刘第9章刚体的平面运动.ppt

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1、第第9章章刚体的平面运动刚体的平面运动 在第在第7 7章中，已研究了刚体平移和定轴转动的运动描述，这一章来讨论章中，已研究了刚体平移和定轴转动的运动描述，这一章来讨论刚体平面运动的规律。刚体平面运动的规律。对于刚体运动的研究，既要研究刚体整体运动描述，又要研究刚体上任对于刚体运动的研究，既要研究刚体整体运动描述，又要研究刚体上任一点的运动性质。二者既有联系，又有区别。一点的运动性质。二者既有联系，又有区别。考察刚体运动与参考点的运动相似，可以在一个参考系中，也可以同时考察刚体运动与参考点的运动相似，可以在一个参考系中，也可以同时在两个参考系中进行。后者称为刚体的复合运动。它是研究在两个参考系中

2、进行。后者称为刚体的复合运动。它是研究点的复合运动点的复合运动的延伸和应用的延伸和应用。本章主要使用这一方法。本章主要使用这一方法。9-19-1 刚体平面运动方程刚体平面运动方程 1、刚体平面运动的定义、刚体平面运动的定义一一.刚体平面运动的力学模型的建立刚体平面运动的力学模型的建立 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为相等的距离，这种运动称为平面运动平面运动。平面运动工程实例平面运动工程实例 刚刚体体上上每每一一点点都都在在与与固固定定平面平面S S1 1平行的平面内运动。平行的平面内运动。若作一平面若作一平

3、面S S2 2与平面与平面S S1 1平行平行,并并以以此此去去截截割割刚刚体体得得一一平平面面图图形形S S。可可知知该该平平面面图图形形S S始始终终在平面在平面S S2 2内运动。内运动。因因而而垂垂直直于于图图形形S S的的任任一一条条直直线线A A1 1A A2 2必必然然作作平平移移运运动动（因因为为刚刚体体上上各各点点无无相相对对运运动动，故故保持与保持与S S垂直）垂直）。A A1 1A A2 2的运动可用其与图形的运动可用其与图形 S S的交点的交点A A的运动来替代。的运动来替代。刚体的平面运动可以简化为平面图形刚体的平面运动可以简化为平面图形S S在其自身在其自身平面平面

4、内的运动。内的运动。2.2.运动模型的简化运动模型的简化 平面图形平面图形S S的的位置可位置可由其上的由其上的任意直线任意直线ABAB完全完全确定，即这一直线的运动确定，即这一直线的运动可以代表平面图形可以代表平面图形S S的运动，的运动，也就是刚体的平面运动。也就是刚体的平面运动。刚体的平面运动可以简化为刚体的平面运动可以简化为平面图形平面图形平面图形平面图形S S S S的平面运动。的平面运动。于是，研究刚体的平面运动可以简化为于是，研究刚体的平面运动可以简化为平面图形平面图形平面图形平面图形S S S S或或或或其上任一线段其上任一线段其上任一线段其上任一线段AB AB AB AB 的

5、运动。的运动。确定直线确定直线ABAB在在OxyOxy参考系中的位置，需要参考系中的位置，需要3 3个独立变量个独立变量(x xA A ,y yA A ,),)。其中其中x xA A ,y yA A确定点确定点A A在平面内的位置；在平面内的位置；确确定直线定直线ABAB的方位。的方位。二二.刚体平面运动方程刚体平面运动方程平面运动的运动方程式平面运动的运动方程式 对刚体的平面运动方程进行分析，可得：对刚体的平面运动方程进行分析，可得：如果图形中的如果图形中的A A点固定不动，则刚体将作点固定不动，则刚体将作定轴转动定轴转动；如果线段如果线段ABAB的方位不变（即的方位不变（即=常数），则刚体

6、将作常数），则刚体将作平移平移。可见，刚体的平面运动可以看成是平移和定轴转动的合可见，刚体的平面运动可以看成是平移和定轴转动的合成运动。成运动。平面运动的运动方程式平面运动的运动方程式=+平面运动平面运动 =随随 的平移的平移+绕绕 点的转动点的转动 平移坐标系平移坐标系 9-29-2 平面运动分解为平移和转动平面运动分解为平移和转动 通常将这一平移的动系的原点通常将这一平移的动系的原点 称为称为基点基点，则平面图形的运，则平面图形的运动可分解为动可分解为随基点的平动随基点的平动（牵连运动）及（牵连运动）及绕基点的定轴转动绕基点的定轴转动（相对运动）。（相对运动）。一般刚体平面运动的分解特点一

7、般刚体平面运动的分解特点 平移与基点选择有关平移与基点选择有关（平移的轨迹、速度与加速度都与平移的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。），基点的选择有关。），转动与基点选择无关转动与基点选择无关（平面运动的转平面运动的转平面运动的转平面运动的转动角速度以及角加速度都动角速度以及角加速度都动角速度以及角加速度都动角速度以及角加速度都与基点的选择无关与基点的选择无关与基点的选择无关与基点的选择无关）。）。一般刚体平面运动的分解结论一般刚体平面运动的分解结论即平面图形相对于平移系的角速度就是它的绝对角速度。即平面图形相对于平移系的角速度就是它的绝对角速度。9-39-3 平面图形内各点速度分析平面图

8、形内各点速度分析一一.基点法基点法动动点：点：B绝对运动绝对运动 ：待求：待求牵连运动牵连运动 ：平移：平移动动系系：(平移坐标系平移坐标系)相对运动相对运动 ：绕：绕 点的圆周运动点的圆周运动 已知已知A A点的速度及平面图形转动点的速度及平面图形转动的角速度，求的角速度，求B B点的速度。点的速度。ABwvBvAvBAvA 即当选任意点即当选任意点A A为基点时，为基点时，任一点任一点B的速度为的速度为 平面图形内任一点的速度等于基点的速平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。其中其中大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向

9、同，指向同已知：椭圆规尺的已知：椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运动，轴的负向运动，如图所示，如图所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。例例9-19-1AvAvAvBvBABwAB1.1.AB作平面运动作平面运动 基点：基点：A解：解：已知：曲柄连杆机构如图所示，已知：曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=。如曲柄如曲柄OA以匀角速度以匀角速度转动。转动。求：当求：当 时点时点 的速度。的速度。例例9-29-21.1.AB作平面运动作平面运动 基点：基点：A0Bv=解：解：此时，此时，AB作作瞬时平移瞬时平移二二.速度投影定理速度投影定理

10、 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。的投影相等。沿沿AB连线方向上投影连线方向上投影由由速度投影定理反映了刚体中两点间距离不变的特性。速度投影定理反映了刚体中两点间距离不变的特性。解：解：由速度投影定理得由速度投影定理得解得解得例例9-39-3思考：用速度投影定理能否求得思考：用速度投影定理能否求得AB的角速度的角速度？为什么？为什么？已知连杆已知连杆ABAB的长度的长度l l=20 cm=20 cm，滑块，滑块A A的速度的速度v vA A=10 cm/s=10 cm/s，求连杆与水平方向夹角为求连杆与水平方向夹角为3030时，滑

11、块时，滑块B B的速度。的速度。AvBB30vA 即选速度为零的即选速度为零的C*点为基点，则平面图点为基点，则平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕形内任意点的速度等于该点随图形绕C*转动转动的速度。的速度。1 1、瞬时速度中心法的思想：、瞬时速度中心法的思想：三、瞬时速度中心法三、瞬时速度中心法*若能在平面运动刚体上找到速度为零的点若能在平面运动刚体上找到速度为零的点C*，并选该，并选该点为基点，则刚体上任一点点为基点，则刚体上任一点B的速度的速度：2 2个问题：个问题：1）、速度为零的点）、速度为零的点C*是否存在？是否存在？2）、如果存在，如何寻找？）、如果存在，如何寻找？?结论结论：

12、在每一瞬时：在每一瞬时,平面图形或其扩展部分上都唯一存在一个平面图形或其扩展部分上都唯一存在一个速度为零的点，这一点称为速度为零的点，这一点称为瞬时速度中心瞬时速度中心，简称，简称速度瞬心。速度瞬心。三、瞬时速度中心法三、瞬时速度中心法2 2、C C*唯一存在性的证明唯一存在性的证明*因为基点速度因为基点速度v vA A为均匀分布，相为均匀分布，相对速度呈线性分布，所以，在直线对速度呈线性分布，所以，在直线ANAN的这部分上的这部分上唯一存在一点唯一存在一点C C*，使，使 在在t t瞬时，表征平面图形瞬时，表征平面图形S S运动的物理量运动的物理量 如图示。在如图示。在平面图形平面图形S S

13、上，过点上，过点A A作垂直于该点速度的直线作垂直于该点速度的直线ANAN。ANAN上任一上任一点点M M的速度由基点法可知：的速度由基点法可知：3.3.速度瞬心的确定方法速度瞬心的确定方法已知已知 的方向，的方向，且且 不平行于不平行于 。瞬时瞬时平移平移(瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处)且不垂直于且不垂直于 纯滚动纯滚动(只滚不滑只滚不滑)约束约束确定瞬心的一般方法：确定瞬心的一般方法：例例9-49-4解：解：ABAB作平面运动作平面运动AvAvBB30Cw瞬心在瞬心在C C点点用速度瞬心法解例用速度瞬心法解例7-37-3。例例9-59-5 已已知知轮轮子子在在地地面面上上作作纯纯滚滚动动，

14、轮轮心心的的速速度度为为v v0 0，半半径径为为r r。求轮子上。求轮子上A A1 1、A A2 2、A A3 3和和A A4 4点的速度。点的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解解：很很显显然然速速度度瞬瞬心心在在轮轮子子与与地地面的接触点即面的接触点即A1各各点点的的速速度度方方向向分分别别为为各各点点与与A点点连连线线的的垂垂线线方方向向，转转向向与与w w相相同同，由由此此可可见见车车轮轮顶顶点点的的速速度度最最快快，最最下下面面点点的的速速度度为为零。零。O459090O1OBAD例例9-6 已已知知四四连连杆杆机机构构中中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以以w

15、w绕绕O轴轴转转动动。求求：(1)AB杆杆的的角角速速度度；(2)B和和D点点的的速速度度。w 解解：AB作平面运动，作平面运动，OA和和O1B都作定轴转动都作定轴转动vAvBvDCwAB。例例9-7例例9-7。下下下下图速度分布对否?（课本P217题9-5）不对问题问题+9-49-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度基点基点 ：A平移坐标系：平移坐标系：大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同大小大小方向由方向由 指向指向 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速

16、度的矢量和。图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。例例9-8 图图示示曲曲柄柄连连杆杆机机构构中中，已已知知曲曲柄柄OA长长0.2 m，连连杆杆AB长长1m，OA以以匀匀角角速速度度w w=10 rad/s绕绕O轴轴转转动动。求求图图示示位位置置滑滑块块B的的加加速度和速度和AB杆的角加速度。杆的角加速度。解解：AB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在C点，则点，则OwwAB45AvA45vBBCAB作平面运动，以作平面运动，以A点为基点，则点为基点，则B点的加速度为点的加速度为其中其中O45AaBBaAa nBAa tBAaAx将将B点加速度投影到点加速度投影到h h轴上得轴上得h

17、将将B点加速度投影到点加速度投影到x x轴上得轴上得已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速以匀角速度度绕绕O 轴转动。轴转动。ODADBDl。求：当求：当时，尺时，尺AB的角加速度和点的角加速度和点A的加速度。的加速度。例例9-99-91.AB作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为 C。解：解：求：车轮上速度瞬心的加速度。求：车轮上速度瞬心的加速度。已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心中心O的速度为的速度为，加速度为加速度为，车轮与地面接触无相车轮与地面接触无相对滑动。对滑动。例例9-109-101.1.车

18、轮作平面运动，瞬心为车轮作平面运动，瞬心为 C。3.3.选选为基点为基点解：解：4.4.思考思考：轮边缘上：轮边缘上A A、B B、C C三点的加速度？三点的加速度？B BA AC C9-59-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例1.1.运动学综合应用运动学综合应用 ：机构运动学分析。机构运动学分析。2.2.已知运动机构已知运动机构 未知运动机构未知运动机构 3.3.连接点运动学分析连接点运动学分析接触滑动接触滑动合成运动合成运动铰链连接铰链连接平面运动平面运动课课 堂堂 练练 习习动点、动系的选择动点、动系的选择P193P193，8-48-4P196P196，8-128-12；8-138

19、-13求：此瞬时求：此瞬时AB杆的杆的角速度角速度已知已知：如图所示平面机构，如图所示平面机构，AB长为长为l，滑块滑块A可沿摇杆可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动，滑块转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，铅直，AB与水平线与水平线OB夹角为夹角为。例例9-119-11 2.2.动点动点 ：滑块：滑块 A，动系动系 ：OC 杆杆1.1.杆杆AB作平面运动，基点为作平面运动，基点为B。沿沿 方向投影方向投影速度分析速度分析解：解：9-12 已知尺寸，求?4-2 平面图形上各点的速平面图形上各点的速度与加

20、速度分析度与加速度分析思考题：思考题：由曲柄连杆机构由曲柄连杆机构带动，使摇杆带动，使摇杆作变角速的转动，作变角速的转动，,当曲柄在铅垂位置时，摇杆当曲柄在铅垂位置时，摇杆试求：此瞬间摇杆试求：此瞬间摇杆的角速度滑块的角速度滑块B B的加速度。的加速度。与水平线成与水平线成6060o o角。角。练习练习如图所示。如图所示。解：解：1 1、对、对ABAB，作瞬时平动，作瞬时平动 求：该瞬时杆求：该瞬时杆OA的角速度的角速度与角加速度。与角加速度。已知：已知：图示平面机构，滑块图示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。杆滑动。杆BE与与BD分别与滑块分别与滑块B铰接，铰接，BD杆可沿水平轨道运动。

21、滑块杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆沿铅直导轨向上运动，杆BE长为长为。图示。图示瞬时杆瞬时杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为夹角为例例9-119-111.杆杆BE作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在O点点。取取E为基点为基点沿沿BE方向投影方向投影解：解：绝对运动绝对运动：直线运动：直线运动(BD)相对运动相对运动：直线运动：直线运动(OA)牵连运动牵连运动：定轴转动：定轴转动(轴轴O)2.动点动点：滑块：滑块B 动系动系：OA杆杆沿沿BD方向投影方向投影沿沿BD方向投影方向投影求：此瞬时杆求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。已知：已知

22、：在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速在导轨中以匀速v平移，通过铰链平移，通过铰链A带动杆带动杆AB沿导套沿导套O运动，导套运动，导套O与杆与杆AC距离为距离为l。图示瞬时杆图示瞬时杆AB与杆与杆AC夹角为夹角为。例例9-129-121.1.动点动点 ：铰链铰链A 动系动系 ：套筒套筒O 解：解：另另解：解：1.1.取坐标系取坐标系Oxy2.A点的运动方程点的运动方程3.3.速度、加速度速度、加速度如图所示平面机构中，杆如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆铅直运动，杆BD水平运动，水平运动，A为铰链，滑块为铰链，滑块B可沿槽杆可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时中的直

23、槽滑动。图示瞬时求：该瞬时槽杆求：该瞬时槽杆AE的的角速度角速度 、角加速度及、角加速度及滑块滑块B相对相对AE的加速度。的加速度。例例9-149-14动点：滑块动点：滑块B动系：杆动系：杆AE基点：基点：A解：解：沿沿 方向投影方向投影 沿沿 方向投影方向投影运动方程运动方程AB 平移与基平移与基点选择有关点选择有关（平移的轨迹、平移的轨迹、速度与加速度速度与加速度都与基点的选都与基点的选择有关。），择有关。），转动与基点选转动与基点选择无关择无关（平面平面平面平面运动的转动角运动的转动角运动的转动角运动的转动角速度以及角加速度以及角加速度以及角加速度以及角加速度都速度都速度都速度都与基点与

24、基点与基点与基点的选择无关的选择无关的选择无关的选择无关）。）。vAvAvB一一 个个 实实 例例vB练习1 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OAABBO1O1Cr，角a=b=60，求滑块C的速度。解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：连杆AB作平面运动，瞬心在C1点，则练习2 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成30角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1

25、wABC2wBC连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则练习3 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1AO1O2时，ABO1O2，且AD与AO1在同一直线上，j=30。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。解、运动分析：O1A和O2B作定轴转动；ABD作平面运动，其速度瞬心在点C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB思思考考题题：直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。解：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为 。AB圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则即亦即故