线性代数矩阵第2节行列式.ppt

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1、第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 1阶方阵阶方阵A=a11的行列式的行列式|A|定义为定义为a11.a11 a12 a21 a222阶方阵阶方阵A=的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a21 a22|A|=a11a22 a12a21.a11 a12 a21 a22a11(1)1+1a22+a12(1)1+2a21 a11 a12 a21 a22一一.行列式行列式(determinant)的定义的定义 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第二章第二章第二章第二章 矩

2、阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33a11的的余子式余子式:a22 a23 a32 a33M11=代数余子式代数余子式:A11=(1)1+1M11 a12的的余子式余子式:a21 a23 a31 a33M12=代数余子式代数余子式:A12=(1)1+2M12 a13的的余子式余子式:M13=代数余子式代数余子式:A13=(1)1+3M13 a21 a22 a31 a32a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式

3、矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 3阶方阵阶方阵A=的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33|A|=a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11A11+a12A12+a13A13=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 一般地一般地,在

4、在n阶行列式中阶行列式中,把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去,留下来的留下来的n 1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素aij的的余子式余子式(minor),记作记作Mij,令令Aij=(1)i+jMij,并称之为并称之为aij的的代数余子式代数余子式(cofactor).例如例如,四阶阶行列式四阶阶行列式中中中中a a3232的余子式为的余子式为的余子式为的余子式为 a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434a

5、 a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232=,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A A3232 =(=(1 1)3+23+2MM32 32=MM3232.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 补充补充.数学归纳法数学归纳法(Principle of mathematical induction)Principle of ma

6、thematical induction)1.第一数学归纳法原理第一数学归纳法原理:则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.设设P是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题的命题,若若 P对于对于n=n0成立成立.当当n n0时时,由由“n=k时时P成立成立”可推出可推出“n=k+1时时P成立成立”,第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 2.第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理:设设P为一个关于自然数为一个关于自然数n的命题的命题,若若 P对于对于n=n0成立成立,由由“n0 n k时时P成立成立”可

7、推出可推出 “n=k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=a11A11+a12A12+a1nA1n 假设假设n 1阶行列式已经定义阶行列式已经定义,=a a1111(1)1)1+11+1MM1111 +a a1212(1)1)1+21+2MM1212 +a a1 1n n(1)1+nM1n n 1阶行列式阶行列式(LaplaceLaplace Expansion of

8、 Determinants)Expansion of Determinants)P.-S.P.-S.Laplace Laplace 法法法法 (1749.3.231827.3.5)则定义则定义n阶行列式阶行列式 第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 注注:二阶二阶行列式和三行列式和三阶阶行列式的行列式的对角线法则对角线法则:a11 a12 a21 a22=a11a22 a12a21 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21

9、a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 例例1.下三角形下三角形(lower triangular)行列式行列式 a11 0 0a21 a22 0 an1 an2 ann=a11 a22ann.例例2.上三角形上三角形(upper triangular)行列式行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann=a11 a22ann.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2

10、行列式行列式行列式行列式 二二.行列式的性质行列式的性质 性质性质1.互换行列式中的两列互换行列式中的两列,行列式变号行列式变号.推论推论.若行列式若行列式 D 中有两列完全相同中有两列完全相同,则则 D=0.a11 a12 a21 a22例如例如=a11a22 a12a21,a12 a11 a22 a21=a12a21 a11a22.1 1 2 2 D=1 1 2 2=D D=0.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 性质性质2.(线性性质线性性质)(1)det(1,k j,n)=kdet(1,j,n);(2)d

11、et(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).现学现用现学现用(1)设设A为为n阶方阵阶方阵,则则det(A)=_ det(A).(1)n(2)a+b c+d u+v x+y=.a a c c u u x x +b b d d v v y y ,a a c c u u x x +a a d d u u y y +b b c c v v x x +b b d d v v y y .第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 推论推论.若行列式若行列式 D 中有两列元素成比例中有两列元素成比例,则则 D

12、=0.a a11 11 a a1 1i i k ka a1 1i i a a1 1n n a a2121 a a2 2i i k ka a2 2i i a a2 2n n a an n1 1 a an ni i k ka an ni i a annnn=k0=0.=0.=ka a11 11 a a1 1i i a a1 1i i a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2i i a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an ni i a annnn第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式

13、行列式行列式行列式 性质性质3.把行列式的某一列的把行列式的某一列的k倍加到另一列倍加到另一列 上去上去,行列式的值不变行列式的值不变.a a11 11 (a a1 1i i+k ka a1 1j j)a a1 1j j a a1 1n n a a2121 (a a2 2i i+k ka a2 2j j)a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 (a an ni i+k ka an nj j)a an nj j a annnn=a a11 11 a a1 1i i a a1 1j j a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2j j a a2 2n

14、n a an n1 1 a an ni i a an nj j a annnn+a a11 11 k ka a1 1j j a a1 1j j a a1 1n n a a2121 k ka a2 2j j a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 k ka an nj j a an nj j a annnn第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 例例3.1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 (2)2)1 0 1 0 4 4 =2 6 1 2 6 1 3 10 3 1

15、0 2 2 1 1 0 0 0 0 =2 2 (7 7)2 2 3 3 1 1 3 3 5 5 2 2 1 1 0 0 0 0=14 14 2 2 0 0 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0=1414 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1=14.14.4 4 1 0 0 1 0 0 =2 6 2 6 7 7 3 10 3 10 1414 (3)3)注注:本题也可以用定义或对角线法则计算本题也可以用定义或对角线法则计算.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 例例4.设设D=a a11 1

16、1 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =,证明证明:D=D1D2.证明证明:对对D1施行施行ci+kcj 这类运算这类运算,把把D1化为下三化为下三 角形行列式角形行列式:=p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm .=p p11 11 p pmmmm ,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnnD D2 2 =,a a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0,a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm

17、nm b bn n1 1 b bnn nn a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 对对对对D D2 2施行施行施行施行c ci i+k kc cj j 这类运算这类运算这类运算这类运算,把把把把D D2 2化为下三角形行列式化为下三角形行列式化为下三角形行列式化为下三角形行列式:b b11 11 b b1 1n nb bn n1 1 b bnnnnD D2 2 =q q11 11 q qn n1 1 q qnnnn .=q q11

18、 11 q qnnnn ,于是对于是对于是对于是对D D的前的前的前的前mm列施行上述列施行上述列施行上述列施行上述c ci i+k kc cj j 运算运算运算运算,再对再对再对再对D D的后的后的后的后n n列列列列 施行上述施行施行上述施行施行上述施行施行上述施行c ci i+k kc cj j 运算运算运算运算,可得可得可得可得:=p p11 11 p pmmmm q q11 11 q qnnnn =D D1 1D D2 2.a a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 D D=a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11

19、11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn.p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm =.0d dn n1 1 d dnmnm q qn n1 1 q qnn nn d d1111 d d1 1mm q q1111.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 性质性质4.设设A,B为同阶方阵为同阶方阵,则则|AB|=|A|B|.性质性质5.|AT|=|A|.注注:根据方阵的性质根据方阵的性质5,前面几条关于前面几条关于列列的的 性质可以翻译到性质可以翻译

20、到行行 的情形的情形.例如例如:性质性质1.互换行列式中的两互换行列式中的两行行,行列式变号行列式变号.A.L.A.L.Cauchy Cauchy 法法法法 (1789.8.211789.8.21 1857.5.231857.5.23)第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 定理定理1.n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和之和.即即 D=a11A11+a12A12+a1nA1n =a21A21+a22A22+a2nA2n =

21、an1An1+an2An2+annAnn =a11A11+a21A21+an1An1 =a12A12+a22A22+an2An2 =a1nA1n+a2nA2n+annAnn.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 性质性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).定理定理2.设设D=|aij|,则则 aikAjk=D ij,k k=1=1n n akiAkj=D ij.k k=1=1n n注注:克罗内克记号克罗内克记号 ij=1,i=j,0,i

22、j.L.L.KroneckerKronecker 德德德德(1823.12.71823.12.7 1891.12.291891.12.29)第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 三三.行列式的计算行列式的计算 1.二二,三阶行列式三阶行列式对角线法则对角线法则.2.利用初等变换化为三角形利用初等变换化为三角形.(其中其中n 2,x a).Dn=x a a a x a a a x 例例5.计算计算n阶行列式阶行列式 第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列

23、式行列式行列式 Dn=x a a a x a a a xx+(n 1)a a a x+(n 1)a x a x+(n 1)a a x=解解:(1 1)x+(n 1)a a a a a 0 x a 0 0 0 0 0 x a 0 0 0 0 0 x a 0 0 0 0 0 x a =x+(n 1)a(x a)n 1.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 3.按某一行按某一行(列列)展开展开降阶降阶.4.递推递推/归纳归纳.(未写出的元素都是未写出的元素都是0).例例6.计算计算2n阶行列式阶行列式 D2n=a b a

24、 b c d c d 第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 解解解解:D D2 2n n=a=a.a a a a b b b b 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 a a a a b b b b c c 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b.a a 0 0 0 0 a a a a b b c c d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 b b b b 0 0 0 0 c c c c 0 0.第二章

25、第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 =a=a.a a a a b b b b 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0 0 0 d d .0 0 a a a a b b b b c c 0 0 c c c c 0 0 d d d d 0 0.+(+(1 1)2 2n n+1+1b b=ad Dad D2(2(n n 1 1)bcbc D D2(2(n n 1 1)=(=(ad ad bcbc)D D2(2(n n 1 1)=(=(ad ad bcbc)2 2D D2(2(n n 2 2)=(=(ad ad

26、 bcbc)3 3D D2(2(n n 3 3)=(=(ad ad bcbc)n n 1 1 D D2 2=(=(ad ad bcbc)n n.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 例例7.证明证明n阶阶(n 2)范德蒙行列式范德蒙行列式 D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1 a an n n n-1-1=(a ai i a aj j).).n n i i j j

27、 1 1 Alexandre-Thophile Vandermonde Born:28 Feb 1735 in Paris,France Died:1 Jan 1796 in Paris,France 第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 =1 1 1 11 1 1 10 0 a a2 2 a a1 1 a a3 3 a a1 1 a an n a a1 10 0 a a2 2(a a2 2 a a1 1)a a3 3(a a3 3 a a1 1)a an n2 2(a an n a a1 1)0 0 a a2 2

28、n n-2-2(a a2 2 a a1 1)a a3 3n n-2-2(a a3 3 a a1 1)a an nn n-2-2(a an n a a1 1)现设等式对于现设等式对于现设等式对于现设等式对于(n n 1)1)阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立,则则则则 证明证明证明证明:当当当当n n=2=2时时时时,D D2 2=(=(a a2 2 a a1 1).).D Dn n=1 1 1 1 1 1a a1 1 a a2 2 a an na a1 12 2 a a2 22 2 a an n2 2 a a1 1n n-1-1 a a2 2n n-1-1

29、 a an n n n-1 -1 (a a1 1)(a a1 1)(a a1 1)第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 =(a2 a1)(a3 a1)(an a1)1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1)a3(a3 a1)an2(an a1)0 a2n-2(a2 a1)a3n-2(a3 a1)ann-2(an a1)=(a2 a1)(a3 a1)(an a1)(ai aj)n n i i j j 2 2=(ai aj

30、).n n i i j j 1 1克拉默法则克拉默法则(Cramers Rule)第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 G.G.Cramer Cramer 瑞士瑞士瑞士瑞士 (1704.7.311704.7.31 1752.1.41752.1.4)C.C.MaclaurinMaclaurin 英英英英 (1698.21698.2 1746.6.141746.6.14)第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 可以表示为可以表示为Ax=b.则

31、线性方程组则线性方程组 x x1 1x x2 2x xn n 记记x=,b b1 1b b2 2b bm m b b=,A A=a a1111 a a1212 a a1 1n na a2121 a a2222 a a2 2n n a amm1 1 a amm2 2 a amn mn,下面讨论下面讨论A为为n阶方阵的情形阶方阵的情形.第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 对于对于n元线性方程组元线性方程组记记记记D D=a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2

32、2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn,D D1 1=b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2 a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a ann nn,D D2 2=a a1111 b b1 1 a a1 1n n a a2121 b b2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a ann nn,D Dn n=.a a1111 a a1212 b b1 1 a a2121 a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn n 第二章第二章第二章第二章 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 2.2 2.2 行列式行列式行列式行列式 定理定理3.设设A为为n阶方阵阶方阵,|A|0,则方程组则方程组 有唯一解有唯一解:Ax=b,x1=D1 D x2=D2 D,xn=Dn D.证明证明:|A|0 1 D A*b x=A 1b=1 D A11 An1 A1n Ann b1 bn x1 xn