计算方法-第六章复习ppt课件.pptx

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1、第六章 线性方程组的数值求解6.1 高斯顺序消去法6.2 高斯列主元消去法6.5 追赶法6.6 向量与矩阵的范数6.7 误差分析6.8 迭代法引言引言高斯顺序消高斯顺序消去法的条件去法的条件6.2 高高斯列主斯列主元素消去法元素消去法列主元消去法列主元消去法在四位浮点十进制数的计算机上在四位浮点十进制数的计算机上,结果为结果为 x1=0 x2=1例例5 用用高斯顺序消元法解高斯顺序消元法解线性方程组，并线性方程组，并假设假设求解是求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行在四位浮点十进制数的计算机上进行0.0001x1+x2=1 x1+x2=29999 x2=99980.0001x1+x2=1解：

2、解：消消元，得元，得这与实际结果相差甚远。这与实际结果相差甚远。假设求解是在四假设求解是在四位浮点十进制数位浮点十进制数的计算机上进行的计算机上进行0.0001x1+x2=1 x1+x2=2将两个方程对调，得将两个方程对调，得 x1+x2=2 0.0001x1+x2=1在四位浮点十进制数的计算机上在四位浮点十进制数的计算机上,上式为上式为 x1+x2=2 即即 x1+x2=2 (0.1000101-0.00001 101）x2=1 x2=1（1-0.0001)x2=1x1+x2=2消元，得消元，得解得：解得：x1=1，x2=1现在我们再用列主元法解现在我们再用列主元法解例例36.6 向量和矩阵

3、的范数向量和矩阵的范数定义定义(向量范数向量范数)x 和和 y 是是 Rn 中的任意向量中的任意向量,向量范数向量范数是定义在是定义在 Rn上的实值函数上的实值函数,它满足它满足:(1)x 0,并且当且仅当并且当且仅当 x=0 时时,x=0;(2)k x=|k|x,k 是一个实数是一个实数;(3)x+y x+y 常使用的向量范数有三种常使用的向量范数有三种,设设 x=(x1,x2,xn)T 常使用的矩阵范数有三种常使用的矩阵范数有三种,设设 x=(x1,x2,xn)T 迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代

4、基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题是：是：1.如何构造迭代格式如何构造迭代格式 2.迭代序列是否收敛迭代序列是否收敛一一一一 .基本迭代法的格式及收敛性基本迭代法的格式及收敛性基本迭代法的格式及收敛性基本迭代法的格式及收敛性二二二二 .几种实用的基本迭代法几种实用的基本迭代法几种实用的基本迭代法几种实用的基本迭代法三三三三 .应用实例应用实例应用实例应用实例6.8 迭代法迭代法一一 .基本迭代法的格式及收敛性基本迭代法的格式及收敛性 设有线性代数方程组设有线性代数方程组 a11x1+a12x

5、2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 .an1x1+an2x2+annxn=bnA=M+N M的逆好求。的逆好求。Ax=b (M+N)x=b Mx=-Nx+b x=-M-1Nx+M-1b 用矩阵表示：用矩阵表示：Ax=b A 为系数矩阵，非奇异且设为系数矩阵，非奇异且设aii0；b为右端，为右端，x为解向量为解向量 注：分解注：分解A是一个重要问题是一个重要问题在在R Rn n中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即 二.几种实用的基本迭代法1、Jacobi迭代法迭代法2、Gauss-Seidel迭代法迭代法3、超松弛迭代法（、超松

6、弛迭代法（SOR)1 1、Jacobi Jacobi 迭代迭代Jacobi迭代矩阵迭代矩阵推导其分量形式推导其分量形式第第i个方程除以个方程除以aii(i=1,2,1,2,n),n),得得JacobiJacobi迭代的分量形式迭代的分量形式则则 x x(k k+1)+1)=B BJ Jx x(k k)+g+g ，这里这里 B BJ J=D=D-1-1(L+U),g=D(L+U),g=D-1-1b b Jacobi迭代公式（分量形式）迭代公式（分量形式）给出初始向量给出初始向量 x(0),即可得到向量序列：即可得到向量序列：x(1),x(2),x(k),若若 x(k)x*,则则x*是解。是解。例

7、例1：设方程组为：设方程组为 解：解：Jacobi迭代格式为迭代格式为试写出其试写出其Jacobi分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。故故Jacobi迭代矩阵为迭代矩阵为 取取 x(0)=(0,0,0)t,e=10-3,终止准则：终止准则：x(k)-x(k-1)ex(14)=-3.99972.99981.99982 2、高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法例例2：设方程组为设方程组为 解：解：Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为试写出试写出Gauss-Seidel迭代格式迭代格式.2、Gauss-Seidel迭代法迭代法Gauss-Seidel迭

8、代的迭代的分量形式分量形式推导推导Gauss-Seidel迭代法的迭代法的矩阵形式矩阵形式Gauss-Seidel迭代矩阵迭代矩阵Gauss-Seidel迭代公式迭代公式 给出初始向量给出初始向量 x(0),即可得到向量序列：即可得到向量序列：x(1),x(2),x(k),若若 x(k)x*,则则x*是解。是解。例例:讨论用讨论用JacobiJacobi迭代法和迭代法和Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法求解迭代法求解方程组方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中收敛较快，其中解解:(1)对对Jacobi方法，迭代矩阵方法，迭代矩阵(2)对对Gauss-SeidelGauss-Seidel方法，迭代矩阵方法，迭代矩阵Gauss-SeidelGauss-Seidel方法比方法比Jacobi方法收敛快。方法收敛快。