二项式定理复习课件ppt.ppt

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1、第三节 二项式定理1.1.二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理(a+b)(a+b)n n=(nN (nN+)二项式通项二项式通项T Tr+1r+1=,=,它表示第它表示第_项项二项式系数二项式系数二项展开式中各项的系数为二项展开式中各项的系数为r+1r+12.2.二项式系数的性质二项式系数的性质性质性质性质描述性质描述对称性对称性与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等，的两个二项式系数相等，即即和的性质和的性质(a+b)(a+b)n n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于_，即即 .2 2n n判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号

2、中打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)是二项展开式的第是二项展开式的第k k项项.().()(2)(2)通项通项 中的中的a a与与b b不能互换不能互换.().()(3)(a+b)(3)(a+b)n n的展开式中某一项的二项式系数与的展开式中某一项的二项式系数与a,ba,b无关无关.().()(4)(a+b)(4)(a+b)n n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同与该项的二项式系数不同.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.由二项展开式通项的定义可知：由二项展开式通项的定义可知：应应是二项展

3、开式的第是二项展开式的第k+1k+1项项.(2)(2)正确正确.通项通项 中的中的a a与与b b如果互换，则它将成为如果互换，则它将成为(b+a)(b+a)n n的第的第k+1k+1项项.(3)(3)正确正确.因为二项式因为二项式(a+b)(a+b)n n的展开式中第的展开式中第k+1k+1项的二项式系数项的二项式系数为为 ，显然它与，显然它与a,ba,b无关无关.(4)(4)正确正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数.答案答案:(1)(

4、2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)1.(21.(2x)x)9 9展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为()()(A)2(A)29 9 (B)3 (B)39 9 (C)1 (D)2 (C)1 (D)21010【解析解析】选选A.A.因为因为(a(ab)b)n n展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为2 2n n，所以，所以(2(2x)x)9 9展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为2 29 9.2.(42.(4x x2 2x x)6 6(xR)(xR)展开式中的常数项是展开式中的常数项是()()(A)-20 (B)-15 (C)15 (D)20(A)-20 (

5、B)-15 (C)15 (D)20【解析解析】选选C.TC.Tk k1 1 ，k k4 4时，时，12-3k12-3k0 0，故第故第5 5项是常数项，项是常数项，T T5 5(-1)(-1)4 4 15.15.3.(x+1)3.(x+1)8 8的展开式中的展开式中x x3 3 的系数是的系数是_(_(用数字作答用数字作答).).【解析解析】(x+1)(x+1)8 8的展开式中的展开式中x x3 3的系数是的系数是 =56.=56.答案答案:56564.4.在在(1+x)(1+x)3 3+(1+)+(1+)3 3+(1+)+(1+)3 3的展开式中，的展开式中，x x的系数为的系数为_(用数字

6、作答用数字作答).).【解析解析】由条件易知由条件易知(1+x)(1+x)3 3+(1+)+(1+)3 3+(1+)+(1+)3 3展开式中展开式中x x的的系数分别是系数分别是 ，即所求系数是，即所求系数是3+3+1=7.3+3+1=7.答案：答案：7 7 5.5.在在(x-y)(x-y)1010的展开式中，的展开式中，x x7 7y y3 3的系数与的系数与x x3 3y y7 7的系数之和等于的系数之和等于_._.【解析解析】T Tr r1 1(-1)(-1)r r ，所以有，所以有答案：答案：-240-240考向考向 1 1 求二项展开式中的项或项的系数求二项展开式中的项或项的系数 【

7、典例典例1 1】(1)(2012(1)(2012天津高考天津高考)在在()()5 5的二项展开式中，的二项展开式中，x x的系数为的系数为()()(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40(2)(2012(2)(2012安徽高考安徽高考)(x)(x2 2+2)(-1)+2)(-1)5 5的展开式的常数项是的展开式的常数项是()()(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3【思路点拨思路点拨】(1)(1)可利用二项展开式的通项，求可利用二项展开式的通项，求x x的系数的系数.(2)(2)先将先将(

8、x(x2 2+2)(-1)+2)(-1)5 5看作是两个因式相乘的形式，根据展开看作是两个因式相乘的形式，根据展开式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨论式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨论.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.TD.Tr+1r+1=(-1)=(-1)r r (2x (2x2 2)5-r5-rx x-r-r=(-1)=(-1)r r 2 25-r5-rx x10-3r10-3r，令令10-3r=1,10-3r=1,则则r=3r=3，T T4 4=-=-2 22 2x=-40 x,x=-40 x,xx的系数为的系数为-40.-40.(2)(2)

9、选选D.D.第一个因式取第一个因式取x x2 2，第二个因式取，第二个因式取 得：得：1 (-1)1 (-1)4 4=5=5；第一个因式取第一个因式取2 2，第二个因式取，第二个因式取(-1)(-1)5 5得：得：2(-1)2(-1)5 5=-2=-2，展开式的常数项是展开式的常数项是5+(-2)=3.5+(-2)=3.【互动探究互动探究】在本例题在本例题(1)(1)中，中，x x的整式项有几项？分别是第几的整式项有几项？分别是第几项？项？【解析解析】由本例题由本例题(1)(1)的解析可知：的解析可知：T Tr+1r+1=(-1)=(-1)r r (2x(2x2 2)5-r5-rx x-r-r

10、=(-1)=(-1)r r 2 25-r5-rx x10-3r10-3r.又因为又因为r=0,1,2,3,4,5r=0,1,2,3,4,5，所以当，所以当r=0,1,2,3r=0,1,2,3时，分别是时，分别是x x的整式的整式项，共有项，共有4 4项项.它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项.【拓展提升拓展提升】求二项展开式中的项或项的系数的方法求二项展开式中的项或项的系数的方法(1)(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项式中

11、同一字解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析母的指数，再根据上述特征进行分析.(2)(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组组)求取值范围求取值范围.【提醒提醒】二项展开式某一项的系数是指该项中字母前面的常数二项展开式某一项的系数是指该项中字母前面的常数值值(包括正负符号包括正负符号)，它与，它与a,ba,b的取值有关，而二项式系数与的取值有关，而二项式系数与a,ba,b的取值无关的取值

12、无关.【变式备选变式备选】(2013(2013西安模拟西安模拟)(1+2x)(1+2x)n n的展开式中的展开式中x x3 3的系数等的系数等于于x x2 2的系数的的系数的4 4倍，则倍，则n n等于等于_._.【解析解析】TTr+1r+1=(2x)=(2x)r r=2=2r r x xr r,xx3 3的系数是的系数是2 23 3 ，x x2 2的系数是的系数是2 22 2 .即即 ,解得解得n=8.n=8.答案：答案：8 8考向考向 2 2 二项式系数和或各项系数和二项式系数和或各项系数和 【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013景德镇模拟景德镇模拟)若若(x-)(x-)n n

13、的展开式中第的展开式中第3 3项项的二项式系数为的二项式系数为1515，则展开式中所有项的系数之和为，则展开式中所有项的系数之和为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)(2)(1+ax+by)(2)(1+ax+by)n n展开式中不含展开式中不含x x的项的系数的和为的项的系数的和为243243，不含，不含y y的的项的系数的和为项的系数的和为3232，则，则a,b,na,b,n的值可能为的值可能为()()(A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6(A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6(C)a=-1,b=2,n=6 (C)a=-

14、1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5 (D)a=1,b=2,n=5(3)(3)已知已知(1+x)+(1+x)(1+x)+(1+x)2 2+(1+x)+(1+x)3 3+(1+x)+(1+x)8 8=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a3 3x x3 3+a+a8 8x x8 8，则则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a8 8=_.=_.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据题意，结合二项式定理可得根据题意，结合二项式定理可得 =15,=15,解可解可得得n=6,n=6,将其代入二项式，并令将其代入二项式，并令x=1,x=1,计算计算(x-)(x

15、-)6 6的值的值,可得答案可得答案.(2)(2)采用赋值法，依据题意分别令采用赋值法，依据题意分别令x=0,y=1x=0,y=1与与x=1,y=0 x=1,y=0即可得出即可得出a,b,na,b,n的值的值.(3)(3)采用赋值法，先求出采用赋值法，先求出a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a8 8的值的值,再求出再求出a a0 0的值即的值即可求出所求可求出所求.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由二项式定理，由二项式定理，(x-)(x-)n n的展开式中第的展开式中第3 3项的二项式系数是项的二项式系数是 ,又由题意，其展开式中第又由题意，其展开式中第3

16、 3项的二项式系数是项的二项式系数是1515，则，则 =15,=15,解得解得n=6,n=6,在在(x-)(x-)6 6中，令中，令x=1,x=1,可得其展开式中所有项的系数之和为可得其展开式中所有项的系数之和为()()6 6=，故选，故选C.C.(2)(2)选选D.D.令令x=0,y=1x=0,y=1得得(1+b)(1+b)n n=243=3=243=35 5；令令x=1,y=0 x=1,y=0得得(1+a)(1+a)n n=32=2=32=25 5，因此，因此，a=1,b=2,n=5a=1,b=2,n=5，故选，故选D.D.(3)(3)令令x=1x=1，则，则a a0 0+a+a1 1+a

17、+a2 2+a+a3 3+a+a8 8=2+2=2+22 2+2+28 8=510=510；令令x=0 x=0，则，则a a0 0=8=8，所以，所以a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a8 8=502.=502.答案答案:502502【拓展提升拓展提升】赋值法的应用赋值法的应用(1)(1)形形如如(ax+b)(ax+b)n n，(ax(ax2 2+bx+c)+bx+c)m m(a,b,cR)(a,b,cR)的的式式子子求求其其展展开开式式的的各项系数之和，常用赋值法，只需令各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1x=1即可即可.(2)(2)对对形形如如(ax+by)(ax+by)n

18、n(a,bR)(a,bR)的的式式子子求求其其展展开开式式各各项项系系数数之之和和，只需令只需令x=y=1x=y=1即可即可.(3)(3)若若f(x)=af(x)=a0 0a a1 1x xa a2 2x x2 2a an nx xn n，则，则f(x)f(x)展开式中各项系展开式中各项系数之和为数之和为f(1)f(1)，奇数项系数之和为奇数项系数之和为a a0 0+a+a2 2+a+a4 4+=偶数项系数之和为偶数项系数之和为a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+=【变式训练变式训练】已知已知(1-3x)(1-3x)9 9=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a

19、9 9x x9 9，则，则|a|a0 0|+|+|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a9 9|等于等于()()(A)2(A)29 9 (B)4 (B)49 9 (C)3 (C)39 9 (D)1 (D)1【解析解析】选选B.xB.x的奇数次方的系数都是负值，的奇数次方的系数都是负值，所以所以|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|a9 9|=a=a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+-a-a9 9.所以已知条件中只需令所以已知条件中只需令x=-1x=-1即可，故选即可，故选B.B.考向考向 3 3 二项式定理的综合应用二项式定理的综

20、合应用 【典例典例3 3】(1)(2012(1)(2012湖北高考湖北高考)设设aZaZ，且，且0a130a13，若，若51512 0122 012+a+a能被能被1313整除，则整除，则a=()a=()(A)0 (B)1 (C)11 (D)12(A)0 (B)1 (C)11 (D)12(2)1.02(2)1.025 5精确到精确到0.010.01的近似值为的近似值为_._.(3)(3)已知已知nNnN+,求证：求证：1+2+21+2+22 2+2+23 3+2+25n-15n-1能被能被3131整除整除.【思路点拨思路点拨】(1)(1)把把5151分为分为52-1,52-1,再按二项式定理展

21、开即可再按二项式定理展开即可.(2)(2)把把1.021.025 5转化为二项式，展开后，根据精确度的要求取必要转化为二项式，展开后，根据精确度的要求取必要的几项即可的几项即可.(3)(3)先求和，再将和式化成含有先求和，再将和式化成含有3131的二项式，展开即可证明的二项式，展开即可证明.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.51D.512 0122 012=(52-1)=(52-1)2 0122 012=能被能被5252整除，即能被整除，即能被1313整除整除.若若51512 0122 012+a+a能被能被1313整除整除,则则a+1a+1能被能被1313整除整除,又又aZaZ，且，且

22、0a130a13，则，则a=12.a=12.(2)1.02(2)1.025 5=(1+0.02)=(1+0.02)5 5=1+=1+0.02+0.02+0.020.022 2+0.020.023 3+0.020.024 4+0.020.025 5，0.020.022 2=0.004,0.02=0.004,0.023 3=810=810-5-5，当精确到当精确到0.010.01时，只要展开式的前三项和，时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.1041+0.10+0.004=1.104，近似值为，近似值为1.10.1.10.答案：答案：1.101.10(3)1+2+2(3)1+2+

23、22 2+2+23 3+2+25n-15n-1=2=25n5n-1=32-1=32n n-1-1=(31+1)=(31+1)n n-1-1=显然括号内的数为正整数，故原式能被显然括号内的数为正整数，故原式能被3131整除整除.【互动探究互动探究】将本例题将本例题(2)(2)中精确到中精确到0.010.01改为精确到改为精确到0.0010.001，如，如何求解何求解?【解析解析】由本例由本例(2)(2)知，当精确到知，当精确到0.0010.001时，只要取展开式的前时，只要取展开式的前四项的和四项的和,即即1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 081+0.10+0.004+0.

24、000 08=1.104 08，所以近似值为所以近似值为1.104.1.104.【拓展提升拓展提升】1.1.整除问题的解题思路整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数利用二项式定理找出某两个数(或式或式)之间的倍数关系，是解决之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断二项式，并将它展开进行分析判断.2.2.求近似值的基本方法求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当利用二项式定理进行近似计算：当n n不很大，不很大，|x|x|比较小时，比较小时，(1+x)(1+x)n

25、 n1+nx.1+nx.【变式备选变式备选】若若 能被能被7 7整除，则整除，则x,nx,n的值可的值可能为能为()()(A)x=4,n=3 (B)x=4,n=4(A)x=4,n=3 (B)x=4,n=4(C)x=5,n=4 (C)x=5,n=4 (D)x=6,n=5 (D)x=6,n=5【解析解析】选选C.C.=(1+x)=(1+x)n n-1-1，当当x=5,n=4x=5,n=4时，时，(1+x)(1+x)n n-1=6-1=64 4-1=3537-1=3537，能被能被7 7整除，故选整除，故选C.C.【易错误区易错误区】某项的系数与某项的二项式系数不清致误某项的系数与某项的二项式系数不

26、清致误 【典例典例】(2012(2012福建高考福建高考)(a+x)(a+x)4 4的展开式中的展开式中x x3 3的系数等于的系数等于8 8，则实数则实数a=_.a=_.【误区警示误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面本题易出现的错误主要有两个方面(1)(1)误以为误以为x x3 3的二项式系数是的二项式系数是x x3 3的系数的系数.(2)(2)通项中字母颠倒造成失误通项中字母颠倒造成失误.【规范解答规范解答】因为因为(a+x)(a+x)4 4的展开式的通项为的展开式的通项为T Tk+1k+1=，由题意知，由题意知，当当k=3k=3时，时，所以，所以，a=2.a=2.答案答案:2 2【思

27、考点评思考点评】1.1.某项的二项式系数与某项的系数某项的二项式系数与某项的系数二项展开式中的二项式系数为二项展开式中的二项式系数为 (k=0,1,2,(k=0,1,2,n),n)，与其他字，与其他字母数值无关；而展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，母数值无关；而展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数.2.2.二项展开式的通项二项展开式的通项(a+b)(a+b)n n展开式中的第展开式中的第k+1k+1项为：项为：T Tk+1k+1=其中字母其中字母a,ba,b的顺序的顺序不能改变，否则会出现错误

28、不能改变，否则会出现错误.1.(20121.(2012四川高考四川高考)(1+x)(1+x)7 7的展开式中的展开式中x x2 2的系数是的系数是()()(A)42 (B)35 (C)28 (D)21(A)42 (B)35 (C)28 (D)21【解析解析】选选D.D.由二项式定理得由二项式定理得 ，所以，所以x x2 2的系的系数为数为2121，故选，故选D.D.2.(20122.(2012广东高考广东高考)(x)(x2 2+)+)6 6的展开式中的展开式中x x3 3的系数为的系数为_(_(用用数字作答数字作答).).【解析解析】T Tr+1r+1=令令12-3r=312-3r=3，r=3

29、,r=3,展开式中展开式中x x3 3的系数为的系数为 =20.=20.答案答案:20203.(20123.(2012湖南高考湖南高考)的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为_(_(用数字作答用数字作答).).【解析解析】设常数项为第设常数项为第r+1r+1项，项，则则T Tr+1r+1=(-1)=(-1)r r2 26-r6-r由由 =0=0，解得，解得r=3.r=3.常数项为第四项，常数项为第四项，T T4 4=(-1)=(-1)3 32 23 3 =-160.=-160.答案答案:-160-1604.(20124.(2012浙江高考浙江高考)若将函数若将函数f(x)=xf(x)

30、=x5 5表示为表示为f(x)=af(x)=a0 0a a1 1(1(1x)x)a a2 2(1(1x)x)2 2a a5 5(1(1x)x)5 5，其中，其中a a0 0，a a1 1，a a2 2，a a5 5为实为实数，则数，则a a3 3=_.=_.【解析解析】f(x)=xf(x)=x5 5=(x+1)-1(x+1)-15 5，则，则a a3 3=10=10答案答案:10105.(20125.(2012陕西高考陕西高考)(a+x)(a+x)5 5展开式中展开式中x x2 2的系数为的系数为1010，则实数，则实数a a的的值为值为_._.【解析解析】二项展开式的通项公式是二项展开式的通

31、项公式是T Tr+1r+1=，当，当r=2r=2时，时，T T3 3=所以所以10a10a3 3=10,=10,所以所以a=1.a=1.答案：答案：1 11.1.若若(1+mx)(1+mx)6 6=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a6 6x x6 6,且且a a1 1+a+a2 2+a+a6 6=63,=63,则实数则实数m m的的值为值为()()(A)1(A)1或或3 (B)-33 (B)-3(C)1 (C)1 (D)1 (D)1或或-3-3【解析解析】选选D.(1+mx)D.(1+mx)6 6=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a6

32、 6x x6 6，令令x=1x=1得，得，(1+m)(1+m)6 6=a=a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a6 6；令令x=0 x=0得，得，1=a1=a0 0，a a1 1+a+a2 2+a+a6 6=(a=(a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a6 6)-a)-a0 0=(1+m)=(1+m)6 6-1,-1,而而a a1 1+a+a2 2+a+a6 6=63,(1+m)=63,(1+m)6 6-1=63,-1=63,(1+m)(1+m)6 6=64,m=1=64,m=1或或m=-3.m=-3.2.2.若若a a4 4(x+1)(x+1)4 4+a+a3 3(x+1)(x+

33、1)3 3+a+a2 2(x+1)(x+1)2 2+a+a1 1(x+1)+a(x+1)+a0 0=x=x4 4,则则a a3 3-a-a2 2+a+a1 1=_._.【解析解析】xx4 4=(x+1)-1(x+1)-14 4=(x+1)=(x+1)4 4(-1)(-1)0 0+(x+1)+(x+1)3 3(-1)(-1)1 1+(x+1)+(x+1)2 2(-1)(-1)2 2+(x+1)+(x+1)1 1(-1)(-1)3 3+(x+1)+(x+1)0 0(-1)(-1)4 4=(x+1)=(x+1)4 4-4(x+1)-4(x+1)3 3+6(x+1)+6(x+1)2 2-4(x+1)+1-4(x+1)+1，而而a a4 4(x+1)(x+1)4 4+a+a3 3(x+1)(x+1)3 3+a+a2 2(x+1)(x+1)2 2+a+a1 1(x+1)+a(x+1)+a0 0=x=x4 4,aa3 3=-4,a=-4,a2 2=6,a=6,a1 1=-4,=-4,a a3 3-a-a2 2+a+a1 1=-4-6-4=-14.=-4-6-4=-14.答案：答案：-14-14