1第一章 概率论基础知识-5.ppt

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1、周周 圣圣 武武数理统计数理统计中国矿业大学中国矿业大学 理学院理学院1.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望方差方差协方差及相关系数协方差及相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵引引例例1 某某车车间间对对工工人人的的生生产产情情况况进进行行考考察察.车车工工小小张张每每天天生生产产的的次次品品数数X是是一一个个随随机机变变量量.如如何何确确定定小小张张每天生产的次品数的平均值呢？每天生产的次品数的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况（假定小张每天至多出现三件次品（假定小张每天至多出现三件次品）（1 1）离散型随机变量的数学期望）离散型随机变

2、量的数学期望1.数学期望数学期望 可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均次品数为每天的平均次品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值吗？的平均值吗？若统计若统计100天天,3232天没有出次品天没有出次品;3030天每天出一件次品天每天出一件次品;1717天每天出两件次品天每天出两件次品;2121天每天出三件次品天每天出三件次品;可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100100天，车工小张不出次品，天，车工小张不出次品，出一件、二件、三件次品的天数与前面的出一件、二件、三件次品的天数与前面的100100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100100天每天的平均

3、次品数也不天每天的平均次品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出次品天没有出次品;n1天每天出一件次品天每天出一件次品;n2天每天出两件才品天每天出两件才品;n3天每天出三件次品天每天出三件次品.可以得到可以得到n天中每天的平均次品数为天中每天的平均次品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,以以频率频率为权为权的加权平均的加权平均 当当n很大时，很大时，频率频率接近于接近于概率，概率，所以我们在求次品数所以我们在求次品数X的平均值的平均值时，用时，用概率代替频率概率代替频率，得平均，得平均值为值为以以概率概率为权为权的加权平均的加权

4、平均这是一个确定的数这是一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量我们就用这个数作为随机变量X 的平均值的平均值.注：注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的若级数若级数绝对收敛绝对收敛 。设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 简称简称期望或均值期望或均值，记为，记为 E(X).则称此则称此级数的和级数的和为为X 的的数学期望数学期望。即即级数的和级数的和.数学期望是随机变量的平均值，数学期望是随机变量的平均值，与与 X 的取的取值值 x k 的顺序无关的顺序无关（唯一性），（唯一性），所以要求级数绝对收敛。所以要求级数绝对收敛。定

5、义定义1 1定定理理：绝绝对对收收敛敛级级数数经经改改变变项项的的位位置置后后构构成成的的级级数数也也收收敛敛，且且与与原原级级数有相同的和数有相同的和解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n 把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门.若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去，求求打打开开门门时时试开次数的数学期望试开次数的数学期望.例例1例例2甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较

6、高？试问哪个人的射击水平较高？解解 甲乙的平均环数可求得：甲乙的平均环数可求得：因此，从平均环数上看，因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。甲的射击水平要比乙的好。X：甲击中的环数甲击中的环数Y：乙击中的环数击中的环数练习题练习题1.设设X b(n,p)，求，求E(X)。2.设设X()，求，求E(X)。3.设设有有3只只球球，4只只盒盒子子，盒盒子子的的编编号号为为1、2、3、4，将将球球逐逐个个随随机机地地投投入入4只只盒盒子子中中去去，记记X为为其其中中至至少少有有一一只只球球的的盒盒子子的的最最小小号号码码，求求E(X)。100/64（2 2）连续型随机变量的数学期望）连续型随机

7、变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点x0 x1x20,0。以该股票为标的资产，执行价格为。以该股票为标的资产，执行价格为K的欧式看涨期权在当前时刻的欧式看涨期权在当前时刻t的价值为的价值为求求Ct。定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 即即若若存在，则称它为存在，则称它为X 与与 Y的协方差，记为的协方差，记为Cov(X,Y)（1）协方差和相关系数的定义）协方差和相关系数的定义3.协方差和相关系数协方差和相关系数（2）协方差的性质）协方差的性质Pf:（协方差的计算公式）（协方差的计算公式）Pf:P

8、f:若若X,Y 相互独立，则相互独立，则为常数为常数Pf:（4）相关系数的性质）相关系数的性质1)2)的的充要条件充要条件是是与与以概率以概率1呈线呈线性关系。即性关系。即其中其中为常数为常数定理定理1 设随机变量设随机变量 和和的相关系数存在，则的相关系数存在，则说说 明明相关系数相关系数之间线性关系的一种度量之间线性关系的一种度量.，X 与与Y 的线性关系越显著；的线性关系越显著；，X 与与Y 的线性关系越不显著；的线性关系越不显著；四个等价命题：四个等价命题：2）3）4）1）相关系数）相关系数则称则称与与不相关不相关;不相关不相关：X 与与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之之间没有线性

9、关系，并不表示它们之间没有任何关系。间没有任何关系。所以，当所以，当X 和和Y 独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.=0.故故但由但由并不一定能推出并不一定能推出X 和和Y 独立独立.请看下面的例子请看下面的例子独立：独立：X 与与Y 之间没有任何函数关系。之间没有任何函数关系。例例1 1设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为问问 X 和和 Y 是否相互独立，是否不相关？是否相互独立，是否不相关？解解 先求关于先求关于X 和和Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 因为因为所以所以X 和和 Y 不相互独立。不相互独立。求求X 和和Y 的相关系数的相关系数 所以所以故故X 和和 Y 不相关。不

10、相关。独立独立不相关不相关若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关特例特例若若(X,Y)服从服从二维正态分布二维正态分布。是是Y与与X的相关系数。以下画出的相关系数。以下画出 取几个不同取几个不同值时值时(X,Y)的密度函数图。的密度函数图。例例2 已知二维随机变量已知二维随机变量的概率密度为的概率密度为的相关系数的相关系数 与与试求试求解解故故 与与 的协方差为的协方差为又又所以所以的方差为的方差为同理，同理，的方差为的方差为从而得从而得例例3 3设随机变量设随机变量相互独立，且相互独立，且解解例例4 4(2001.2001.)将一枚硬币重复

11、掷将一枚硬币重复掷 n 次，以次，以分别表示正面向上和反面向上的次数，求分别表示正面向上和反面向上的次数，求的关系数。的关系数。的的解解1)2)例例54.矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵 X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称k阶矩阶矩和和是随机变量，是随机变量，设设X的的k阶中心矩阶中心矩X和和Y的的k+l 阶混合矩阶混合矩X和和Y的的k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵都存在都存在,(i,j=1,2,n)若若矩阵矩阵称称为为(X1,X2,Xn)的相关的相关矩阵矩阵记记ij为为Xi与与Xj的相关系数，则称矩阵的相关系数，则称矩阵定理定理 随机向量的协方差矩阵和相关矩阵都是半正随机向量的协方差矩阵和相关矩阵都是半正定矩阵。定矩阵。或或对任意对任意不等式不等式成立。成立。切比雪夫不等式切比雪夫不等式对任意具有有限方差的随机变量对任意具有有限方差的随机变量X,都有都有证明证明Thank you