3.3回顾与思考(1) 证明(三)小结.ppt

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1、九年级数学(上)第三章 证明(三)3.回顾与思考(1)证明(三)小结挑战“记忆”w说说说说平行四边形平行四边形,矩形矩形,菱形菱形,正方形之间的关系正方形之间的关系.w“等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等”与与“等腰等腰三角形的两个底角三角形的两个底角”角的证明过程有什么联系角的证明过程有什么联系?w依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是特殊四边形吗形是特殊四边形吗?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗?回顾 思考“公理”知多少w本套教材选用如下命题作为公理本套教材选用如下命题作为公理:w1.两直线被第三条直线所截两直

2、线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那那么这两条直线平行么这两条直线平行;w2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等;w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等;w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;w5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;w6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.回顾 思考学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知)

3、,结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“果果”索索“因因”.);w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.回顾 思考平行四边形的平行四边形的性质性质w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.w证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.BDC

4、A四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.CO=AO,BO=DO.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理定理:夹在两条平等线间的平等线段相等夹在两条平等线间的平等线段相等.MNPQ,ABCD,MNPQ,ABCD,AB=CD.AB=CD.BDCAMNPQ回顾 思考平行四边形的平行四边形的判定判定w

5、定理定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾 思考AB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.BDCABDCAOABCDABCD,AB=CDAB=CD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AO=COAO=CO,BO=DOBO=DO,四边形四边形ABCDABCD

6、是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.A=C,B=D.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.等腰梯形的性质w定理定理:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理定理:等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBCADBC,AB=DC,AB=DC,AC=DB.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBCADBC,AB=DC,AB=DC,A=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾 思考等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

7、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBCADBC,A=D或或B=C,AB=DC.AB=DC.定理定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBCADBC,AC=DB.AB=DC.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾 思考三角形中位线的三角形中位线的性质性质w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三且等于第三边的一半边的一半.w这个这个定理定理提供了证明线段平行提供了证明线段平行,和线和线段成倍分关系的根

8、据段成倍分关系的根据.模型模型:连接任意四边形各边中点连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形所成的四边形是平行四边形.要重视这个要重视这个模型模型的证明过程反映出来的的证明过程反映出来的规律规律:对角线的关系是关键对角线的关系是关键.改变四边形改变四边形的形状后的形状后,对角线具有的关系对角线具有的关系(对角线相对角线相等等,对角线垂直对角线垂直,对角线相等且垂直对角线相等且垂直)决决定了各中点所成四边形的形状定了各中点所成四边形的形状.回顾 思考wDEDE是是ABCABC的中位的中位,DEBCADEBC,DEBC,ABCHDEFG四边形之间的关系四边形之间的关系w四边形之间有何关系？

9、四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形两组对边两组对边分别平行分别平行有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等一组对边一组对边平行另平行另一组对边不平行一组对边不平行梯形梯形两腰两腰相等相等等腰梯形等腰梯形腰与底腰与底垂直垂直直角梯形直角梯形回顾 思考矩形的矩形的性质性质,推论推论w定理定理:矩形的四个

10、角都是直角矩形的四个角都是直角.w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.推论推论(直角三角形性质直角三角形性质):直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半.回顾 思考w四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,A=B=C=D=90A=B=C=D=900 0.DBCADBCAwAC,BDAC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线.AC=BDAC=BD.在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,AD=BD,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定,直角三角形的直角三角形的判定判定w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形

11、有三个角是直角的四边形是矩形.w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.w定理定理:如果一个三角形一边上的中如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半线等于这边的一半,那么这个三角那么这个三角形是直角三角形形是直角三角形.回顾 思考wA=B=C=90A=B=C=900 0,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.DBCADBCAwAC,BDAC,BD是是ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,且且AC=DB.AC=DB.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.ABCD ACB=90ACB=900 0.在在ABCABC中中,AD=BD,AD=BD,菱形的菱形的性质

12、性质w定理定理:菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等.w定理定理:菱形的两条对角线互相垂直菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对并且每条对角线平分一组对角角线平分一组对角.回顾 思考w四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.wAC,BDAC,BD是菱形是菱形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线.ACBDACBDCBDADBCAO菱形的菱形的判定判定w定理定理:四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形.w定理定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.回顾 思考w在四边形在四边形ABCDABCD中中,wA

13、B=BC=CD=AD,AB=BC=CD=AD,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形.wAC,BDAC,BD是是ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,ACBD.,ACBD.四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形.CBDADBCAO正方形的正方形的性质性质w定理定理:正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角,四条边都相等四条边都相等.w定理定理:正方形的两条对角线相等正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平并且互相垂直平分分,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.回顾回顾 思考思考w四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,A=B=C=D=90A=B=C=D=900 0,A

14、B=BC=CD=DA,AB=BC=CD=DA.w四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AC=BD;ACBD;AO=CO,BO=DO;ACAC=BD;ACBD;AO=CO,BO=DO;AC平平分分BADBAD和和BCD,BDBCD,BD平分平分ADCADC和和ABC.ABC.ABCDABCDO正方形的正方形的判定判定w定理定理:有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形.w定理定理:对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.w定理定理:对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形.回顾 思考w四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,A=90A=900

15、0,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.w四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,AC=DB.,AC=DB.四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.ABCDABCDOw四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,ACBD,ACBD,复习题复习题(A组组)w1.1.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,P,Q,P,Q是对角是对角线线BDBD上的两个点上的两个点,且且BP=DQ.BP=DQ.w求证求证:AP:AP和和QCQC互相平行且相等互相平行且相等.我思我思,我进步我进步1 1w2.2.证明证明:

16、如果四边形两条对角线互相如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么依次连接它的四边垂直且相等，那么依次连接它的四边中点得到一个正方形中点得到一个正方形.ABCDPQDBCAGEFG复习题复习题(A组组)我思我思,我进步我进步2 2w3.3.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是一个正方形是一个正方形,E,E是是BCBC延延长线上的一个点长线上的一个点,且且AC=EC.AC=EC.w求求:DAE:DAE的度数的度数.w4.4.如图如图,在在ABCDABCD中中,已知已知ABAB9cm,BC9cm,BC4cm,B=304cm,B=300 0.w求：求：ABCDABCD的面积的面积.BDE

17、ACCDAB复习题复习题(A组组)我思我思,我进步我进步 3 3w5.5.如图所示如图所示,把一张矩形纸片把一张矩形纸片ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD折叠折叠,重合部分是什么图形重合部分是什么图形?试说明理由试说明理由.w6.一个菱形一条对角线的长是一个菱形一条对角线的长是60cm,60cm,周长是周长是200cm.200cm.求求:(:(1)1)另一条对角线的长度；另一条对角线的长度；(2)(2)这个菱形的面积这个菱形的面积.ADCBCADBEF复习题复习题(A组组)w7.已知已知:如图如图,ADAD是是ABCABC的角的角平分线，平分线，DEACDEAC，交，交ABAB于点于点E

18、 E,DFABDFAB,交交ACAC于点于点F F.w求证求证:四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形.我思我思,我进步我进步4 4w8.8.已知已知:如图如图,ABC,ABC的的两条高为两条高为BEBE，CFCF，点，点M M为为BCBC的中点的中点.w求证求证:MEMEMFMF.ACBEFDACBEFM复习题复习题(A组组)w9.9.已知已知:正方形的对角线的长为正方形的对角线的长为l l.w求求:它的周长和面积它的周长和面积.我思我思,我进步我进步5 5w10.10.已知已知:如图如图,ABC,ABC的三边长分别为的三边长分别为a,b,c,a,b,c,以它以它的三边中点为顶点组成一个新

19、三角形的三边中点为顶点组成一个新三角形;以这个新三以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形角形三边中点为顶点又组成一个小三角形.w求求:这个小三角形的周长这个小三角形的周长.DBCAGEFHK复习题复习题(B组组)我思我思,我进步我进步6 6w1.1.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,F F,G G是是ABAB边上的两个点边上的两个点,且且FCFC平分平分BCDBCD,GDGD平分平分ADCADC,FCFC与与GDGD相交相交于点于点E.E.求证求证:AFAF=GB.=GB.w2.2.已知已知:如图如图,ABCDABCD各角的平分线相各角的平分线相

20、交于点交于点E E,F F,G G,H H.求证求证:四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形.ABCDGFEDCBAGEHF复习题复习题(C组组)我思我思,我进步我进步6 6w1.1.已知两条对角线已知两条对角线,利用尺规作一个菱形利用尺规作一个菱形.w2.2.已知已知:如图如图,ABC,ABC的三边长分别为的三边长分别为a,b,c,a,b,c,以它的三边中点为顶点组成一个以它的三边中点为顶点组成一个新三角形新三角形;以这个新三角形三边中点为以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形顶点又组成一个小三角形;求求:(:(1)1)这两个小三角形的周长和面积这两个小三角形的周长和面积;(2)(

21、2)第第n n个小三角形的周长和面积个小三角形的周长和面积.DBCAGEFHK随堂练习随堂练习 我思我思,我进步我进步7 7w求证求证:ABC:ABC是等腰三角形是等腰三角形.w已知已知:D,E,F:D,E,F分别是分别是ABCABC中中AB,BC,CAAB,BC,CA的的中点中点,四边四边形形DECFDECF是菱形是菱形.ABCDEF三角形的重心三角形的重心 我思我思,我进步我进步8 8w我们知道我们知道,三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点.w这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的重心重心.w三角形的重心分每一条中线的比为三角形的重心分每一条中线的比为1 2(重心到每边的中点距离

22、重心到每边的中点距离 重心到重心到所对角的顶点的距离所对角的顶点的距离).).w你能证明这个命题吗你能证明这个命题吗?w与与同伴交流你的想法和具体同伴交流你的想法和具体的证明方法的证明方法.w三角形的重心有一个重要的几何性质三角形的重心有一个重要的几何性质:ABCDEFG心心动动 不如行动不如行动三角形重心的几何性质三角形重心的几何性质 我思我思,我进步我进步8 8w已知已知:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交且相交于点于点G.G.w分析分析:要证明要证明GE GA=1 2,可以考虑折半法可以考虑折半法(如取如取GAGA的中点的中点M,GB

23、M,GB的中点的中点N).N).w转化为证明转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.w求证求证:GE GA=GF GB=GD GC=1 2.ABCDEFGM Nw从而借助于三角形的中位线构从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明造平行四边形来获得证明.w怎么样怎么样,在老师的帮助下在老师的帮助下,你可你可以写出证明过程了吗以写出证明过程了吗?w由此你又悟出了些什么由此你又悟出了些什么?三角形重心的几何性质三角形重心的几何性质 我思我思,我进步我进步8 8w已知已知:如图如图,AE

24、,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交且相交于点于点G.G.w证明证明:取取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N,N,分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.wF,EF,E是是AC,BCAC,BC的中点的中点,w FEMN,FE=MNFEMN,FE=MN.w求证求证:GE GA=GF GB=GD GC=1 2.ABCDEFGM Nw四边形四边形FENMFENM是平行四边形是平行四边形.wMG=GE,NG=GF.MG=GE,NG=GF.FEAB,FEAB,MNAB,MNAB,wAM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG

25、=GE,BN=NG=GF.w GE GA=GF GB=1 2.同理同理,GD GC=1 2.GE GA=GF GB=GD GC=1 2.知识的升华独立独立作业作业P93习题3.6 1,2题.祝你成功！P93习题3.6 1题.独立独立作业作业1.1.如图如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,ABCABC是等边是等边三角形三角形.求求:的度数的度数.DBCAEP93习题3.6 2题.独立独立作业作业2.2.已知已知:如图如图,四个小朋友分别站在正方形四个小朋友分别站在正方形ABCDABCD的的四条边的点四条边的点A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,D,D1 1处处,并且并且AAAA1 1=BB=BB1 1=CC=CC1 1=DD=DD1 1,那那么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是一个怎样的图形是一个怎样的图形?请证明你的结论请证明你的结论.ABCDA1 1B1 1C1 1D1 1结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!