第七單元 空間向量.doc

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1、第七單元 空間向量A【重點複習】1空間向量之基本性質A. 空間向量的絕對值:1.設A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)為空間中二點，則向量=( x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)， 向量的長度為| = 2.空間向量= (a, b, c)，a, b, c分別稱為的x分量、y分量、z分量， | 2 = a 2 + b 2 + c 2 B. 空間向量的內積: 1. 設=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)為空間中二向量，夾角為，則與的內積定義為= |cos ，其坐標表示法為 = a1 b1 + a2b2 + a3b3 2. 設,為空間中三向量，

2、則:(1). = (2). 垂直 = 0(3). = | 2 (4). |+| 2 =| 2 + 2+ | 2 C. 空間向量的正射影: 設、為空間中二向量，則在方向上的正射影為D. 體積與面積: (1)面積公式:設=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)為空間中二向量，則此二向量其所張的平行四邊形面積為 :(2)體積公式: 設=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), =(c1, c2, c3),為空間中三向量，則此三向量其所張的平行六面體體積為 =。又此三向量其所張的四面體體積為。E. 空間向量的方向角: 設空間向量=(a, b, c)，定點A(a, b,

3、c)，則。若與x軸, y軸, z軸的正向夾角為, , ，其中0 , , ，則稱, , 為的方向角，cos =，cos =，cos =稱為的方向餘弦 所以 : cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1。2空間中的平面A. 平面方程式1.點向式: 過點P(x0, y0, z0)，且法線向量為= (a, b, c)之平面方程式為a (x x0) + b ( yy0) + c ( z z 0) = 0 2.一般式： a x + b y + c z + d = 0， a, b, c, d R。3.截距式：一平面交三坐標軸於(a, 0, 0)，(0, b, 0)，(0, 0, c)，且abc 0

4、。平面方程式為 B.平面族方程式(補充) 設E1：a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0，E2：a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0，(E1 , E2 不平行) 則過E1、E2 交線之所有平面方程式可設為 : kE 1 + E2 = 0 (不包含E 1) 或 E1 +kE2 = 0 (不包含E 2)。C.二平面的夾角E1：a1 x + b1 y + c1 z = d1 = (a1, b1, c1) E2：a2 x + b2 y + c2 z = d2 = (a2, b2, c2)(1) cos q = (另一交角為 p-q ) (2) E1 E2 = 0D.點

5、到平面的距離：1.給定一平面E：ax + by + cz + d = 0及一點P0(x0 , y0 , z0)， d (P, E) = 2.若E1：ax + by + cz + d1 = 0，E2：ax + by + cz + d2 = 0， d (E1, E2) =E.二面角的平分面 : 平面E1：a1 x + b1 y + c1 z = d1與平面E2：a2 x + b2 y + c2 z = d2所夾二面角的平分面方程式為 3空間中的直線1. 設直線L的方向向量為(a, b, c)，且過定點(x0 , y0 , z0)，則L的(1) 對稱比例式：(2) 參數式： L：2. 二面式：二平面

6、E1：a1x + b1y +c1z +d1 = 0 與E2：a2x + b2y +c2z +d2 = 0之交線的方程式為 其方向向量為 ( ，)。B【基本題型】1.DABC為一正四面體，稜長為10，DH垂直平面ACB，則(1)之長為何? (2)平面ACD與ACB之夾角為q，求cos q。 Ans: 2.在空間坐標中，設xy平面為一鏡面，有一光線通過點P(1，2，1)，射向鏡面上的點O(0，0，0)，經鏡面反射後通過R。若，則R點的坐標為何?Ans: (2, 4, 2)3.平面E之法向量為(3, 2, 1)，且三截距和為13，求平面E之方程式。 Ans: 3x 2y + z = 78/54.平面

7、E包含x + 2y 3z + 2 = 0與3x 2y + z 5 = 0之交線，(1)若E通過點(1, 1, 2)，則E之方程式為何?(2)若E與平面2x + y z 1 = 0垂直，則E之方程式為何? Ans: (1)17x 6y z 21 = 0 (2)18x 20 y + 16 z 41 = 05.試求合於下列條件的平面方程式(1)過A(2, 1, -1)，B(1, 1, 2)，且與平面7x + 4y 4z = 0垂直。(2)過點A(1, 2, 3)，垂直於E1: x + y z + 3 = 0與2x y + 3z 1 =0二平面。Ans: (1)12x 17y + 4z 3 = 0 (

8、2) 2x 5y 3z + 17 = 06. (1)二平行平面x 2y + 2z 1 = 0與x 2y + 2z + 5= 0間之距離為何?(2)與平面2x + 2y + z 3 = 0平行且距離為2的平面方程式為何? Ans: (1) 2 (2) 2x + 2y + z + 3 = 0或 2x + 2y + z 9 = 0C【實力測驗】7.一平面通過二點A(1, 1, 1)，B(1, 3, 1)，且與平面x + y + 1 = 0之銳夾角為則平面E之方程式為_或_。 Ans: 2x + y 2z + 1 = 0 或 2x + y + 2z 3 = 08.設x, y, z R，且滿足x + 2

9、y + 2z 3 = 0，試求之最小值=_。 Ans: 29.設=(1, -2, 3), =(-1, 1, -1)，則當 t = 時， |+ t| (tR) 的值為最小，其最小值為 。 Ans: 2，10.下列方程式何者與: x+1 =+ 1 = z 表同一直線。 (D) x = = z 1 (E) x-1 = z 2 Ans: (A)( B)( E)11.包含直線且垂直於平面2x - y + z =0的平面方程式為 。 Ans: x + 6y + 4z + 1 = 012.設直線L:與一定點P(0, 0, 2)，則:(1) P至直線L的最短距離為 。(2) P關於L的對稱點坐標為 。(3)

10、包含點P與直線L的平面方程式為 。Ans: (1) 3 (2) (4, -2, -2) (3) x 2y + 2z = 413.設直線L:與一定點P(1, 0, 1)，則包含點P與直線L的平面方程式為 。 Ans: x 2y + z = 014.點P(4, 2, 5)(1).到直線L:的距離為 ；(2).P在L上的正射影點為 。 Ans: (1) 3 (2) (3, 1, 0) 15.設直線L: x +1 =與一定點P(1, 2, 3)，則: (1) P在L上的正射影坐標為 。(2) P關於L的對稱點坐標為 。 Ans: (1) (0, 0, 2) (2) (-1, -2, 1)16.二相交直

11、線L1 :與L2 :的交點為 ， 同時包含此二直線的平面方程式為 。Ans: (5, 4, 3)，x +2y z = 1017.二平行直線L1 :與L2 :(1) 兩線之間的距離為 (2) 同時包含此二直線的平面方程式為 。Ans : (1) 3 (2) 2x y 2z + 4 = 018.設點P(1, -1, 2)、平面E: 3x + 2y z +5 = 0與一直線L:= z-1，求:(1).過P且與E垂直的直線方程式為_。(2).過P且與L垂直的平面方程式為_。Ans: (1) (2) 2x-3y+z = 7D【聯考類型】1.【83.推甄試題】下列有關空間的敘述，哪些是正確的？ (A)過已

12、知直線外一點，恰有一平面與此直線垂直。 (B)過已知直線外一點，恰有一平面與此直線平行。 (C)過已知平面外一點，恰有一直線與此平面平行。 (D)過已知平面外一點，恰有一平面與此平面垂直。 (E)過已知平面外一點，恰有一平面與此平面平行。 【答】(A) (E)【解析】觀念性題目同學切勿死背，多想想實際情形即可判斷。 (B)(C)(D)均不只一個平面(或直線)合所求,非唯一。2.【83.推甄試題】設兩平面的交線，則直線上與點Q (1，2，3) 距離最近之點的座標為 。 【答】【解析】 已知Q (1，2，3) 3.【83.推甄試題】設直線的方程式為，則下列哪一個平面與平行。(A) (B) (C)

13、(D) (E) 。 【答】(B)【解析】因為若平面E平行L，則E之法向量之方向向量，其內積為。 (A) (B) (C) (D) (E) 故選(B)4.【84.推甄試題】在空間座標中，設平面為一鏡面。有一光線通過點(1，2，1)，射向鏡面上的點O (0，0，0)，經鏡面反射後通過點，若，則點的座標 。 5.【84.推甄試題】圖中為正四面體，為的中點，試問下列哪些敘述是正確的？(A) 直線與平面垂直 A(B) 向量與向量垂直 B D(C) M C(D)平面與平面的兩面角(銳角)大於 (E) 。 【答】(A)(B)(C)(D)【解析】如圖：正四面體之每一面，皆為正三角形。 (A)(正三角形之中線垂直

14、平分底邊)則知: 垂直平面。 (B)垂直平面上任一方向，所以。 (C)；又均面對同一線段，所以。 (D)平面ACD與平面BCD之夾角為 (E) 故: (E)錯，餘均正確。6.【85.推甄試題】已知直線，交於(1，0，-1)，且相互垂直，其中 ：，：，若以 為軸將旋轉一圈得一平面，則此平面方程式為何？(A) (B) (C) (D) (E) 。 【答】(C)【解析】之方向向量，之方向向量， 兩線互相垂直。 以為軸，將旋轉一圈，所得平面設為E，則平面E之法向量為平行之方向向量, 故取法向量=(1,1,0)，又平面經過上點(1,0,-1)則此平面方程式 。7.【85.推甄試題】學校蓋了一棟正四面體的玻

15、璃溫室(如圖)。今欲將一鋼柱橫架在室中，作為吊花的橫樑。其兩端分別固定在兩面牆和的重心，處。生物老師要先知道這個鋼柱多長，才能請工人製作。雖然的長度很容易量出，卻很難爬到，點測量。生物老師在上課時說出它的問題，立即有一位同學說他有辦法。 A這位同學在紙上畫出了圖(如圖示)， E F算出：就解決了這個問題。 B D問：= 。 C 【答】【解析】E、F分別為、之重心，設、中點為G及H，則 (1) 又 (2) 由(1)，(2)知 8.【86.推甄試題】設為兩平面的夾角(取銳角)，則最接近的整數度數為 度。 【答】82【解析】，為銳角， 所以 查表得 : 9.【86.推甄試題】有一正立方體，其邊長都是

16、1。如果向量的起點與終點都是此正立方體的頂點，且=1，則共有多少個不相等的向量？(A)3 (B)6 (C)12 (D)24 (E)28。【答】(B)【解析】前後、上下、左右每個方向各有一個，共有六個。 即 10.【86.推甄試題】考慮一正立方體六個面的各中心點，則以其中四個中心點為頂點的正方形一共有幾個？(A)3 (B)4 (C)6 (D)8 (E)12。 【答】(A)【解析】設正立方體各面中心點依次為A、B、C、D、E、F， 則ABCD，AECF，BFDE即為所求之三個正方形。11.【87.推甄試題】在空間中，下列哪些點可與A(1，2，3)，B(2，5，3)，C(2，6，4)三點構成一平行四

17、邊形？(A)(-1，-5，-2) (B)(1，1，2) (C)(1，3，4) (D)(3，7，6) (E)(3，9，4)。 【答】(B)(C)(E)【解析】令第四點為D，則:D=C+A-B=(1,3,4)，或:D=A+B-C=(1,1,2) 或:D=B+C-A=(3,9,4) 故選(B)(C)(E)12.【88.推甄試題】在空間中，連接點(2，1，3)點與(4，5，5)的線段之垂直平分面為 。【答】【解析】所求平面法向量，而，又平面經中點 M(3,3,4) 所求平面為:。13.【88.推甄試題】BACDEFGH圖右為一正立方體, 試問下列何者為真 ?(A). (B).(C). (D).(E).【答】(A)(B)(C)(E)【解析】(A)與平面EFGH垂直，垂直於平面上任一向量 (B)與平面ADHE垂直，垂直於平面上任一向量 (C)向量 (D)ACGE為一長方形，兩對角線不垂直 (E)14.【89.推甄試題】空間中有一直線與平面：垂直。試求通過點(2，-3，4)且與直線垂直的平面方程式。 。 【答】【解析】垂直同一直線之兩平面平行，故所求平面與平面E法向量相同！ 設所求平面為： 因過(2,-3,4)，代入得k=8 , 所求:：