下学期 53实数与向量的积1.docx

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1、下学期 53实数与向量的积1 下学期 5.3实数与向量的积1 （第一课时） 一.教学目标 1.理解并把握实数与向量的积的意义. 2.理解两个向量共线的充要条件，能依据条件推断两个向量是否共线； 3.通过对实数与向量的积的学习培育同学的观看、分析、归纳、抽象的思维力量，了解事物运动变化的辩证思想. 二.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件； 教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件； 三.教学具预备 直尺、投影仪. 四.教学过程 1.设置情境 我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系经常在物理公式中体现，如力与加

2、速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系. 师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？ 生： 的长度是 的长度的3倍，其方向与 的方向相同， 的长度是 长度的3倍，其方向与 的方向相反. 师：很好！本节课我们就来争论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一） 2.探究讨论 师：请大家依据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思索. 生：我想这样规定：实数 与向量 的积就是 ，它还是一个向量. 师：想法很好.不过我

3、们要对实数 与向量 相乘的含义作一番解释才行. 实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下： （1） （2） 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；特殊地，当 或 时， 下面我们争论作为数乘向量的基本运算律： 师：求作向量 和 （ 为非零向量）并进行比较，向量 与向量 相等吗？（引导同学从模的大小与方向两个方面进行比较） 生： ， 师：设 、 为任意向量， ， 为任意实数，则有： （1） （2） （3） 通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为安排律，有时为了区分，也把（2）叫第一安排律，（3）叫其次安排律. 请看例题 【例1】计算：（1） ， （2）

4、. （3） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 . 下面我们讨论共线向量与实乘向量的关系. 师：请同学们观看 ， ，有什么关系. 生：由于 ，所以 、 是共线向量. 师：若 、 是共线向量，能否得出 ？为什么，可得出 吗？为什么？ 生：可以！由于 、 共线，它们的方向相同或相反. 师：由此可得向量共线的充要条件.向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ，使得 此即教材中的定理. 对此定理的证明，是两层来说明的. 其一，若存在实数 ，使 ，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知 与 共线，即 与 共线. 其二，若 与 共线，且不妨令 ，设 （这是实数概念）.接下来看 、 方向

5、如何： 、 同向，则 ，若 、 反向，则记 ，总而言之，存在实数 （ 或 ）使 . 【例2】如图：已知 ， ，试推断 与 是否共线. 解： 与 共线. 练习（投影仪） 设 、 是两个不共线向量，已 ， ，若 、 、 三点共线，求 的值. 参考答案 、 、 三点共线. 、 共线 存在实数 ，使 即 ， 3.练习反馈（投影仪） （1）若 为 的对角线交点， ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. （2）在 中，点 、 、 分别是边 、 、 的中点，那么 . （3）如图所示，在平行四边形 中， 是 中点，点 是 上一点， 求证 、 、 三点共线. 参考答案： （1）B； （2） ； （3）设 ， 则 又 ， 、 、 共线. 4.总结提炼 （1） 与 的积还是向量， 与 是共线的. （2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. （3）运算律示意我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项. 五.板书设计 1.实数与向量的积定义 2.运算律 3.向量共线定理 例1 2 演练反馈 总结提炼