[理学]第五章大数定律与中心极限定理ppt课件.ppt

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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 在大量随机现象中在大量随机现象中,我们不仅看到我们不仅看到随机事件频率的稳定性随机事件频率的稳定性,而且还看到一而且还看到一般的平均结果的稳定性般的平均结果的稳定性.概率论中用来概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为一系列定理统称为大数定律大数定律.大数定律大数定律是一种表现必然性与偶然性之间的辩证是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规律联系的规

2、律.由于大数定律的作用由于大数定律的作用,大量大量的随机因素的总和作用必然导致某种不的随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果依赖于个别随机事件的结果.1经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.1 大数定律大数定律 定理一（契比雪夫定理的特殊情况）设随机变量 相互独立，且具有相同的数学期望和方差：作前 n 个随机变量的算术平均，记为即2经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用则对于任意正数则对于任

3、意正数 恒有恒有（1.1）3经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用契比雪夫不等式复习契比雪夫不等式复习设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望4经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用则对于任意正数则对于任意正数不等式不等式即即5经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用或或6经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消

4、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证明证明 由于由于7经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由契比雪夫不等式由契比雪夫不等式即得8经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 （1.1）式中，）式中，是一个是一个随机事件，等式表明，当随机事件，等式表明，当 时，时，这个事件的概率趋于这个事件的概率趋于 1，即对于任意，即对于任意正数正数 当当 n 充分大时，充分大时，不

5、等式不等式 几乎都是成立的通几乎都是成立的通常我们称序列常我们称序列 依概率收敛于依概率收敛于 。9经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 一般地，设一般地，设 为一个随为一个随机变量序列，机变量序列，a 是一个常数，若对于是一个常数，若对于任意正数任意正数 都有都有则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛依概率收敛于于 a 记为记为10经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 定理定理 1 表明当表明当 n

6、很大时，随机很大时，随机变量变量 的算术平均的算术平均 接近接近于于数学期望数学期望 这种接近是这种接近是概率意义下的接近。概率意义下的接近。通俗的说，在定理通俗的说，在定理 1 的条件下的条件下，n 个随机个随机变量的算术平均，当变量的算术平均，当 n 无限增加时将无限增加时将几乎变成一个常数了。几乎变成一个常数了。=niiXn1111经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 定理二定理二 （伯努利大数定理伯努利大数定理）设在设在 n 次次独立试验中事件独立试验中事件 A 发生的次数为发生的次数为 ，在

7、每，在每次试验中事件次试验中事件 A 发生的概率为发生的概率为 p，则对于，则对于任意给定的正数任意给定的正数0，恒有，恒有（1.2）（1.2）或12经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用伯努利大数定理伯努利大数定理在独立试验序列中，设事件在独立试验序列中，设事件A的概率的概率则则13经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用或或14经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔

8、偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证明证明15经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用相互独立，相互独立，（01）分布，）分布，服从相同的服从相同的16经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由切比雪夫定理由切比雪夫定理17经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用18经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者

9、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用意义意义频率代替概率的理论基础频率代替概率的理论基础19经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 伯努利定理是契比雪夫定理的特例，伯努利定理是契比雪夫定理的特例，它从理论上证明了频率的稳性。只要它从理论上证明了频率的稳性。只要试验次数试验次数 n 足够大，事件足够大，事件 A 出现的频出现的频率率 与事件与事件 A 的概率的概率 p 有较大偏差的有较大偏差的可能性很小。因此在实践中，当试验可能性很小。因此在实践中，当试验次数较

10、大时，便可以用事件发生的频次数较大时，便可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率率来代替事件发生的概率。20经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理三定理三（辛钦大数定理辛钦大数定理）设随机变量设随机变量X1,X2 Xn互相互相独立独立,服从同一分布且具有数学期服从同一分布且具有数学期望望E(Xk)=,(k=1,2)。则对任意则对任意0,有有21经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第二节第二节 中心极限定理中

11、心极限定理大量相互独立的随机因素的大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，综合效应所形成的，而其中的每一个单个因素在而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的总的效应中所起的作用都是微小的。作用都是微小的。22经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用这类随机变量往往近似地服这类随机变量往往近似地服从正态分布。从正态分布。论证随机变量和的极限分布论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称是正态分布的一系列定理统称为中心极限定理。为中心极限定理。23经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的

12、要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用中心极限定理中心极限定理独立同分布独立同分布德莫佛德莫佛 拉普拉斯拉普拉斯24经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 Th4独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理设随机变量设随机变量相互独立，相互独立，服从同一分布服从同一分布且具有有限的数学期望和方差且具有有限的数学期望和方差25经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用则则26经营

13、者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理四表明定理四表明:当当n时，独立同分布时，独立同分布随机变量序列随机变量序列Yn的分布函数收敛于的分布函数收敛于标准正态分布的分布函数。标准正态分布的分布函数。即即27经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用28经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即随机变量的标准化即随机变量的标准化2

14、9经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注意注意30经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例在每组射击中，在每组射击中，命中目标的炮弹数的命中目标的炮弹数的数学期望为数学期望为 2，均方差为均方差为1.5，求在求在 100 组射击组射击中由中由 180 到到 220 发炮弹命中发炮弹命中目标的概率目标的概率31经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购

15、买商品的价款或接受服务的费用解解设设 表示第表示第 i 组命中目标组命中目标的炮弹数的炮弹数由题设由题设32经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用则则33经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用34经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用35经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿

16、的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用36经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用37经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用作为定理作为定理 四四 的特殊情况，我们给出下面的定理。的特殊情况，我们给出下面的定理。定理六定理六（德莫佛德莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量 服从参服从参数为数为 的二项分布，的二项分布，则对于任意则对于任意x，恒有恒有 38经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按

17、照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即即39经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证其中其中 的分布律为的分布律为由于则定理四中的则定理四中的 化为化为故由定理故由定理 四可得上述结论。四可得上述结论。40经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 定理六表明，正态分布定理六表明，正态分布是二项分布的极限分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时充分大时,可以利用该可

18、以利用该定理来计算二项分布的概定理来计算二项分布的概率率.41经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 近似公式近似公式1 1 若独立随机变量若独立随机变量X1,X2Xn满足定理四的条件，则满足定理四的条件，则当当n充分大时充分大时,对任意实数对任意实数 z1、z2，有有42经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用近似公式近似公式2 2 若Xnb(n,p),则有P(aXnb)在后面将学的数理统计中，我们会看到，中在后

19、面将学的数理统计中，我们会看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础心极限定理是大样本统计推断的理论基础。43经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例例 设一货轮在某海区航行，已知设一货轮在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于于 的概率为的概率为 。若货轮在航行中。若货轮在航行中遭受了遭受了90000 次波浪冲击，问其中有次波浪冲击，问其中有 29500 至至 30500 次纵摇角度大于次纵摇角度大于 的的概率是多少？概率是多少？44经营者提供商品或者服

20、务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 解解 可将货轮每遭受一可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。验，并认为实验是独立的。在在 90000次波浪冲击中，次波浪冲击中，纵摇角度大于纵摇角度大于6的次数记的次数记为为X 45经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用的二项分布，其分布律为的二项分布，其分布律为则则 X 为一随机变量，它服从为一随机变量，它服从46经营者提供商品或者服务有欺诈行为

21、的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用所求概率为所求概率为显然，要直接计算是困难的。显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫可以利用德莫佛佛拉普拉斯拉普拉斯定理来求它的近似值。即有定理来求它的近似值。即有47经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用48经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将将 代入有代入有49经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费

22、者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 某校有学生某校有学生50005000人，有人，有一个开水房，现有水龙头数一个开水房，现有水龙头数量为量为4545个，由于每天傍晚打个，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，已知每个学排长队的现象，已知每个学生在傍晚一般有学生在傍晚一般有1 1的时间的时间要占用一个水龙头，请问：要占用一个水龙头，请问：50经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用（1 1）未新装水龙头前，）未新装水

23、龙头前，拥挤的概率是多少？拥挤的概率是多少？（2 2）需至少要装多少个）需至少要装多少个水龙头，才能以水龙头，才能以9595以上以上的概率保证不拥挤？的概率保证不拥挤？51经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解（1）设占用水龙头学生人数为X,它服从二项分布b（5000，0.01），已知n=5000,p=0.01，q=0.99 np=50，52经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用=(-0.71)-(7.09)=

24、0.2389所以P(X45)=0.761153经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用（2 2）设）设m m 表示水龙头数，表示水龙头数，应有应有P(0Xm)0.95,P(0Xm)0.95,即即 54经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 查标准正态分布表得查标准正态分布表得(1.64)=0.95,(1.64)=0.95,并注意到函并注意到函数数(x)(x)是单增的是单增的得得m61.6,m61.6,取整数得取整数得m=62,m=62,故故需要装需要装6262个水龙头。个水龙头。55