连续函数导数的连续性问题.doc

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连续函数导数的连续性问题 张超 PB08207202设f(x)在闭区间a,b上连续且存在导函数,则其导函数在a,b不一定连续。例如：令f(x)=(x2)*sin(1/x)，容易知道limf(x)=0，令f(0)=0，则f(x)连续。 x不等于0时，有f(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，可得x趋向0时无极限。x=0时，使用定义limf(x)-f(0)/x=limxsin(1/x)=0。所以f(x)在0点导数不连续。由拉格朗日定理可得：如果f(x)可导,则f(x)要么连续,要么存在第二类不连续点。