椭圆的简洁几何性质.docx

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1、椭圆的简洁几何性质 椭圆的简洁几何性质 椭圆的简洁几何性质 （一）教学目标：（一）学问目标椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点.（二）力量目标1、使同学了解并把握椭圆的范围。2、使同学把握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心。3、使同学把握椭圆的定点坐标、长轴长、短轴长以及 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距。4、使同学把握离心率的定义及其几何意义。（三）德育目标使同学充分熟悉到数与形的联系，体会数与形的统一；通过对椭圆对称性的体验，使同学得到美的感受，树立了对立统一的辩证唯物主义观点。 教学重点：椭圆的简洁几何性质 教学难点：教学难点是利用曲线方程讨

2、论椭圆的几何性质，这是第一次用代数的方法讨论几何图形的性质。 教具预备：幻灯片两张、三角板 教学方法：师生共同争论法借助多媒体教学手段，创设问题情景，通过师生的共同争论讨论，同学的亲身实践体验，使同学明确椭圆的几何性质的讨论方法，加强对性质的理解，把握椭圆的几何性质。 教学过程一、课题导入前面我们给同学们讲到：我国科学院在1997年精确地猜测了海尔.波普彗星将接近地球，并猜测30XX年后，它还将光临地球上空。通过学习，我们知道海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，天文学家通过观看它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它的周期及轨道的周长。现在假设我告知你这颗彗星的运行轨道的

3、方程，你能做出它的运行轨迹吗？当然描点法可以做出来，只要取足够多的点，图像就可以足够精确，但是很明显这种方法很麻烦，那么有没有简洁一点的方法呢。实际上我们知道，对于画一个二次函数的图像我只需要作出它的对称轴以及一些关键的点，我们就可以比较精确地画出它的图像。同样，假如我们能搞清晰椭圆的几何性质，就可以从整体上把握曲线的外形、大小、位置。这也是我们今日要给同学们讲的椭圆的几何性质。 二、讲授新课对于椭圆的标准方程 进行争论。 1、范围通过观看图像得出椭圆的范围（同学自己做） 提问：能从椭圆的标准方程中找出椭圆的范围吗？ 由于方程中两个非负数的和等于1，所以，椭圆上任一点的坐标 适合不等式 这说明

4、椭圆位于直线 所围成的矩形里。从函数的思想动身，我们也可以对椭圆的范围进行分析：椭圆的标准方程可以化为两个函数 ，对他们的定义域、值域分别进行争论可得 ，即椭圆位于直线 所围成的矩形里。 2、对称性 在曲线的方程里，我们知道：假如以 代 方程不变，那么当点 在曲线上时，它关于 轴的对称点 也在曲线上，所以区县关于 轴对称，同理，假如以 代 方程不变，那么曲线关于 轴对称，假如同时以 代 ，以 代 方程不变，那么曲线关于原点对称。提问：那么椭圆关于哪些对称呢？由于在椭圆的标准方程里，以 代 ，或以 代 ，或 、 分别代 、 ，方程都不变，所以椭圆关于 轴、 轴和原点都是对称的。这时坐标轴是椭圆的

5、对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。 3、顶点 在椭圆的标准方程里，令 ，得 。同理令 ，我们把 这四个点叫做椭圆的顶点。线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴。他们的长分别等于 ， 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。至此， 三者都有了几何意义，他们分别是长半轴长、短半轴长、半焦距。 由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 ，即 ，这就是在第8.1节中令 的几何意义。 4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率。 由于ac0,所以0e1. 问题 ：观看图形,说明当离心率e变化时,椭圆外形是怎样随之变化的? 得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁； (2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。当e1时，图形变成了一条线段。为什么？留给同学课后思索 三、例题讲解 共2页，当前第1页12