微分中值定理与导数的应用第五节.ppt

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1、第三章第三章 一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极使函数取得极值的点称为值的点称为极值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大.定理定理1 1(必要条件必要条件)由费马引理可知，由费马引理可知，导数等于零的点称为导数等于零的点称为驻驻点点.对可导函数来讲对可导函数来讲,极值点必为驻点极值点必为驻点,但驻点只是极值点的必要条件但驻点只是极值点的必要条件,不不是充分条件是充分条件.另一方面

2、另一方面,不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点,x yOx yO 这就是说这就是说,极值点要么是驻点极值点要么是驻点,要么是不可要么是不可导点导点,两者必居其一两者必居其一.我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值极值嫌疑点嫌疑点.下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件,用来判别这些嫌疑用来判别这些嫌疑点是否为极值点点是否为极值点.定理定理2(2(极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件)一阶导数一阶导数变号法变号法例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下例例2 2解解定理定理3(3(极值存在的第二充分条件极值存在的第二充

3、分条件)称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆:几何直观；几何直观；说明说明：(2)(2)此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点；例例3 3解解图形如下图形如下(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(4)用极值的第一或第二充分条件判定用极值的第一或第二充分条件判定.注注意意 第二充分条件只能判定驻点的情形第二充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤求极值的步骤:(3)求定义域内部的极值嫌疑点求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或即驻点或 一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点)；二、函数的最大值、最小值问题二、函数的最大值、最小值问题极

4、值是局部性的极值是局部性的,而最值是全局性的而最值是全局性的.具体求法：具体求法：例例4 4解解计算计算比较得比较得 更进一步更进一步,若若实际问题实际问题中有最大中有最大(小小)值值,且有惟且有惟一驻点一驻点,则不必判断极大还是极小则不必判断极大还是极小,立即可以断定立即可以断定该驻点即为最大该驻点即为最大(小小)值点值点.则则若为极小值点必为最小值点，若若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；为极大值点必为最大值点；说明说明:axa-2x 将将边边长长为为a的的正正方方形形铁铁皮皮,四四角角各各截截去去相相同同的的小小正正方方形形,折折成成一一个个无无盖盖方方盒盒,问问如如何何

5、截截,使使方方盒盒的的容积最大？为多少？容积最大？为多少？设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 例例5 5解解a-2x 将将边边长长为为a的的正正方方形形铁铁皮皮,四四角角各各截截去去相相同同的的小小正正方方形形,折折成成一一个个无无盖盖方方盒盒,问问如如何何截截,使使方方盒盒的的容积最大？为多少？容积最大？为多少？求导得求导得设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 例例5 5解解 将将边边长长为为a的的正正方方形形铁铁皮皮,四四角角各各截截去去相相同同的的小小正正方方形形,折折成成一一个个无无盖盖方方盒盒,问问如如何何截截,使使方

6、方盒盒的的容积最大？为多少？容积最大？为多少？求导得求导得设小正方形的边长为设小正方形的边长为x，则方盒的容积为则方盒的容积为 解解例例5 5 要做一个容积为要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？才能使所用材料最省？hr设底半径为设底半径为r,高为高为h，总的表面积为总的表面积为例例6 6解解即表面积最小即表面积最小.即高与底面直径相等即高与底面直径相等.由实际问题由实际问题,此时表面积最小此时表面积最小.例例7 7解解利用最值证明不等式。利用最值证明不等式。例例8解解分析分析 数列是离散函数数列是离散函数,不能求导不能求导,应把应把n改为改为x,转化为连续转化为连续函数函数,再求导再求导.利用对数求导法利用对数求导法,得得 练习：练习：P160 习题习题3-51.(1)(2)(7)(8)(10)4.(1)(3)8.13.15