ANSYS平面问题的有限单元法.ppt

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1、平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法Definition2001年10月1日1ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)结构的离散化结构的离散化 用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单元。元。所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。

2、结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模型。型。Procedure1.2.3.2001年10月1日2ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)位移模式 取一个典型的三角形单元进行力学分析。在有限单元取一个典型的三角形单元进行力学分析。在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式，也就是说根据单元的结点位移

3、须假定一个位移模式，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。去构造单元上的位移插值函数。LessonObjectives2001年10月1日3ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)位移模式（续）2001年10月1日4ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)位移插值函数 采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标的线采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标的线性函数：性函数：它们可以由结点位移确定如下：它们可以由结点位移确定如下：Definition2001年10月1日5ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV

4、(001128)位移模式(续)联立求解上述方程，可得：联立求解上述方程，可得：2001年10月1日6ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)位移模式(续)其中：其中：而：而：是三角形是三角形ijm的面积。的面积。2001年10月1日7ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)位移模式(续)于是可以得到：于是可以得到：其中：其中：同理得：同理得：2001年10月1日8ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)位移模式(续)可以将位移模式改写为矩阵模式：可以将位移模式改写为矩阵模式：2001年10月1日9ANSYS培训

5、教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元中的应变和应力 有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。和应力分量的公式。由：由：ModuleObjective2001年10月1日10ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元中的应变和应力(续)得到：得到：或简写为：或简写为：2001年10月1日11ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元中的应变和应力(续)将将

6、应变代入物理方程：应变代入物理方程：可得：可得：即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。2001年10月1日12ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元中的应变和应力(续)式中式中D为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：2001年10月1日13ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元的总势能我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最构的位移模式。按

7、弹性力学最小势能原理，结构中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值的那组位移函数。的那组位移函数。由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上所有外力的势能组成。所有外力的势能组成。Definition2001年

8、10月1日14ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元的应变能 平面应力状态下，设物体厚度为平面应力状态下，设物体厚度为h，则单元中的应变能则单元中的应变能为：为：Definition2001年10月1日15ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元的应变能（续）将将和和Bi代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则,注意到弹性矩阵注意到弹性矩阵D的对称性的对称性,有：有：2001年10月1日16ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元的应变能（续）因为矩阵因为矩阵B

9、及及D的元素都是常量，所以可记：的元素都是常量，所以可记：2001年10月1日17ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元的应变能（续）从而单元的应变能可写为：从而单元的应变能可写为：利用利用=Be，有：有：2001年10月1日18ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元的应变能（续）注意到注意到B=Bi Bj Bm，记子矩阵记子矩阵2001年10月1日19ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元上体积力的势能物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中，物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。

10、在平面问题中，体积力在体积力在z轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为：轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为：单元上体积力具有的势能为：单元上体积力具有的势能为：Definition2001年10月1日20ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元上表面力的势能设设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为：度上所受到的表面力为：则单元上表面力的势能为：则单元上表面力的势能为：Definition2001年10月1日21ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单

11、元节点上集中力的势能如果弹性物体受到集中力如果弹性物体受到集中力Re 的作用，通常划分单元网的作用，通常划分单元网格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元3个结点个结点上所受到的集中力为：上所受到的集中力为：于是该单元上集中力的势能是：于是该单元上集中力的势能是：Definition2001年10月1日22ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元中的总势能综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：Definition2001年10月1日23ANSYS培训教程 版本 5.5

12、XJTU MSSV(001128)单元中的总势能分别引进单元体积力，表面力，集中力向量如下：分别引进单元体积力，表面力，集中力向量如下：Definition2001年10月1日24ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)单元中的总势能则则单元中的总势能可以表示为：单元中的总势能可以表示为：Definition2001年10月1日25ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)物体中的总势能把各把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能。为了便于叠加和归并，需将单元刚度矩阵表总势能。为了便于叠

13、加和归并，需将单元刚度矩阵表达式达式(2-18)作适当的改写。作适当的改写。假设结构离散化后共有假设结构离散化后共有n个结点，将编号为个结点，将编号为 l的结点位的结点位移记为：移记为：则结构的结点位移向量：则结构的结点位移向量：是一个是一个2n维的列向量。维的列向量。Definition2001年10月1日26ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)物体中的总势能（续）可将可将单元刚度矩阵式用补零的办法由单元刚度矩阵式用补零的办法由6X6的矩阵扩大到的矩阵扩大到2nX2n的矩阵的矩阵2001年10月1日27ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)物体中的总势能（续）如果在物体上划分的单元总数是如果在物体上划分的单元总数是e0,再引进再引进结构的总刚度阵：结构的总刚度阵：物体总势能就可写为：物体总势能就可写为：2001年10月1日28ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)物体中的总势能（续）代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：2001年10月1日29ANSYS培训教程 版本 5.5 XJTU MSSV(001128)