例3 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余与其余4人共有人

12、共有5个元素做全排列，有个元素做全排列，有 种排法，然后种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。对甲，乙，丙三人进行全排列。由分步计数原理可得：由分步计数原理可得：种不同排法。种不同排法。（四）不相邻问题（四）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析

13、：分析：可先让其余可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：插空法：插空法：（3）如果有两个男生、

14、四个女生排成一排，要）如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男求男生之间不相邻，有几种不同排法？生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：插空法：练练 习习 三三 例例5 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？（五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排

15、列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。分析：分析：先在先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有A77种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序排，只有一种顺序,故故A33 只对应一种排法，只对应一种排法，（1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？五人排队，甲在乙前面的排法有几种？（2）三个男生，四个女生排成一排，其中三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？三人的顺序不变，有几种不同排法？分析：分析：若不考虑限制条件，则有若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲

16、，种排法，而甲，乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件，故符合条件的排法有符合条件的排法有 种种.练练 习习 四四 （六）分排问题用（六）分排问题用“直排法直排法”把把n个元素排成若干排的问题，若没有其他个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例例6 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？分析分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无个人，可以在前后排随意就坐，

17、再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有不同的坐法有 种种.（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？后排四人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以所以两排可看作一排来处理两排可看作一排来处理不同的坐法有不同的坐法有 种种（2）八个人排成两排，有几种不同排法？）八个人排成两排，有几种不同排法？练练 习习 五五 （七）实验法（七）实验法 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐题中附加条件增多

18、，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。步寻求规律有时也是行之有效的方法。例例7 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3，4的的四个方格内，每个方格填四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6 B.9 C.11 D.23分析：分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决较为困难，可用实验法逐步解决.（七）实验法（七）实验法 例例7 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3

19、，4的的四个方格内，每个方格填四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6 B.9 C.11 D.23分析：分析：第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4。若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1。同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只能填

20、1，第四方格应，第四方格应填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3种方法。种方法。不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。（八）住店法（八）住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解用乘法原理直接求解.例例8 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，

21、获得冠军的可能的种数有（获得，获得冠军的可能的种数有（）分析分析：因同一学生可以同时夺得：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作复排列，将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 75 种种.A.B.C D.注注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 57呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。(九九)对应法对应法例例9 在在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场名选手之间

22、进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？举行几场？分析：分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要名选手就需要99场比赛。场比赛。（十）特征分析（十）特征分析 研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。例

23、例10 由由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少六个数字可以组成多少个无重复且是个无重复且是6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字特征：分析数字特征：6的倍数既是的倍数既是2的倍数又是的倍数又是3的倍数。其中的倍数。其中3的倍数又满足的倍数又满足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3的倍数的倍数”的特征。的特征。把把6分成分成4组，（组，（3，3），（），（6），（），（1，5），（），（2，4），每），每组的数字和都是组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；的倍数。因此可分成两类讨论；第一类：由第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从作数码；首先从2，4，6中任选中

24、任选一个作个位数字有一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其他数位上全排，然后其余四个数在其他数位上全排列有列有 ，所以，所以第二类：由第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有作数码。依上法有（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中）三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中间，也不在两头，有几种不同方法？间，也不在两头，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，甲只能在中甲只能在中间或两头，有几种不同排法？间或两头，有几种不同排法？找位置：找位置：找位置：找位置：练练 习习 六六 比较复杂的排列问题往往都有某些限制条件比较复杂的排列问题往往都有某些限制条

25、件(一般一般是对元素或者位置作某些限制是对元素或者位置作某些限制)首先要对这些限制条首先要对这些限制条件的元素或位置作仔细分析，再从符合条件和不符合件的元素或位置作仔细分析，再从符合条件和不符合条件两方面进行对比分析，考虑使用直接还是间接法，条件两方面进行对比分析，考虑使用直接还是间接法，但不论采用哪种方法，都要防止重复或遗漏但不论采用哪种方法，都要防止重复或遗漏小小 结结 1在直线在直线ax+by=0中，中，a，b可以从可以从0，1，2，3，4五个数字中任取不同的值，则方程表示的直线共有五个数字中任取不同的值，则方程表示的直线共有 条条 2某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物某一天的课程

26、表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六门课，如果第一节课不排体育和理、体育、美术共六门课，如果第一节课不排体育和美术，最后两节不排数学，那么共有美术，最后两节不排数学，那么共有 种不同的排种不同的排法法 36个工厂组建一公司，共需要个工厂组建一公司，共需要10名工人，每厂名工人，每厂至少出至少出1人至多出人至多出3人，那么这人，那么这10名工人在名工人在6个工厂分布个工厂分布情形有情形有 种种作作 业业 112条条a=0或或b=0的各有一条直的各有一条直线线；a，b均不均不为为0 的方程有的方程有 个，其中个，其中x+2y=0与与与与4x+2y=0表示同一条直表示同一条直线线，故方程共表示，故方程共表示23363(种种)条直线条直线(种种)