概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章).ppt

《概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章).ppt（70页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、华南农业大学理学院应用数学系 Probabilityu 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率u 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布u 第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n边缘分布与独立性边缘分布与独立性n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布3.1 二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布例如例如 E E：抽样调查：抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高

2、 X X与体重与体重 Y,Y,以以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X X及及Y Y各自的性质，各自的性质，更更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为称为随机随机向量，又称多维向量，又称多维R.v.。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。设设

3、X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变上的随机变量，则称向量量，则称向量（X X，Y Y）为为上的一个上的一个二维随机变二维随机变量量。有时也用有时也用(,)(,)表示表示.eX(e)Y(e)RXRY0 xyX(e)Y(e)(X(e),Y(e)n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）An随机事件随机事件(a,b)n n定义定义定义定义称为二维随机变量的联合分布函数称为二维随机变量的联合分布函数n n性质性质性质性质二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数 若若（XX，Y Y）是是是

4、是随机变量，对于任意的实数随机变量，对于任意的实数x,y.x,y.设设随机随机变变量（量（X，Y）的分布函数）的分布函数为为 确定常数确定常数A，B，C的的值值；例例(X X ,Y )平面上的随机点平面上的随机点 随机点（随机点（X,X,Y Y）落在以点（）落在以点（x x，y y）为顶点而位）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域于该点左下方的无穷矩形域G G内的概率。内的概率。n n几何意义几何意义几何意义几何意义 P P（x x1 1 X x x2 2，y y1 1 Y y y2 2）=F(x=F(x2 2,y,y2 2)-F(x)-F(x2 2,y,y1 1)-F(x)-F(x1 1,y,

5、y2 2)+F(x)+F(x1 1,y,y1 1)联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 X y y2 2）x1x2y1y2F(xF(x2 2,y,y2 2)x1x2y1y2-F(x-F(x2 2,y,y1 1)x1x2y1y2-F(x-F(x1 1,y,y2 2)x1x2y1y2+F(x+F(x1 1,y,y1 1)x1x2y1y2 （XX，Y Y）可能取哪些值？可能取哪些值？它取这些值的概率分别为多少？它取这些值的概率分别为多少？n n定义定义定义定义n研究问题研究问题二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维

6、R.v.R.v.（XX，Y Y）的所有可能的取值是有的所有可能的取值是有限对或可列个实数对，则称限对或可列个实数对，则称（XX，Y Y）是是二维离散型二维离散型随机变量。随机变量。（xi,yj)PX=xi，Y=yj）=Pij（i，j=1,2,）（X X X X，Y Y Y Y）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）的联合概率分布（分布律）pij0n n表达式形式表达式形式表达式形式表达式形式。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。n n表格形式表格形式表格形式表格形式例例掷三次均匀的硬币，以掷三次均匀的硬币，以X X表示出现正面的表示出现正面的次

7、数，以次数，以Y Y表示正面出现次数与反面出现表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求（次数之差的绝对值，求（X X，Y Y）的分布列。）的分布列。解解的可能取的可能取值为值为(0，3)，(1，1)，(2，1)，（，（3，3）.P(X=0,Y=3)=1/8P(X=0,Y=3)=1/8P(X=1,Y=1)=3/8P(X=1,Y=1)=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=3)=1/8P(X=3,Y=3)=1/8X Y 3 1 0 1/8 0 1 0 3/8 2 0 3/8 3 1/8 0 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球，依次依次标标有数字有数

8、字1，2，2，从中任从中任取一个，取一个，不放回袋中，不放回袋中，再任取一个，再任取一个，设设每次取球每次取球时时，各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等.以、分以、分别记别记第一次和第二次取到的球第一次和第二次取到的球上上标标有的数字，有的数字，求求的的联联合分布列合分布列.的可能取的可能取值为值为(1，2)，(2，1)，(2，2).，(1/3)(1/3)(2/2)(2/2)1/31/3，(2/3)(2/3)(1/2)(1/2)1/31/3，=(2/3)=(2/3)(1/2)(1/2)1/31/3，1/31/31/3 例例解解 则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量。是二元连

9、续型随机变量。f f（x x，y y）称为二元随机变量）称为二元随机变量(X,Y)(X,Y)的的联合联合概率密度函概率密度函数数.联合概率密度联合概率密度n n定义定义定义定义 若存在非负函数若存在非负函数 f f（x x，y y），使对任意实），使对任意实数数x x，y y，二元随机变量，二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数联合概率密度联合概率密度f(x,y)f(x,y)的性质的性质n非负非负n n几何解释几何解释几何解释几何解释n.n.设设二二维维随机随机变变量量的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 k；(2)求求的分布函数；的分布函数；.(4)求求例例(1)(2

10、)(3)(4)例例设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的分布函数为）的分布函数为求其密度函数。求其密度函数。例例设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的密度函数为）的密度函数为求求二维均匀分布二维均匀分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 上服从上服从均匀分布均匀分布.在在，则称，则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 其中其中均为参数均为参数 则称则称 服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布 n作业作业P69P691;3;5;7;1;3;5;7;3

11、.2 边缘分布与独立性边缘分布与独立性 边缘分布边缘分布 marginal distribution 二维随机变量二维随机变量作为一个整体，具有联合作为一个整体，具有联合分布函数分布函数，而，而又都是一维随机变量，又都是一维随机变量，都有各自的分布函数，分别记为都有各自的分布函数，分别记为依次称它们为二维随机变量依次称它们为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布行和行和列和列和 Y y1 y2 y3 Pi.X x p11 p12 p13 p1 x p21 p22 p

12、23 p2 p.j p.p.2 p.3 例例1 设袋中有4个白球及5个红球，现从其中随机地抽取两次，每次取一个，定义随机变量，如下：写出下列两种试验的随机变量 的联合分布与边缘分布.(1)有放回摸球；(2)无放回摸球.解解(1)采取有放回摸球时，的联合分布与边缘分布由下表给出：0104/94/94/95/94/915/94/95/95/95/94/95/9 (2)采取无放回摸球时，的联合分布与边缘分布由下表给出：0104/93/84/95/84/915/94/85/94/85/94/95/9 (2)采取无放回摸球时，的联合分布与边缘分布由下表给出：二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量

13、的边缘分布 的边缘分布函数为的边缘分布函数为nX的边缘概率密度为的边缘概率密度为 nY的边缘概率密度为的边缘概率密度为 求导可得求导可得 边缘概率密度边缘概率密度 积分结果积分结果不含不含y y-由由由由 f(x,y)f(x,y)求求求求 f fX X(x)(x)和和和和 f fY Y(y)(y)：例例 设（设（X,Y）的联合密度为）的联合密度为求求k和边缘密度和边缘密度同理同理解解边缘密度和概率的计算边缘密度和概率的计算例例设（设（X,Y)的联合密度为的联合密度为（1）求）求k(2)求求X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)(1)(2)同理同理均匀分布均匀分布(3

14、)1-1化重积分为累次定积分化重积分为累次定积分 下面我们借助于随机事件的相互独立性概念，引进随机变量的相互独立性.二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性定义定义3.4 设及分别是二维随机变量 的联合分布函数及边缘分布函数，若对一切 ，都有 ，即 ，(3.13)则称随机变量随机变量和和是相互独立的是相互独立的.n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于别等价于 则称则称 X与与 Y相互独立相互独立.若对任意的实数集若对任意的实数集D D1 1和和 D D2 2n n定义定义定义定义随机变量的相互独立随机变量的相互独立 在实际问题或应用

15、中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，进而相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用.在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，由由由由联合分布可求边缘分布；联合分布可求边缘分布；联合分布可求边缘分布；联合分布可求边缘分布；由由由由边缘分布也可求联合分布！边缘分布也可求联合分布！边缘分布也可求联合分布！边缘分布也可求联合分布！n n实际意义实际意义实际意义实际意义n n补充说明补充说明补充说明补充说明设（设（X，Y）的概率分布（律）为）的概率分布（律）为

16、2/5 1/5 2/5 pi.2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 p.j 2 0 -1XY证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 X-1 0 2 p.i 2/5 1/5 2/5 Y 1/2 1 2 Pj.1/4 1/4 2/4于是直接验证知于是直接验证知XX、Y Y相互独立相互独立（i,j=1，2，3）例例 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为求求 (1)P(1)P（0X1 0X1，0Y10Y1）(2)(X,Y)(2)(X,Y)的边缘密度

17、，的边缘密度，（3 3）X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1，0y10y1），P P（0 X 1 0 X 1，0 Y10 Y1）边缘密度边缘密度X X（x x）和和 Y Y（y y）为为 已知已知可验证，对一切可验证，对一切 x x，y y，都有，都有因而因而 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。设（设（设（设（X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)服从矩形域服从矩形域服从矩形域服从矩形域上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证上的均匀分布，求证 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。例例时时时

18、时解解于是于是于是于是同理同理同理同理所以所以所以所以即即即即 X X X X 与与与与 Y Y Y Y 独立。独立。独立。独立。离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布u 条件分布律具有一维分布律的性质条件分布律具有一维分布律的性质 u 联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概率除以边缘分布的概率即可率除以边缘分布的概率即可.连续型随机变量的条件分布密度连续型随机变量的条件分布密度的条件下的条件下 的条件分布密度为的条件分布密度为n在在 ;.的条件下的条件下 的条件

19、分布密度为的条件分布密度为n在在两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布设设 是二维随机变量是二维随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为 是随机变量是随机变量 的二元函数的二元函数 n 的分布函数的分布函数n 的密度函数的密度函数例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数解解o oz z两个两个独立独立随机变量的和的分布随机变量的和的分布n如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立n作业作业P70P708 8；10 10 复习与小结复习与小结1.1.已知已知求事件求事件A A，B B，C C全不发生

20、的概率全不发生的概率知识点知识点知识点知识点n事件的关系与运算事件的关系与运算n加法定理加法定理2.2.事件事件A A，B B满足条件满足条件n摩根定律摩根定律 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别是分别是0.40.4，0.50.5，0.70.7，如果只有一个人击中，则收音，如果只有一个人击中，则收音机被击落的概率是机被击落的概率是0.2;0.2;如果有二人击中，则飞机被击如果有二人击中，则飞机被击落的概率是落的概率是0.6;0.6;如果三人都击中，则飞机一定被击落如果三人都击中，则飞机一定被击落求求 （1 1）飞机被击落的概率）飞机被击落的

21、概率 （2 2）当已知飞机被击落，问飞机是被第一人击中）当已知飞机被击落，问飞机是被第一人击中 的概率。的概率。知识点知识点知识点知识点n全概率公式全概率公式n条件概率条件概率 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假设各箱中含只，假设各箱中含0 0 ，1 1，2 2只残次品的概率分别为只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻一顾客欲购买一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看璃杯，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4 4只，若无只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求 （1 1）顾客

22、买下该箱玻璃杯的概率；）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2 2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。知识点知识点知识点知识点n全概率公式全概率公式nBayesBayes定理定理 知识点知识点知识点知识点n二项分布二项分布 从学校乘汽车到火车站的途中有从学校乘汽车到火车站的途中有3 3个交通岗，假个交通岗，假设设在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是率都是0.40.4。设。设X X为途中遇到的红灯次数，求随机变为途中遇到的红灯次数，求随机变量量X X的分布律和数学期望。的分布律和数学期望。n二项分布

23、的数学期望二项分布的数学期望 知识点知识点知识点知识点n泊松分布泊松分布 设某班车起点站上客人数设某班车起点站上客人数X X服从参数为服从参数为（00）的）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p,(0p1),且中途下车与否相互独立。以且中途下车与否相互独立。以Y Y表示在中途下车的人数，表示在中途下车的人数，求求 （1 1）在发车时有）在发车时有 n n个乘客的条件下，中途有个乘客的条件下，中途有 m m人人下车的概率；下车的概率；（2 2）二维随机变量（）二维随机变量（X,Y)X,Y)的概率分布的概率分布n二项分布二项分布n联合分布与边缘分布联合分布与

24、边缘分布 某市某市举举行大学生数学行大学生数学竞赛竞赛，设设参参赛赛者的成者的成绩绩X服从正服从正态态分布，其均分布，其均值为值为66.8分，均方差分，均方差为为12.5分，分，现现按上按上,中中,下把成下把成绩绩分成三等，他分成三等，他们们所占的比例分所占的比例分别为别为25%，50%，25%，求中等参，求中等参赛赛者的分数者的分数线线。（已知（已知标标准正准正态态分布的分布函数分布的分布函数（0.6750.675）=0.75=0.75）知识点知识点知识点知识点n正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差n正态分布的标准化正态分布的标准化n标准正态分布的查表标准正态分布的查表在下列两种情况下求

25、方程在下列两种情况下求方程有实数根的概率：有实数根的概率：（1 1）随机变量）随机变量X X服从区间服从区间11，66上的均匀分布上的均匀分布（2 2）随机变量）随机变量X X服从服从11，2 2，3 3，4 4，5 5，66上的均匀上的均匀 分布分布知识点知识点知识点知识点n均匀分布的密度函数均匀分布的密度函数n一维连续随机变量的区间概率一维连续随机变量的区间概率 设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立，试完成下表相互独立，试完成下表 1 1/6 PY=yi=p.j 1/8 x21/8 x1PX=xi=pi.y3 y2 y1知识点知识点知识点知识点n二维离散随机变量的联合分布和边缘分布

26、二维离散随机变量的联合分布和边缘分布n随机变量的独立性及其性质随机变量的独立性及其性质 袋中有袋中有袋中有袋中有5 5 5 5个球，编号为个球，编号为个球，编号为个球，编号为1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，4 4 4 4，5 5 5 5。从任取。从任取。从任取。从任取3 3 3 3个球，用个球，用个球，用个球，用X,YX,YX,YX,Y分别表示其中最小号码和最大号码。分别表示其中最小号码和最大号码。分别表示其中最小号码和最大号码。分别表示其中最小号码和最大号码。（1 1 1 1）求）求）求）求 （X,Y)X,Y)X,Y)X,Y)的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布（2 2

27、2 2）判断）判断）判断）判断 X,YX,YX,YX,Y的独立性的独立性的独立性的独立性（3 3 3 3）计算）计算）计算）计算 E(Y-X).E(Y-X).E(Y-X).E(Y-X).知识点知识点知识点知识点n二维离散随机变量的独立性二维离散随机变量的独立性n二维离散随机变量的联合分布二维离散随机变量的联合分布n方差的性质和计算方差的性质和计算设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为（2 2）X X的取值落在区间的取值落在区间（3 3）X X的分布函数的分布函数（1 1）常数）常数C C；内的概率内的概率知识点知识点知识点知识点n密度函数的性质密度函数的性质n区间概率的

28、计算区间概率的计算n由密度函数求分布函数由密度函数求分布函数设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为求求知识点知识点知识点知识点n二维连续随机变量的边缘分布二维连续随机变量的边缘分布n二维连续随机变量的期望和方差二维连续随机变量的期望和方差n二维连续随机变量的独立性二维连续随机变量的独立性知识点知识点知识点知识点n正态分布正态分布n期望和方差的性质期望和方差的性质n随机变量的函数的期望和方差随机变量的函数的期望和方差 设两个随机变量设两个随机变量X,YX,Y相互独立。且都服从均相互独立。且都服从均值为值为0 0，方差为，方差为1/21/2的正态分布，求随机变量的正态分

29、布，求随机变量|X-|X-Y|Y|的方差。的方差。n期望和方差的计算期望和方差的计算知识点知识点知识点知识点n正态分布正态分布n期望和方差的性质期望和方差的性质n随机变量的函数的期望和方差随机变量的函数的期望和方差 设两个随机变量设两个随机变量X,YX,Y相互独立。且都服从均值相互独立。且都服从均值为为0 0，方差为，方差为1/21/2的正态分布，求随机变量的正态分布，求随机变量|X-Y|X-Y|的的方差。方差。n期望和方差的计算期望和方差的计算有限多个事件的独立性有限多个事件的独立性 如果事件如果事件1 1 ，2 2 ，.，n n 中任何一个事件中任何一个事件i i（i i1 1，2 2，.，n n）与其它任意）与其它任意m m（m m1 1，2 2，.，n-1n-1）个事件的积是独立的，则称这）个事件的积是独立的，则称这n n个事件个事件1 1 ，2 2 ，.，n n 相互独立相互独立 ()=()=()=(（）)()=()=()=(（）)()=()=()=(（）)n三个事件三个事件,的相互独立的相互独立nn 个个事件事件,的相互独立的相互独立三人独立地破译一份密码，已知每个人能译三人独立地破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为出的概率分别为1/5，1/3，1/4，求密码译出，求密码译出的概率。的概率。解解设设Ai=“第第i人译出密码人译出密码”，i=1，2，3