全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 28锐角三角函数与特殊角.doc

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1、锐角三角函数与特殊角锐角三角函数与特殊角一、选择题1.（2014 年广东汕尾，第 7 题 4 分）在RtABC中，C=90，若sinA= ，则cosB的值是（ ）ABCD分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答解：C=90，A+B=90，cosB=sinA，sinA= ，cosB= 故选 B点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键2.（2014毕节地区，第 15 题 3 分）如图是以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于 D已知cosACD= ，BC=4，则AC的长为（ ）A1BC3D考点：圆周角定理；解直角三角形分析：由以ABC的边AB为

2、直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于 D易得ACD=B，又由cosACD= ，BC=4，即可求得答案解答：解：AB为直径，ACB=90，ACD+BCD=90，CDAB，BCD+B=90，B=ACD，cosACD= ，cosB= ，tanB= ，BC=4，tanB= ，AC=故选 D点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用3(2014 年天津市，第 2 题 3 分)cos60的值等于（ ）ABCD考点：特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数值解题即可解答：解：cos60= 故选 A点评：本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角

3、的函数值是解题关键4 （2014四川自贡，第 10 题 4 分）如图，在半径为 1 的O中，AOB=45，则sinC的值为（ ）ABCD考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题： 压轴题分析： 首先过点A作ADOB于点D，由在RtAOD中，AOB=45，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值解答： 解：过点A作ADOB于点D，在RtAOD中，AOB=45，OD=AD=OAcos45=1=，BD=OBOD=1，AB=，AC是O的直径，ABC=90，AC=2，sinC=故选 B点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度

4、适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用5 （2014浙江湖州，第 6 题 3 分）如图，已知RtABC中，C=90，AC=4，tanA= ，则BC的长是（ ）A2B8C2D 4分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可解：tanA= =，AC=4，BC=2，故选 A点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在RtACB中，C=90，sinA=，cosA=，tanA=6 （2014浙江金华，第 6 题 4 分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为3,tan2，则t的值是【 】A1 B1.5 C2 D3【答案】C【解析】7.（2014滨州，第 11 题

5、 3 分）在RtACB中，C=90，AB=10，sinA= ，cosA= ，tanA= ，则BC的长为（ ）A6B7.5C8D12.5考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由sinA= ，得到BC=解答：解：C=90AB=10，sinA=，BC=AB =10 =6故选 A点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在RtACB中，C=90，则sinA=，cosA=，tanA=8.（2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）A3B4C5D6（第 1 题图）考点： 含 30 度

6、角的直角三角形；等腰三角形的性质分析： 过P作PDOB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由ODMD即可求出OM的长解答： 解：过P作PDOB，交OB于点D，在RtOPD中，cos60= ，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故选 C点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键二.填空题1. （ 2014广西贺州，第 18 题 3 分）网格中的每个小正方形的边长都是 1

7、，ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= 考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析： 根据正弦是角的对边比斜边，可得答案解答： 解：如图，作ADBC于D，CEAB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，由BCAD=ABCE，即CE=，sinA=，故答案为：点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边2. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 16 题 3 分）如图，直线MN与O相切于点M，ME=EF且EFMN，则cosE= 考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值专题

8、： 计算题分析： 连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与O相切于点M，根据切线的性质得OMMF，而EFMN，根据平行线的性质得到MCEF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得MEF为等边三角形，所以E=60，然后根据特殊角的三角函数值求解解答： 解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，直线MN与O相切于点M，OMMF，EFMN，MCEF，CE=CF，ME=MF，而ME=EF，ME=EF=MF，MEF为等边三角形，E=60，cosE=cos60= 故答案为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、等边三

9、角形的判定与性质和特殊角的三角函数值3 （2014温州，第 14 题 5 分）如图，在ABC中，C=90，AC=2，BC=1，则tanA的值是 考点： 锐角三角函数的定义分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可解答：解：tanA= ，故答案为： 点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在RtACB中，C=90，sinA=，cosA=，tanA=4. （2014株洲，第 13 题，3 分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角为 20（不考虑身高因素） ，则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin700.9397，ta

10、n200.3640，tan702.7475） （第 1 题图）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 作出图形，可得AB=500 米，A=20，在RtABC中，利用三角函数即可求得BC的长度解答： 解：在RtABC中，AB=500 米，BAC=20，=tan20，BC=ACtan20=5000.3640=182（米） 故答案为：182点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解三.解答题1. （2014湘潭，第 25 题） ABC为等边三角形，边长为a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为

11、S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tanEDF=，求此圆直径（第 1 题图）考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析： （1）只需找到两组对应角相等即可（2）四边形ADFE面积S可以看成ADF与AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF转化为EAF在AFC中，知道tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长解答： 解：（

12、1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90ABC为等边三角形，B=C=60BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90，B=60，sin60=，cos60=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4SADF=ADDF=（4）m=m2+m同理：SAEF=AEEF=（4）（4m）=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中 0m40，024，当m=2 时，S取最大值，最大值为 3S与m之间的函数关系为：S（m2）2+3（其中 0m4） 当m=2 时，S取到最大值，最大值为 3（3）如图 2，A、D、F、E四点共圆，EDF=EAFADF=AEF=9

13、0，AF是此圆的直径tanEDF=，tanEAF=C=60，=tan60=设EC=x，则EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90，AF=此圆直径长为点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键2. （2014益阳，第 18 题，8 分） “中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路

14、l上测得如下数据：BAD=76.1，BCA=68.2，CD=82 米求AB的长（精确到 0.1 米） 参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0；sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5（第 2 题图）考点： 解直角三角形的应用分析： 设AD=x米，则AC=（x+82）米在RtABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82） ，在RtABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解解答： 解：设AD=x米，则AC=（x+82）米在RtABC中，tanBCA=，AB=ACtanBCA=2.5（x+82）

15、在RtABD中，tanBDA=，AB=ADtanBDA=4x2.5（x+82）=4x，解得x=AB=4x=4546.7答：AB的长约为 546.7 米点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题3.（2014株洲，第 17 题，4 分）计算：+（3）0tan45考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值分析： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答： 解：原式=4+11=4点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键4.（2014 年江苏南京，第 2

16、3 题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角ABO=60；当梯子底端向右滑动 1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角CDO=5118，求梯子的长（参考数据：sin51180.780，cos51180.625，tan51181.248）（第 4 题图）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为xm在RtABO中，根据三角函数得到OB，在RtCDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=ODOB，得到关于x的方程，解方程即可求解解答：设梯子的长为xm在RtABO中，cosABO=，OB=ABcosABO=xcos60=x在RtCDO中，c

17、osCDO=，OD=CDcosCDO=xcos51180.625xBD=ODOB，0.625xx=1，解得x=8故梯子的长是 8 米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算5. （2014泰州，16 题，3 分）如图，正方向ABCD的边长为 3cm，E为CD边上一点，DAE=30，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q若PQ=AE，则AP等于 1 或 2 cm（第 5 题图）考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析： 根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到

18、AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由PN与DC平行，得到PFA=DEA=60，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP的长即可解答： 解：根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，四边形ABCD为正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30，AD=3cm，tan30=，即DE=cm，根据勾股

19、定理得：AE=2cm，M为AE的中点，AM=AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL） ，DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30，cos30=，AP=2cm；由对称性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP等于 1cm或 2cm故答案为：1 或 2点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键6. （2014泰州，第 22 题，10 分）图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为 1.6m，CD与地面DE的夹

20、角CDE为 12，支架AC长为 0.8m，ACD为80，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到 0.1m） （参考数据：sin12=cos780.21，sin68=cos220.93，tan682.48）（第 6 题图）考点： 解直角三角形的应用分析： 过C点作FGAB于F，交DE于G在RtACF中，根据三角函数可求CF，在RtCDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解解答： 解：过C点作FGAB于F，交DE于GCD与地面DE的夹角CDE为 12，ACD为 80，ACF=90+1280=22，CAF=68，在RtACF中，CF=ACsinCAF0.744m，在RtCDG中，C

21、G=CDsinCDE0.336m，FG=FC+CG1.1m故跑步机手柄的一端A的高度约为 1.1m点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题7. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线y=x+3 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和sinBAC的值；对大于 1 的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sinBMC= 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂

22、径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题： 压轴题；探究型分析：（1）设反比例函数的关系式y= ，然后把点P的坐标（2，1）代入即可（2）先求出直线y=x+3 与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC的周长；过点C作CDAB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sinBAC的值由于BC=2，sinBMC= ，因此点M在以BC为弦，半径为m的E上，因而点M应是E与x轴的交点然后对E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标解答：解：（1）设反比例函数的关系式y= 点P（2，1）在反比例函数y= 的图象上，k=21=2

23、反比例函数的关系式y= （2）过点C作CDAB，垂足为D，如图 1 所示当x=0 时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3） OB=3当y=0 时，0=x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0） ，OA=3点A关于y轴的对称点为A，OA=OA=3PCy轴，点P（2，1） ，OC=1，PC=2BC=2AOB=90，OA=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC的周长为 3+2SABC=BCAO=ABCD，BCAO=ABCD23=3CDCD=CDAB，sinBAC=ABC的周长为 3+2，sinBAC的值为当 1m2 时，作经过点B、C且半径为m的E，连接CE并延长，交E于点P，连接BP，过

24、点E作EGOB，垂足为G，过点E作EHx轴，垂足为H，如图 2所示CP是E的直径，PBC=90sinBPC= sinBMC= ，BMC=BPC点M在E上点M在x轴上点M是E与x轴的交点EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90，四边形OGEH是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE与x轴相离x轴上不存在点M，使得sinBMC= 当m=2 时，EH=ECE与x轴相切切点在x轴的正半轴上时，如图 2所示点M与点H重合EGOG，GC=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=点M的坐标为（，0） 切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（，0） 当m2 时，EHECE与

25、x轴相交交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M，连接EM，如图 2所示EHM=90，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90，GC=1，EC=m，EG=OH=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0） 、M（+，0） 交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点M不存在；当m=2 时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（，0） ；当m2 时，满足要求的点M的坐标为（，0） 、 （+，0） 、 （+，0） 、 （，0） 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定

26、与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由BC=2，sinBMC= 联想到点M在以BC为弦，半径为m的E上是解决本题的关键8.（2014襄阳，第 15 题 3 分）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为 45，测得大树AB的底部B的俯角为 30，已知平台CD的高度为 5m，则大树的高度为 （5+5） m（结果保留根号）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 作CEAB于点E，则BCE和BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在RtACE中利用三角函数求得AE的长，进

27、而求得AB的长，即为大树的高度解答： 解：作CEAB于点E，在RtBCE中，BE=CD=5m，CE=5m，在RtACE中，AE=CEtan45=5m，AB=BE+AE=（5+5）m故答案为：（5+5） 点评： 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形9.（2014邵阳，第 24 题 8 分）一艘观光游船从港口A以北偏东 60的方向出港观光，航行 80 海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的

28、大约时间（温馨提示：sin530.8，cos530.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点C作CDAB交AB延长线于 D先解RtACD得出CD=AC=40 海里，再解RtCBD中，得出BC=50，然后根据时间=路程速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间解答：解：如图，过点C作CDAB交AB延长线于 D在RtACD中，ADC=90，CAD=30，AC=80 海里，CD=AC=40 海里在RtCBD中，CDB=90，CBD=9037=53，BC=50（海里），海警船到大事故船C处所需的时间大约为：5040= （小时）点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键