六年级数学下册 第5单元 数学广角——鸽巢问题第1课时 鸽巢问题（1）教案 新人教版(共12页DOC).doc

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1、最新资料推荐“鸽巢原理”最早是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出并被运用于解决数学问题，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“抽屉原理”。“鸽巢原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方法。本单元的三道例题，有着各自不同的作用。例1描述的是“抽屉原理”的最简单情况。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式，提升学生对“抽屉原理”的理解水平。例2即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）个元素”。若

2、k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。例3是在学生通过例1和例2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关的实际问题。教科书以学生熟悉的或者感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的压力，并以直观素材和实践操作作为基础，帮助学生积累对“抽屉原理”的感性认识，逐步提升思维。教科书例题（习题）的编排也非常关注细节，充分考虑学生学习的重、难点，启发学生抓住关键，建立模型。“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。当学生的思维能力比较弱

3、时，学习中面临的压力会更大。“抽屉原理”之所以难，一是难在模型的建立上，二是难在它的应用。其实“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的，学生在现实生活中已有一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。同时，“鸽巢问题”具有“模型化”特征，在教学中还应培养学生“模型”思想，从现实素材中找出最本质的特征，将具体问题“数学化”。1.在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽屉原理”的结构特征。教学时要借助教具，让学生在亲身经历（看到、摸到）的基础上，深刻感知分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识

4、。这既可分解学生学习的难度，又可使学生充分地理解“总有”“至少”等特定术语的含义，清晰地建立“待分物品”和“抽屉”之间的关系。2.让学生初步经历“数学证明”的过程。在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明的。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。在教学的过程中教师可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明作准备

5、。3.要有意识地培养学生的“模型思想”。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，就要找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的数学模型的过程。这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其是可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。第1课时 鸽巢问题（1）最新精品资料整理推荐，更新于二二一年七月三十日2021年7月30日星期五21:36:29教学内

6、容教科书P68例1，完成教科书P71“练习十三”中第1题。教学目标1.理解“鸽巢原理”（“抽屉原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。2.通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历“抽屉原理”教学笔记的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴趣和探究意识。教学重点经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含义，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解释生活中的简单问题。教学难点理解“抽屉原理”，建立基本的模型。教学准备课件。教学过程一、创设身边的问题情境，揭示课题师：同学们，一年有几个

7、季节？【学情预设】一年有4个季节。师：我们班每个小组有6名同学，老师有一个大胆的猜测：一个小组中总有一个季节里至少有2人过生日，你知道这句话的意思吗？“总有”和“至少”表示什么意思？【学情预设】预设1：一定有一个季节里至少有2人出生。（教师追问：至少2人是什么意思呢？）预设2：最少2人，可能有3人、4人、5人、6人。师：那老师的猜测对不对呢？请各小组现场统计一下。【学情预设】学生现场统计后，得到的结论都是一个小组中总有一个季节（春、夏、秋、冬）里至少有2人过生日。师：老师为什么猜得这么准呢？这里面藏着我们今天要学习的数学知识，下面就让我们到课堂上来揭晓这个秘密吧！二、经历过程，初步感知“鸽巢原

8、理”模型1.呈现问题，引出探究。教学笔记【教学提示】调动学生学习的积极性，引发学生的思考，突破“总有”“至少”这两个关键词的理解。课件出示教科书P68例1。师：谁来解释“总有”“至少”这两个词的意思？【学情预设】预设1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。预设2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。）2.用枚举法研究问题。【学情预设】预设1：我是用画一画的方法来证明：预设2：我用摆一摆的方法来证明：预设3：我写出了8种放法：（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（

9、2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。预设4：我写出了4种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。3.汇报交流。师：有的同学用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4教学笔记【教学提示】教学这个环节时，应放手让学生自主探索，对于学生可能出现的实物模拟、图示、数的分解等分析方法，只要是合理的，都要予以鼓励。支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。你有什么想法呢？【学情预设】预设1：第一个同学只画了一种放法，一种情况太少了。预设2：我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一种放法，（3

10、，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一种放法。预设3：我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放，教师演示课件。）根据学生的回答，教师板书4种不同的放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。4.引导观察，初步感知模型。师：看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？【学情预设】引导学生观察这4种不同的放法，发现每一种放法中最多的那一个笔

11、筒里最少都有2支铅笔。师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。【设计意图】“总有”“至少”这两个关键词，学生总是很难理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使学生真正理解不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔，初步建立模型。三、提升思维，构建“鸽巢原理”模型教学笔记1.课件出示习题。师：刚才我们通过不同的方法验证了“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有

12、一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。请你借助刚才的经验猜一猜，把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进几支铅笔。【学情预设】学生会说出总有一个盒子至少要放进2支铅笔。师：猜测正确吗？请大家验证一下。2.学生用自己的方式（摆一摆、画一画、写一写）来验证。【学情预设】学生可能得出6种放法：（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。教师根据学生发言板书。师：仔细观察，如果老师说“总有一个盒子里至少要放进3支铅笔”，你同意吗？【学情预设】学生会说出每一种摆法中最多的那一个盒子里最少放了2支铅笔，所以应该是总有一个

13、盒子里至少要放进2支铅笔。3.用假设法探究问题。师：经过大家的证明，我们发现把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进2支铅笔。现在我们回头看，刚才研究了把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔的问题，这两个问题都采用了一一枚举的方法来研究，枚举法是研究问题的一种基本方法。那么100支铅笔放进99个盒子，总有一个盒子至少要放进多少支铅笔呢？如果还用枚举法来研究，你有什么想法？我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢?引导学生观察黑板上板书的枚举法，提出问题：观察哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？【学情预设】学生会发现（2

14、,1,1）和（2,1,1,1）这两种放法，教学笔记【教学提示】放手让学生验证时，也要注意指导学生有序思考。教师进一步追问：这种分法,实际就是先怎么分的，引导学生说出“平均分”。师：为什么要先平均分?【学情预设】学生会说出：先平均分,余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支”。师：你能用算式来表示这一过程吗？【学情预设】学生会说出：43=11，1+1=2；54=11，1+1=2；教师追问：算式中的两个1表示的意思相同吗？引导学生说出第一个“1”表示每个盒子里放1支，第二个“1”表示平均分后剩下的一支。教师根据学生发言板书。师小结：在研究刚才的两个问题时，我们先是用枚举法

15、把所有的放法都列举出来，发现总有一个盒子里至少放的铅笔支数；枚举的放法虽然很直观，但数据大了就不方便，由此我们又从所有的放法中找到了最简便的一种，假设每个盒子里都放一个，剩下的一个再任意放进其中的一个盒子中，这样就能很快地找到至少数，这种方法叫做假设法，它蕴含了平均分的思想。最后我们用算式简明地表示出了平均分的过程。教师板书：枚举法 假设法（平均分） 算式【设计意图】枚举法是一种很直观的研究问题的方法，但是当数据较大时，再用枚举法就会显得麻烦，因此教师引导学生观察各种分法，提出核心问题：“哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？”让学生体会平均分的思想，继而用算式来表示解决问题的过

16、程。经历了从具体到抽象的过程，逐步建立模型，培养了学生的符号意识。4.类推与归纳。课件出示表格。教学笔记师：同学们请任意选择一组数据画一画或算一算，你有什么发现？【学情预设】引导学生发现：只要铅笔的数量比盒子的数量多1，那么总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n+1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有一个盒子里至少放进了2支铅笔。【设计意图】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变数据（铅笔数比盒子数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般性结论，构建出数学模型。四、运用模型，解释应用1.知识链接。师：今天我们学习的知识就是“鸽巢问题”，“鸽巢原理”也叫“抽屉原理”。看到这个课题，你有什

17、么疑问吗？板书课题：鸽巢问题（1）【学情预设】学生可能会问“鸽巢”是什么意思？也没有发现有“抽屉”。让学生自学教科书P70“你知道吗？”，然后进行交流。师：把10个苹果放进9个抽屉，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，叫“抽屉原理”；6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，叫“鸽巢原理”；把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子里至少放了2支铅笔，可以叫“盒子原理”；把8个面包放进7个袋子，总有一个袋子里至少放了2个面包，可以叫什么呢？（袋子原理）教学笔记【教学提示】让学生充分表达自己的想法，表述时注意语言的完整性。2.运用“鸽巢原理”解释生活中的现象。师：其实“鸽巢原理”“抽屉原理”在生

18、活中随处可见，它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型。在解决问题时，弄清楚什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”。现在你能解释课前我们留下的问题吗？我们班每个小组有6名同学，总有一个季节里至少有2人过生日，这里藏着什么秘密呢？【学情预设】把6名同学看成“待分的物体”，4个季节看成“抽屉”，64=12，1+1=2，所以总有一个季节里至少有2人过生日。（教师可以追问：为什么不是总有一个季节里至少有3人过生日？学生可以用假设法来解释。）【设计意图】模型思想的培养需要经历构建的过程，在学生理解了抽屉原理后，通过介绍“鸽巢原理”“抽屉原理”的小知识，引导学生理解“盒子原理”“袋子原理”让学生体会它其

19、实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型，发展抽象能力、推理能力和应用能力。3.课件出示扑克牌问题。师：你能运用今天所学的知识进行解释吗？【学情预设】引导学生说出：一副扑克牌共54张，去掉两张王牌，剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色各13张。我们把4种花色看成“4个抽屉”，把5张扑克牌放进“4个抽屉”中，必然有一个抽屉至少放进2张扑克牌，即至少有2张牌是同花色的。用算式表示为54=11,1+1=2。【设计意图】有趣的扑克游戏是学生比较认同的,以扑克牌的4种花色与抽牌人数大于4的变化，让学生猜测、验证至少有几张是同种花色,学生有兴趣,体会生活中处处有数学。4.完成教科书P71“练习十三”第1题。

20、学生独立完成后在小组内说一说。教学笔记【学情预设】把12个属相看成“抽屉”，把13位老师的属相放进12个“抽屉”里，至少有2个人的属相放进同一个“抽屉”，即至少有2个人的属相相同。用算式表示为1312=11,1+1=2。【设计意图】在完成这道题后，指导学生分析时，要突出题目与“抽屉原理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。五、课堂小结师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？板书设计教学反思本课教学通过实物模拟、图示法、数的分解等方法进行分析，引导学生通过观察、对比，从枚举法中找到求至少数的简便方法假设法，最后用有余数的算式表示出平均分的过程，让学生经历从具体的问题到抽象提炼的过程，使学生在实际操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学模型思想，真正地让数学模型思想在与知识能力形成的过程中共同生成。在运用“鸽巢原理”解释实际问题时，要注意指导学生语言描述的规范性、完整性。作业设计教学笔记