微积分课件与习题函数.ppt

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1、第二节第二节 函数的极限函数的极限当 x 1时,如图101xy二、二、二、二、x x x x0 0 时函数时函数时函数时函数 f f(x x)的极限的极限的极限的极限定义定义定义定义4 4 设 f(x)在点 x0 的某空心邻域某空心邻域内有定义,A 为常数.若 x 无限接近 x0时,f(x)的值无限接近A,则称A为 f(x)在x x0时的极限.记为或 f(x)A (x x0)定义定义定义定义44 设 f(x)在点 x0 的某空心邻域某空心邻域内有定义,A 为常数.0,若 0,则称A为 f(x)在x x0 时的极限.当当 0|x x0|时时,恒有|f(x)A|0,只要取 =,于是,当 0|x 1

2、|0,欲使|3x12|,于是,当 0|x 1|时,恒有|3x12|0,欲使|sinxsin x0|x x0|于是,当 0|x x0|时,只要取只要取 =,恒有|sinxsin|0,若若 0,当当 x0 x x0+时时,恒有|f(x)A|0,0,使当 0|x x0|时,有|f(x)A|令 =f(x)A,则|0,0,使当 0|x x0|时,有|即|f(x)A|于是|f(x)A|=|其中A为常数,二、无穷大量二、无穷大量0yx0yxy=lnx其特点其特点:在自变量的给定趋向下,函数的绝对值无限增大函数的绝对值无限增大.1.定义定义:在自变量的一定趋向下一定趋向下(x x0或 x),若|f(x)|无限

3、增大,则称 f(x)为该趋向下的无穷大量,简称无穷大无穷大.记为例如,正无穷大量正无穷大量:负无穷大量负无穷大量:1 不要将无穷大量与很大的数混淆.无穷大量是变量,很大的数的极限是它本身,并非无穷大.2 不要把无穷大与无界量等同起来.无穷大量一定是无界的,但无界量不一定是无穷大量.注注:比如,f(x)=xsinx 在(,+)内是无界的,但它不是无穷大量(因在x的过程中,当 xn=2n 时,f(xn)=0).定定 理理:在自变量的一定趋向下在自变量的一定趋向下,2.无穷大和无穷小的关系无穷大和无穷小的关系1)如果 f(x)是无穷大量,2)如果 f(x)是无穷小量且 f(x)0,3.无穷大量性质无穷大量性质:1)无穷大量与有界量的和仍为无穷大量.2)有限个无穷大量的积仍为无穷大量.3)两个正无穷大之和仍为正无穷大,两个负无穷大之和仍为负无穷大.例例2.练练 习习综述两个无穷小(大)量的和差、积商.(见P46)注意注意:例如,(答案答案:2)(答案答案:不存在不存在)的未定性的未定性.