全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 42动态问题.doc

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1、动态问题动态问题一、选择题一、选择题1. （ 2014安徽省,第 9 题 4 分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按ABC的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A BCD考点：动点问题的函数图象分析：点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，点P在BC上时，根据同角的余角相等求出APB=PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解解答：解：点P在AB上时，0x3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值 4；点P在BC上时，3x5，APB+BAP=90，PAD+BAP=90，APB=P

2、AD，又B=DEA=90，ABPDEA，=，即 = ，y=，纵观各选项，只有B选项图形符合故选 B点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论2. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 12 题 3 分）如图，边长分别为 1 和 2 的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）ABCD考点： 动点问题的函数图象分析： 根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状解答： 解：

3、t1 时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，y= 1=，当 1x2 时，重叠三角形的边长为 2x，高为，y= （2x）=xx+，当x2 时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为 0，故选：B点评： 本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体3 （2014 年山东泰安，第 14 题 3 分）如图，ABC中，ACB=90，A=30，AB=16点P是斜边AB上一点过点P作PQAB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）ABCD分析：分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可解：当点Q在AC上时，A=

4、30，AP=x，PQ=xtan30= y= APPQ= x=x2；当点Q在BC上时，如图所示：AP=x，AB=16，A=30，BP=16x，B=60，PQ=BPtan60=（16x） =该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下故选：B点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况4.（2014菏泽第 8 题 3 分）如图，RtABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）ABCD考点：动

5、点问题的函数图象专题：数形结合分析：分类讨论：当 0x1 时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1x2 时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x22（x1）2，配方得到y=（x2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断解答：解：当 0x1 时，y=x2，当 1x2 时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2x，RtABC中，AC=BC=2，ADM为等腰直角三角形，DM=2x，EM=x（2x）=2x2，SENM=（2x2）2=2（x1）2，y=x22（x1）2=x2+4x2=（x2）2+2，y=，故选

6、 A二二. .填空题填空题三三. .解答题解答题1. （ 2014广东，第 25 题 9 分）如图，在ABC中，AB=AC，ADAB于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒 3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒 2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0） （1）当t=2 时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时

7、刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由考点： 相似形综合题分析： （1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图 2 所示，首先求出PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解解答： （1）证明：当t=2 时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图 1 所示又EFAD，EF为AD的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB于点D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形（2）解：如答图

8、2 所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH= （10t）2t=t2+10t= （t2）2+10当t=2 秒时，SPEF存在最大值，最大值为 10，此时BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点E为直角顶点，如答图 3所示，此时PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点F为直角顶点，如答图 3所示，此时PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若点P为直角顶点，如答图 3所示过点E作EMBC于点M，过点F作FNBC于点N，则EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即

9、，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化简得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=综上所述，当t=秒或t=秒时，PEF为直角三角形点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形

10、、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想2.（2014武汉 2014武汉，第 24 题 10 分）如图，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒 5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒 4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上考点：相似形综合题分析：（1）分两种情况讨论：当BPQBAC时，=，当BPQ

11、BCA时，=，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=84t，根据ACQCMP，得出=，代入计算即可；（3）作PEAC于点E，DFAC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8BM=84t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在ABC的一条中位线上解答：解：（1）当BPQBAC时，=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；当BPQBCA时，=，=，t=，t=1 或时，BPQ与ABC相似；

12、（2）如图所示，过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t= ；（3）如图，仍有PMBC于点M，PQ的中点设为D点，再作PEAC于点E，DFAC于点F，ACB=90，DF为梯形PECQ的中位线，DF=，QC=4t，PE=8BM=84t，DF=4，BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，RC=DF=4 成立，D在过R的中位线上，PQ的中点在ABC的一条中位线上点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关

13、键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论. 3 （2014浙江金华，第 23 题 10 分）等边三角形ABC的边长为 6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.（1）若AE=CF.求证：AF=BE，并求APB的度数.若AE=2，试求AP AF的值.（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.【答案】 （1）证明见解析，120；12；（2）4 3 3.【解析】（注：没学习四点同圆和切割线定理的可由APEACF得比例式求解）（2）如图，作ABP外接圆满O，在O的优弧上取一点G，连接AG，BG，AO，BO，过点O作OHAB于点H。由（1）可

14、知APB =120，AGB =60. AOB =120，AOH =60.AB=6，AH=3. AH33AO2 3sinAOHsin603 2.A1202 34 3 1803APB.点P经过的路径长为4 3 3.考点：1.动点问题；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5. 切割线定理；6. 锐角三角函数定义；7.特殊角的三角函数值；8.垂径定理；9.弧长的计算.4 （2014浙江金华，第 24 题 12 分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BCx轴，OA=OC=4，以直线x=1 为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析

15、式.（2）已知直线l的解析式为yxm，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.当m=0 时，如图 1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH直线l于点H，连结OP，试求OPH的面积.当m3 时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）21yxx42 ；（2）15 4；存在，0, 3 或112,33或3, 2 .【解析】试题分析：（1）由抛物线以直线x=1 为对称轴，抛物线过点A，B，设顶点式，应用待定系数法求解.（2）设直线x=1 与x轴交于点M

16、，与直线yx交于点N，过点H作HD直线x=1 于点D，根据已知求出PD，OM，DH的长，由OPHOPDDPHSSS求解即可.MP=OC=4，OM=MN=1，PN=3，DH=3 2.OPHOPDDPH11315SSS3 132224 存在.当m3 时，直线l的解析式为yx3，i）当点P在OC边上时，如图 2，设点P的坐标为0, p0p4 ，点F的坐标为x, x3 ，过点F作FIy轴于点I.则PEPOp, PIIF ，即p3px3xx2.22222p3p3p9EFOFxx32x6x9269222，2 p3PF2x2.2 7pp7PF2 xp2p22.iv）当点P在AO边上时，以P，E，F为顶点的三

17、角形不存在.综上所述，以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为0, 3 或112,33或3, 2 .考点：1.动点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5. 等腰直角三角形的判定和性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形存在性问题；8.转换思想和分类思想的应用.5. （2014云南昆明，第 23 题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32abxaxy与x轴交于点A（2，0） 、B（4，0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒 3 个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在

18、线段BC上以每秒 1 个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最多面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使2:5SPBQCBK：S，求K点坐标.OxyCBAPQ考点： 二次函数综合题.分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2 考查动点与二次函数最值问题：先写出S与t的函数关系式，再确定函数最值；（3）存在所求的K点，由（2）可求出CBKPBQ和的面积，再把CBK分成两个三角形进行面积运算.解答： 解：（1）将A（2，0） 、B（4，0）两点坐标分别代入)0(32abxaxy，即

19、034160324baba，解得： 4383ba抛物线的解析式为：343 832xxy（2）设运动时间为t秒，由题意可知： 20 t过点Q作ABQD ，垂直为D， 易证OCBDQB，BQBC DQOCOC=3，OB=4，BC=5，tPBtAP36,3，tBQ tDQ53 tDQ53ttttDQPBSPBQ59 109 53)36(21 212对称轴1)(210959 t当运动 1 秒时，PBQ面积最大，109 59 109PBQS，最大为109，（3）如图，设)343 83,(2mmmK连接CK、BK，作轴yKL/交BC与L，由（2）知：109PBQS，2:5:PBQCBKSS 49CBKS设

20、直线BC的解析式为nkxy)3, 0(),0 , 4(CB 304nnk，解得： 343nk直线BC的解析式为343xy)343,(mmL2 83 23mmKLKLBKLCCBKSSS )4()83 23(21)83 23(2122mmmmmm)83 23(4212mm即：49)83 23(22mm解得：31mm或K坐标为)827, 1 ( 或)815, 3( 点评： 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、一元二次方程、相似三角形性质、动点问题等重要知识点6. （2014益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B=60，AB

21、=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值（第 1 题图）考点： 相似形综合题分析： （1）过点C作CEAB于E，根据CE=BCsinB求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则PCB必有一个角是直角分两种情况讨论：当PCB=90时，求出AP，再根据在RtADP中DPA=60，

22、得出DPA=B，从而得到ADPCPB，当CPB=90时，求出AP=3，根据且，得出PCB与ADP不相似（3）先求出S1=x，再分两种情况讨论：当 2x10 时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在RtGBH中求出BG、BN、GN，在RtGMN中，求出MN=（x1） ，在RtBMN中，求出BM2=x2x+，最后根据S1=xBM2代入计算即可当 0x2 时，S2=x（x2x+） ，最后根据S=S1+S2=x（x）2+x即可得出S的最小值解答： 解：（1）过点C作CEAB于E，在RtBCE中，B=60，BC=4，CE=BCsinB=4=2，

23、AD=CE=2（2）存在若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则PCB必有一个角是直角当PCB=90时，在RtPCB中，BC=4，B=60，PB=8，AP=ABPB=2又由（1）知AD=2，在RtADP中，tanDPA=，DPA=60，DPA=CPB，ADPCPB，存在ADP与CPB相似，此时x=2当CPB=90时，在RtPCB中，B=60，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3则且，此时PCB与ADP不相似（3）如图，因为RtADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x（）2=x，当 2x10 时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交

24、GH于M，连结BM则BM为PCB外接圆的半径在RtGBH中，BH=BC=2，MGB=30，BG=4，BN=PB= （10x）=5x，GN=BGBN=x1在RtGMN中，MN=GNtanMGN=（x1） 在RtBMN中，BM2=MN2+BN2=x2x+，S1=xBM2=x（x2x+） 当 0x2 时，S2=x（x2x+）也成立，S=S1+S2=x+x（x2x+）=x（x）2+x当x=时，S=S1+S2取得最小值x点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论7. （2014扬州，第 28 题，12

25、分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（第 6 题图）（1）如图 1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为 1：4，求边AB的长；（2）若图 1 中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图 2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合） ，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度考点： 相似形综合题；全等三角

26、形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题： 综合题；动点型；探究型分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在RtPCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长（2）由DP=DC=AB=AP及D=90，利用三角函数即可求出DAP的度数，进而求出OAB的度数（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长解答： 解

27、：（1）如图 1，四边形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=BAPO=90APD=90CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDAOCP与PDA的面积比为 1：4，= PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=8设OP=x，则OB=x，CO=8x在RtPCO中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边AB的长为 10（2）如图 1，P是CD边的中点，DP=DCDC=AB，AB=AP，DP=APD=90，sinDAP= D

28、AP=30DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30OAB的度数为 30（3）作MQAN，交PB于点Q，如图 2AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ和NFB中，MFQNFBQF=BFQF=QBEF=EQ+QF=PQ+QB=PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90PB=4EF=PB=2在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为 2点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三

29、角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键8.（2014滨州，第 25 题 12 分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q（1）求证：APQCDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒 1 个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC？设SAPQ+SDCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值考点：相似形综合题分析：（1）求证相似，证两对角相等即可，因为平行，易找，易证（2）当垂直

30、时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长则AP长已知，故t易知因为SAPQ+SDCQ=y，故求SAPQ和SDCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取考虑两高在同一直线上，且相加恰为 10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y=，注意要考虑t的取值讨论何时y最小，y=不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，回观察题目问法为“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，1并不是我们常规的在确定时间最小，2时间问的整数秒故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论解答：（1）证明：四边形ABCD

31、是矩形，ABCD，QPA=QDC，QAP=QCD，APQCDQ（2）解：当DPAC时，QCD+QDC=90，ADQ+QCD=90，DCA=ADP，ADC=DAP=90，ADCPAD，=，解得 PA=5，t=5设ADP的边AP上的高h，则QDC的边DC上的高为 10hAPQCDQ，=，解得 h=，10h=，SAPQ=，SDCQ=，y=SAPQ+SDCQ=+=（0t20）探究：t=0，y=100；t=1，y95.48；t=2，y91.82；t=3，y88.91；t=4，y86.67；t=5，y=85；t=6，y83.85；t=7，y83.15；t=8，y82.86；t=9，y82.93；t=10，y83.33；t=11，y84.03；t=12，y=85；t=13，y86.21；t=14，y87.65；t=15，y89.29；t=16，y91.11；t=17，y93.11；t=18，y95.26；t=19，y97.56；t=20，y=100；观察数据知：当 0t8 时，y随t的增大而减小；当 9t20 时，y随t的增大而增大；故y在第 8 秒到第 9 秒之间取得最小值点评：本题主要考查了三角形相似及相似图形性质等问题，（2）是一道非常新颖的考点，它考察了考生对函数本身的理解，作为未知函数类型如何探索其变化趋势是非常需要学生能力的总体来说，本题是一道非常好、非常新的题目