微分方程数值解第一章答案.ppt

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1、北京北京中国地质大学中国地质大学China University of Geosciences，Beijing微分方程数值解法微分方程数值解法教材：教材：微分方程数值方法微分方程数值方法 (第二版第二版)，胡健伟胡健伟,汤怀民著汤怀民著,科学出版社科学出版社,2007,2 参考书参考书:微分方程数值解法微分方程数值解法 李荣华等编李荣华等编,高教出版高教出版社社1 参考书参考书:微分方程数值解法微分方程数值解法 李荣华等编李荣华等编,高教出版社高教出版社 课堂授课课堂授课+计算实验计算实验 考核方式考核方式:平时作业平时作业+课堂课堂+期末考试期末考试 任课教师任课教师 2第一章、常微分方程的

2、数值解法第一章、常微分方程的数值解法第二章、椭圆型方程的差分方法第二章、椭圆型方程的差分方法第七章、椭圆型方程的有限元方法第七章、椭圆型方程的有限元方法第四章、抛物型方程的差分方法第四章、抛物型方程的差分方法第五章、双曲型方程的差分格式第五章、双曲型方程的差分格式教学内容教学内容3第一章第一章 常微分方程初值问题常微分方程初值问题的数值解法的数值解法 教学目标教学目标 教学重点教学重点 教学过程教学过程4第一章 基本概念教学目标教学目标了解了解ODE数值解法的基本内容数值解法的基本内容,掌握掌握EulerEuler法和线性多步方法法和线性多步方法,会判断常用方法的优劣之处会判断常用方法的优劣之

3、处.5教学重点教学重点基本概念和基本概念和Euler法法线性多步方法线性多步方法稳定性稳定性6第一章 基本概念教学过程教学过程 常微分方程基本概念常微分方程基本概念 常微分方程初值问题常微分方程初值问题 Euler法及其基本问题法及其基本问题 线性多步方法线性多步方法 数值稳定性数值稳定性 Runge-Kutta方法方法7第一章 基本概念1:常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念微分方程微分方程:常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程阶阶解，通解和特解解，通解和特解定解问题定解问题:初值问题和边值问题初值问题和边值问题8常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程联系着自变量联系着自变量,

4、未知函数及其导数未知函数及其导数(微分微分)的方程的方程,称为称为微分方程微分方程 .:未知函数是一元函数未知函数是一元函数分类分类微分方程微分方程:常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程:未知函数是多元函数未知函数是多元函数9方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶.一阶微分方程一阶微分方程三阶微分方程三阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程例如：例如：微分方程的阶微分方程的阶10 是使方程成为恒等式的函数是使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的阶数相同.特解特解微分

5、方程的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解.（微分方程的绝大部分解）（微分方程的绝大部分解）解解,通解通解,特解特解11 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.1)n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):例例定解条件定解条件 定解条件定解条件:初值问题和边值问题初值问题和边值问题2)n 阶方程的阶方程的边界条件边界条件(或边值条件或边值条件):122 2 初值问题：标量形式初值问题：标量形式考虑一阶常微分方程初值问题：考虑一阶常微分方程初值问题：存在性：存在性：f(t,u)在定义域上在定义域上连续连续唯一性：唯一性：f(t,u)关于关于u满足满足L

6、ipschitz条件条件13常微分方程来源举例常微分方程来源举例1 问题问题1.1 上上世纪初英国物理学家上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射发现放射性元素的原子是不稳定的性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比在每一段时间内总有一定比例的原子自然衰变而形成新元素的原子例的原子自然衰变而形成新元素的原子.记记t时刻放射性物质的原子数为时刻放射性物质的原子数为x(t),据观测单位时间据观测单位时间内衰变原子的个数内衰变原子的个数x与当时放射性原子数与当时放射性原子数x(t)之比为之比为常数常数a.考虑到放射过程中考虑到放射过程中 x0,因此因此a0为常数为常数.这样得到方程

7、这样得到方程常微分方程来源举例常微分方程来源举例2Logistic方程方程15问题问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其解并不是所有的方程可以用初等积分法求出其解,例如形式上很简单的里卡蒂例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程方程常微分方程举例常微分方程举例3不能用初等函数表示通解不能用初等函数表示通解.寻求方程非解析函数的其它形式解寻求方程非解析函数的其它形式解,显得非常必要。显得非常必要。而数值求解就是其重要的一个方法而数值求解就是其重要的一个方法162 Euler方法方法17计算在离散点（节点）的值，有计算在离散点（节点）的值，有这就是这就是Euler法的计算公式法的

8、计算公式18举例举例1利用利用Euler方法计算初值问题方法计算初值问题 的解在的解在t=0.3处的数值解处的数值解.步长步长h=0.1解解:Euler公式为公式为:19举例举例2P55 习题习题1 利用利用Euler方法求数值解方法求数值解 步长步长h=0.1,解区间解区间0,1 绘制折线，与真解比较绘制折线，与真解比较 20Matlab实现实现u=null(1);h=0.1;u0=1;u(1)=u0+h*0.5*u0;for n=1:9 u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n);endt=0:0.1:1;un=u0,u；plot(t,un,ro,Linewidth,2)ut=exp(0

9、.5*t);hold onplot(t,ut,Linewidth,2)210.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91精确解精确解ut数值解数值解un 节点节点 ti 1.0000 1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401 1.4071 1.4775 1.5513 1.6289 1.0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.648722Euler方法的三种解释方法的三种解释数值微分：用差商来代替导数数值微分：用差商来代替导数数值积分：把微

10、分方程变成积分方程数值积分：把微分方程变成积分方程幂级数展开：将幂级数展开：将u(t+h)在在t 做做Taylor展开展开23截断误差截断误差(局部、整体局部、整体)相容性相容性收敛性收敛性稳定性稳定性数值方法的基本问题数值方法的基本问题24局部截断误差局部截断误差设设u(t)是初值问题是初值问题(1)的解的解,在在t,t+h上定义算子上定义算子那么那么,R(t,u;h)称为称为局部截断误差局部截断误差如果如果t=tn,局部截断误差也记为局部截断误差也记为此时此时25整体截断误差整体截断误差设设u(t)是初值问题是初值问题(1)的解的解,un是是(2)的解的解,定义算子定义算子那么那么,n称为

11、称为整体截断误差整体截断误差与局部截断误差不同与局部截断误差不同,此时此时未必成立未必成立,且一般且一般26截断误差截断误差局部截断误差局部截断误差Rn：假设第：假设第n步精确计算的前步精确计算的前提下，计算解提下，计算解un+1和精确解和精确解u(tn+1)的误差的误差整体截断误差整体截断误差 n：在考虑误差累积的效应下，：在考虑误差累积的效应下，计算解计算解un和精确解和精确解u(tn)的误差的误差27相容性和相容的阶相容性和相容的阶相容性针对的是建立差分格式时由差商代相容性针对的是建立差分格式时由差商代替微商所引起的局部截断误差替微商所引起的局部截断误差.q阶相容阶相容:若一个离散变量方

12、法的局部截断若一个离散变量方法的局部截断误差对任意误差对任意n满足：满足：28收敛性与收敛的阶收敛性与收敛的阶收敛性研究的是误差累积产生的整体截收敛性研究的是误差累积产生的整体截断误差断误差.收敛：对任意的收敛：对任意的t(t0,T，成立，成立若此时，整体截断误差满足若此时，整体截断误差满足则称方法的收敛为则称方法的收敛为p阶的阶的29稳定性稳定性在利用公式在利用公式(2)计算数值解的过程中计算数值解的过程中,难免有难免有舍入误差舍入误差.稳定性就是讨论舍入误差是否会随稳定性就是讨论舍入误差是否会随着计算无限扩大地传递下去着计算无限扩大地传递下去.数值方法稳定性指对初始误差的连续依赖性数值方法

13、稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性以线性k步方法为例，即为存在常数步方法为例，即为存在常数C和和h00,使得当使得当h(0,h0 时时 这里这里常数常数C不依赖于不依赖于h。通常这里定义的稳定。通常这里定义的稳定性指性指 h0 情况下的稳定性情况下的稳定性。30Eular方法的性质方法的性质相容性相容性 (1阶阶)收敛性收敛性 (1阶阶)稳定性稳定性 绝对稳定区域绝对稳定区域31总结：基本步骤总结：基本步骤 解差分方程，求出格点函数解差分方程，求出格点函数 对区间作分割：对区间作分割：求求 y(x)在在xi 上的近似值上的近似值yi。由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。由微分方程出发

14、，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：这个方程应该满足：A、解存在唯一；、解存在唯一；B、稳定，收敛；、稳定，收敛；C、相容、相容目的目的关键关键32为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：需要知道如下几个结论：步长充分小时，所得到的数值解能否逼近步长充分小时，所得到的数值解能否逼近 问题得真解；即收敛性问题问题得真解；即收敛性问题 误差估计误差估计 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会 无限制扩大；稳定性问题无限制扩大；稳定性问题33数值求解微分方程过程示意数值求解微分方程过程示意微微分分方方程程区域剖分区域剖分离散系统的离散系统的性态研究性态研究递推计算或解线递推计算或解线性代数方程组性代数方程组微分方程离散微分方程离散初始和边界条件处理初始和边界条件处理解的存在性、唯一性解的存在性、唯一性解的收敛性和收敛速度解的收敛性和收敛速度解的稳定性解的稳定性得到数值解得到数值解34作业作业1 利用利用Euler方法求数值解方法求数值解 步长步长h=0.1,解区间解区间0,0.5 绘制折线，与真解比较绘制折线，与真解比较2 证明梯形法的收敛性证明梯形法的收敛性,并估计整体截断误差并估计整体截断误差.35