材料力学07弯曲应力.ppt

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1、郑州大学 工程力学系 Bending Stresses11 1 弯曲正应力22 正应力强度条件3 3 弯曲剪应力4 4 剪应力强度条件 梁的合理截面5 5 非对称截面梁弯曲 弯曲中心6 6 考虑塑性的极限弯矩 第七章 弯曲应力2概述概述CD段段：只有弯矩没有剪力只有弯矩没有剪力AC和和BD段段：既有弯矩又有剪力既有弯矩又有剪力QFMFa纯弯曲纯弯曲剪切弯曲剪切弯曲3剪力剪力FS正应力正应力 先先分析纯弯梁横截面的正应力分析纯弯梁横截面的正应力 ，再再将将结果推广用于剪切弯曲情况结果推广用于剪切弯曲情况目录切应力切应力弯矩弯矩M41.实验观察实验观察 横向线仍为直线横向线仍为直线，但有转动；但有

2、转动；一、一、表面变形与平面假设表面变形与平面假设bdacMM 纵向线弯为曲线，且纵向线弯为曲线，且部分伸（下部分伸（下)部分缩（上）部分缩（上）纵向纵向 横向线与纵向线横向线与纵向线变形变形 后仍正交后仍正交ab cd横向横向1 1 弯曲正应力弯曲正应力 (Normal Stresses on Cross Section of Beam)52.推论与假设推论与假设横截面变形后横截面变形后仍为平面仍为平面，只是绕中性轴发生，只是绕中性轴发生 转动转动(凹入一侧缩短凹入一侧缩短)(凸出一侧伸长凸出一侧伸长)中性轴中性轴中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴中性轴横截面上横截面上只有正应力

3、，无切应力只有正应力，无切应力平面假设平面假设：（由表及里，由线到面由表及里，由线到面）(不受拉压应力不受拉压应力)内必有一层既无伸长也无缩短，内必有一层既无伸长也无缩短，一层长度不变一层长度不变此层称此层称中性层中性层.中性层中性层6二二.弯曲正应力公式弯曲正应力公式应力分布不知应力分布不知,须考虑须考虑变形几何关系变形几何关系应变应力关系应变应力关系静力关系静力关系（变形分布规律）（变形分布规律）（应力分布规律）（应力分布规律）（应力弯矩关系）（应力弯矩关系）7 （几何方程）横截面各点线应变与该点到中性轴的距离成正比横截面各点线应变与该点到中性轴的距离成正比.1.1.变形几何：变形几何：应

4、变分布规律：应变分布规律：r r(中性层无伸缩中性层无伸缩)yz中性轴中性轴y微段微段dx(1)中性轴处中性轴处 为零为零.距中性轴愈远应变愈大距中性轴愈远应变愈大;以中性轴为界，两侧分为伸缩应变以中性轴为界，两侧分为伸缩应变.曲率中心曲率中心CABOO1dq q82.2.物理关系：物理关系：应力分布规律：应力分布规律：yz(中性轴)(中性轴两侧中性轴两侧 平行而反向形成合力偶平行而反向形成合力偶弯矩弯矩M )代入代入HookeHooke定律定律：(2)中性轴处中性轴处为零为零.距中性轴愈远应力愈大距中性轴愈远应力愈大;(大小大小)(方向方向)（物理方程）横截面各点正应力横截面各点正应力 与该

5、点到中性轴的距离成正比与该点到中性轴的距离成正比.(1)以中性轴为界以中性轴为界,两侧分为拉压应力两侧分为拉压应力.9M3.3.静力关系静力关系：截面对称自动满足截面对称自动满足dA中性轴中性轴 z 过形心过形心曲曲率率(3)Myxyz(中性轴)空空间间平平行行力力系系10(4)弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式 z=M yI Note:（1 1）y 原点在中性轴（过形心）原点在中性轴（过形心）（2）号可直观判断号可直观判断 代回代回或或 根据根据M图（较难判时）图（较难判时）yz(中性轴)（形心）（形心）dAyx11适用于适用于:三三.公式适用说明公式适用说明1.材料材料线弹性线弹性 但更

6、进一步精细分析（弹性力学、光弹实验）表明，当跨度与截面高度之比 L/h 5L/h 5（细长梁）时，此影响可略去不计.纯弯曲 公式 对于剪切弯曲近似成立。3.可可推广推广用于用于剪切弯曲剪切弯曲.2.外力外力沿主轴沿主轴 (如如:对称轴对称轴 )对称弯曲对称弯曲 平面假设不再成立剪力翘曲对正应力有影响。F（否则条件否则条件 无法满足无法满足）12正应力公式推导正应力公式推导:变形几何关系变形几何关系应力应变关系应力应变关系静力关系静力关系为曲率为曲率13hb按按伽利略弯曲假设伽利略弯曲假设(截面分为拉压截面分为拉压两区域两区域,均匀分布均匀分布)计算弯曲正应力计算弯曲正应力,误差为多少误差为多少

7、?解解：yz1.1.按伽利略均匀分布假设按伽利略均匀分布假设2.按按沿梁高沿梁高线性分布线性分布:(相差三分之一相差三分之一)例例1:1:dA*1415KN6KN909060 120BM36kNm解：解：1m1mK求求B截面截面K点应力点应力(拉拉?压应力压应力?)例例2:(拉应力拉应力)z=M yI15(5)截面上下边缘截面上下边缘:maxyI Wz=抗弯截面模量抗弯截面模量yz(中性轴)2 2 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件一一.最大正应力最大正应力zbhbBhH箱形(Strength Condition for Normal Stress)16常见截面的常见截面的 I I z 和和

8、 WDd=a a各种型钢的各种型钢的 Iz、Wz 可从型钢表中查出可从型钢表中查出zDdzD环形环形17目录为为使使受弯构件安全工作受弯构件安全工作:强度条件强度条件（许用应力许用应力）二二.强度条件强度条件（抗（抗拉许用应力）拉许用应力）（抗（抗压许用应力）压许用应力）抗抗拉压不等的材料：拉压不等的材料：181803030180120180轻型起重机轻型起重机,吊臂两种设计吊臂两种设计,比较两者强度比较两者强度.截面积相同截面积相同:A A1 1=A=A2 2 解解：据据强度条件强度条件:W越大，强度越高越大，强度越高.W比比 即为强度之比即为强度之比.例例1:1:19 分析思考：分析思考：

9、1.强度差异巨大的缘由强度差异巨大的缘由?应力分布不同应力分布不同2.实际工程意义实际工程意义 提高抗弯强度提高抗弯强度,减轻自重减轻自重举例举例W愈大，抗弯强度愈高愈大，抗弯强度愈高（麦杆抗倒伏，电线杆,桥梁箱形截面，宜家公司，鸟巢）z(中性轴)ydx材料分布离中性轴愈远，抗弯强度愈高材料分布离中性轴愈远，抗弯强度愈高zz20风电塔筒风电塔筒目录21三一重工泵车三一重工泵车22虎门大桥 23y1y2截面上下不对称截面上下不对称:（上下斜率同上下斜率同）拉压应力各有其最大值拉压应力各有其最大值(不相同不相同).).中性轴中性轴z z过形心过形心 截面上下对称截面上下对称:发生在发生在 所在截面

10、所在截面.两最大值也不一定都发生在两最大值也不一定都发生在 所在截面所在截面.(.(情况较复杂情况较复杂)24解解：弯矩图弯矩图 危险面、点危险面、点8 kN1m1m1m6kN/mABD试校核强度试校核强度.并说明合理放置？并说明合理放置？T 形截面铸铁梁形截面铸铁梁 Iz=291cm4 4 t t =40MPa c =100 MPa,z形心形心356530563667x2.53M kNm 例例2:25校核强度校核强度不安全不安全当构件当构件截面上下不对称截面上下不对称 (如如 T T 字形字形)且材料抗压抗拉且材料抗压抗拉 t t 、c c 不等不等危险截面可能两个危险截面可能两个Mtmax

11、材料抗压能力远高于抗拉时材料抗压能力远高于抗拉时,使危险（最大弯矩）截面受压区高使危险（最大弯矩）截面受压区高 合理合理Mcmax26y 3 弯曲切应力弯曲切应力 一一.矩形截面梁矩形截面梁1 1、两点假设、两点假设：切应力切应力 沿截面宽度沿截面宽度 大小大小方向方向注注:中间点中间点对称性对称性;取微段取微段dxzybhxMdxx两截面内力两截面内力分离部分分离部分2、公式推导、公式推导：yQ平衡分析平衡分析M+dM均匀分布均匀分布与侧边平行与侧边平行周边周边 互等定理互等定理 (Sheariog Stresses on Cross Section of Beam )27两截面两截面M M

12、 不等不等 左侧面左侧面右侧面右侧面顶平面顶平面(切应力互等切应力互等 )（Sz 为为该点该点一侧面积对中性轴一侧面积对中性轴之之静矩静矩 )*dA1bdx 顶面顶面有有 存在存在.不等不等,t tFS28zyybh(随随 而变而变 )分布规律分布规律:(沿截面高度沿截面高度)呈二次抛物线状呈二次抛物线状,中性处最大中性处最大.上下边缘为零上下边缘为零.29二二.其它形式截面梁其它形式截面梁分析方法分析方法zy(切力流)(二次二次 抛物线抛物线)2.2.圆截面圆截面:竖向切应力分量仍可由上式算出竖向切应力分量仍可由上式算出.b 腹板厚腹板厚 t 面积应包括翼缘面积应包括翼缘.腹板腹板任一点任一

13、点 由上式算出由上式算出.翼缘翼缘部分部分 情况较复杂情况较复杂:主要为主要为 水平分量水平分量,此外有竖向分量（极微小而不计）此外有竖向分量（极微小而不计）.目录即使水平分量最大值也小于腹板部分即使水平分量最大值也小于腹板部分,通常不考虑通常不考虑.1.1.工字形截面工字形截面:竖向切应力计算公式竖向切应力计算公式：t与矩形截面相同与矩形截面相同;302.2.校核切应力的几种情况：校核切应力的几种情况：4 4 弯曲弯曲切应力强度条件切应力强度条件1.1.切应力强度条件：切应力强度条件：为为防止横弯曲构件出现剪切破坏防止横弯曲构件出现剪切破坏:(许用切应力许用切应力)顺纹抗剪能力较差顺纹抗剪能

14、力较差的材料，各向异性材料（的材料，各向异性材料（如木材如木材）.铆接或焊接的铆接或焊接的组合截面组合截面，腹板狭长时腹板狭长时 (厚度与高度比厚度与高度比 小于型钢相应比值小于型钢相应比值).梁梁M 较小而较小而FS较大较大时时，(跨度较短跨度较短深梁深梁);(Strength Condition for Shearing Stress)31 悬臂梁三块木板粘接而成悬臂梁三块木板粘接而成.胶合面许可切应力胶合面许可切应力 0.34 MPa，木材木材:=10 MPa，=1 MPa，求许可载荷求许可载荷1 1.正应力强度条件正应力强度条件剪力剪力/弯矩图弯矩图解解：2 2.切应力强度条件切应力强

15、度条件 例例1 1:323.胶合面强度条件胶合面强度条件许可载荷许可载荷:(0.34 MPa)33选构件工字钢型号选构件工字钢型号解解：F=200KN 250 1000查型钢表,选22b2.再校核再校核 ：1.先由先由 选选:50(kNm)200(kN)50 例例2 不可不可343.重选重选查型钢表选用选用25b目录25b35 5 抗弯强度的影响因素抗弯强度的影响因素 一、受力合理一、受力合理靠近支座，减小跨度靠近支座，减小跨度0.6L0.2L0.2Lq1/40LqL/3P/2P/2梁梁抗弯强度主要取决于弯曲正应力：抗弯强度主要取决于弯曲正应力：截面合理龙门吊龙门吊合理布置支座合理布置支座受力

16、受力合理合理 处处相同处处相同 变截面变截面截面合理截面合理maxMP=qLL/2L/21/41/61/8(Rational Design of Beam)36二、截面合理二、截面合理截面积已定截面积已定W W 尽可能大尽可能大,同样面积同样面积：50b工字钢工字钢与与矩形矩形截面（截面（）相比）相比 之比为之比为 6.7 如：如：木梁合理高宽比木梁合理高宽比(英英)T.Young1 1807年自然哲学与机械技术讲义自然哲学与机械技术讲义 :矩形木梁高宽比矩形木梁高宽比 为为分布规律表明分布规律表明:举例举例：Rbh北宋李诫北宋李诫1100年著年著 营造法式营造法式:矩形木梁的合理高宽矩形木梁

17、的合理高宽比比 h/b =1.5 对大型工程构件应考虑采用对大型工程构件应考虑采用:抗弯强度抗弯强度6.7倍倍材料分布离中性轴较远更能提高抗弯强度材料分布离中性轴较远更能提高抗弯强度,37三、变截面梁三、变截面梁在横力弯曲下在横力弯曲下,等截面梁大多数截面未能充分发挥其强度等截面梁大多数截面未能充分发挥其强度.举例：举例：单臂刨伸单臂刨伸臂、臂、钻床的摇臂、钻床的摇臂、建筑中挑梁建筑中挑梁、工程机械起重工程机械起重 吊臂吊臂 M从强度角度看从强度角度看,可使横截面大小随弯矩而变可使横截面大小随弯矩而变38闽闽 乌龙江桥乌龙江桥 T型刚构，中间设挂梁，最后成为连续结构（一个单元）（一个单元）每单

18、元在立面上呈T型双悬臂39成昆线成昆线 旧庄河旧庄河 一号桥一号桥 中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥，主跨为24+48+24(m)铰接悬臂梁铰接悬臂梁。（一个单元）（一个单元）40厂房大梁、厂房大梁、车辆叠板簧、车辆叠板簧、闸门主梁闸门主梁鱼腹式吊车梁、桥鱼腹式吊车梁、桥阶梯轴阶梯轴龙门刨横梁龙门刨横梁41若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等或：挖掘机手臂等强度条件：等强度条件：等强度梁等强度梁42Thanks!433056解解：画弯矩图画弯矩图T T 形截面铸铁梁形截面铸铁梁 Iz=291cm4 L=40MPay=100 MPa,4

19、危险面、点危险面、点1m1m1mC形心形心2.53 3MkNm8kN6kN/mABD例例3z试校核强度试校核强度.并说明更合理放置并说明更合理放置？35653667xy1y2A3A444 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T T字形类截面，字形类截面，并使中性轴偏于受拉一方并使中性轴偏于受拉一方2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 GzA3A1A2A4y1y2GA445（二）采用变截面梁（二）采用变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为若为等强度矩形截面，则高为同时同时P

20、x467-5 非对称截面梁平面弯曲非对称截面梁平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心几何方程与物理方程不变几何方程与物理方程不变PxyzO47依此确定正应力计算公式依此确定正应力计算公式。剪应力研究方法与公式形式不变剪应力研究方法与公式形式不变。弯曲中心弯曲中心(剪力中心剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点：使杆不发生扭转的横向力作用点 （如前述坐标原点（如前述坐标原点 O O）PxyzO48槽钢槽钢：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，若是横向力，还必须过弯曲中心中性轴为形心

21、主轴，若是横向力，还必须过弯曲中心exyzPP MQe49弯曲中心的确定弯曲中心的确定:(1)(1)双对称轴截面，弯心与形心重合双对称轴截面，弯心与形心重合(2)(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合反对称截面，弯心与反对称中心重合(3)(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合与两矩形长中线交点重合(4)(4)求弯心的普遍方法：求弯心的普遍方法：CCQyeCC50 s s7-6 7-6 考虑材料塑性的极限弯矩考虑材料塑性的极限弯矩（一）物理关系：（一）物理关系：全面屈服后全面屈服后,平面假设不再成立平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设仍做纵

22、向纤维互不挤压假设 e e s s理想弹塑性材料理想弹塑性材料-e e图图 s s弹性极限弹性极限分布图分布图塑性极限塑性极限分布图分布图51（二）静力学关系：（二）静力学关系：（一）物理关系：（一）物理关系：yzx sMjx横截面图正应力分布图52yzx sMjx横截面图正应力分布图53例例4 4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩试求矩形截面梁的弹性极限弯矩MM maxmax与与塑性极限弯矩塑性极限弯矩 MMjxjx 之比之比解：54求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax18030 x +1212055dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xy

23、z 1 1t t1 1t tb图图a图图b图图c由剪应力互等由剪应力互等562、几种常见截面的最大弯曲剪应力几种常见截面的最大弯曲剪应力Iz为整个截面对为整个截面对z z轴之惯性矩轴之惯性矩；b 为为y点处截面宽度点处截面宽度工字钢截面：工字钢截面：;maxA Qt tf结论：结论：翼缘部分翼缘部分tmax腹板上的腹板上的tmax，只计算腹板上的只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且且tmax tmin 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积腹板的面积。;maxA Qt tf57 圆截面：薄壁圆环：槽钢：exyzPQeQeh584

24、梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处Qt t Mt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：59求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比xM+Q+xq=3.6kN/mAB3m60