微分方程基本概念、可分离变量微分方程.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页主要内容：主要内容：第第七七章章 微分方程微分方程 第一节第一节 微分方程基本概念微分方程基本概念 第第二二节节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、微分方程基本概念；二、可分离变量的微分方程.1上页下页铃结束返回首页一、一、微分方程的基本概念微分方程的基本概念 在在许许多多问问题题中中 往往往往不不能能直直接接找找出出所所需需要要的的函函数数关关系系 但但是是根根据据问问题题所所提提供供的的情情况况 有有时时可可以以列列出出含含有有要要找找的的函函数数及及其其导导数数的的关关系系式式 这这种种关关系系式式就就是是所所谓谓微微分分方方程程 微微分分方方程程建建立立

2、以以后后 对对它它进进行行研研究究 找出未知函数来找出未知函数来 这就是解微分方程这就是解微分方程 本本节节通通过过几几个个具具体体的的例例题题来来说说明明微微分分方方程程的的基基本概念本概念 上页下页铃结束返回首页2上页下页铃结束返回首页 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y y(x)则则 例例1 一一曲曲线线通通过过点点(1 2)且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点M(x y)处处的切线的斜率为的切线的斜率为2x 求这曲线的方程求这曲线的方程 解解 上式两端积分上式两端积分 得得 因为曲线通过点因为曲线通过点(1 2)即当即当x 1时时 y 2 所以所以 2 12 C C 1 因此因此

3、所求曲线方程为所求曲线方程为 y x2 1 说明说明 当当x 1时时 y 2可可简记为简记为y|x 1 2 3上页下页铃结束返回首页 例例2 列列车车在在平平直直线线路路上上以以20m/s的的速速度度行行驶驶 当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度 0 4m/s2 问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解解 设列车在开始制动后设列车在开始制动后t秒时行驶了秒时行驶了s=s(t)米米 则则s0 4 s|t 0 20 s|t 0 0 把等式把等式s0 4两端积分一次两端积分一次 得得s0 4t

4、C1 再积分一次再积分一次 得得s0 2t2 C1t C2(C1 C2都是任意常数都是任意常数)由由s|t 0 20得得20 C1 由由s|t 0 0得得0 C2 故故s0 2t2 20t 故故s0 4t 20 s0 2 502 20 50 500(m)于是列车在制动阶段行驶的路程为于是列车在制动阶段行驶的路程为 令令s 0 得得t 50(s)4上页下页铃结束返回首页说明说明 未未知知函函数数是是一一元元函函数数的的微微分分方方程程 叫叫常常微微分分方方程程 未未知知函函数是多元函数的微分方程数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程叫偏微分方程 说明说明 v几个基本概念几个基本概念 微分方程微分方

5、程 表表示示未未知知函函数数、未未知知函函数数的的导导数数与与自自变变量量之之间间的的关关系系的的方程方程 叫微分方程叫微分方程 微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫叫微分方程的阶微分方程的阶 一般一般n阶微分方程的形式阶微分方程的形式为为 F(x y y y(n)0或或 y(n)f(x y y y(n 1)一阶的一阶的二阶的二阶的5上页下页铃结束返回首页说明说明 微分方程的解微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解 确确切切地地说说 设设函函数数y (x)在在区区间

6、间I上上有有n阶阶连连续续导导数数 如如果在区间果在区间I上上 Fx (x)(x)(n)(x)0 那那么么函函数数y (x)就就叫叫做做微微分分方方程程F(x y y y(n)0在区间在区间I上的解上的解 在例在例2中中 方程方程 s0 4的解有的解有 s0 2t2 C1t C2、s0 2t2 20t C2和和s0 2t2 20t 6上页下页铃结束返回首页说明说明 微分方程的解微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解 通解通解 如果如果 n 阶微分方程的解中含有阶微分方程的解中含有 n 个个相互独立相互独立的任意常数的任意常数 则这样的解叫做微分方

7、程的通解则这样的解叫做微分方程的通解 特解特解 确定了通解中的常数以后确定了通解中的常数以后 就得到微分方程的特解就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解叫特解即不含任意常数的解叫特解 通解通解特解特解什么解？什么解？在例在例2中中 方程方程 s0 4的解有的解有 s0 2t2 C1t C2、s0 2t2 20t C2和和s0 2t2 20t 7上页下页铃结束返回首页说明说明 对于一阶微分方程对于一阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程对于二阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是通常用于确定任意常数的条件是 例例1是求方程是求方程y 2x满足初

8、始条件满足初始条件y|x 1 2的解的解 例例2是求方程是求方程s 0 4满足初始条件满足初始条件s|t 0 0 s|t 0 20的解的解 初始条件初始条件 用于确定通解中任意常数的条件用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件称为初始条件 8上页下页铃结束返回首页初始条件初始条件 用于确定通解中任意常数的条件用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件称为初始条件 说明说明 说明说明 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 初值问题初值问题 微分方程的解的图形是一条曲线微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分叫做微分方程的积分曲线曲线

9、积分曲线积分曲线 9上页下页铃结束返回首页 例例4 验证验证 函数函数 x C1cos kt C2sin kt是微分方程是微分方程 的解的解 求所给函数的导数求所给函数的导数 解解 k2(C1cos kt C2sin kt)k2(C1cos kt C2sin kt)0 这这表表明明函函数数x C1cos kt C2sin kt 满满足足所所给给方方程程 因因此此所所给给函函数数是所给方程的解是所给方程的解 13上页下页铃结束返回首页 例例5 已知函数已知函数 x C1cos kt C2sin kt(k 0)是微分方程是微分方程 的通解的通解 求满足初始条件求满足初始条件 x|t 0 A x|t

10、 0 0的特解的特解 将条件将条件x|t 0 A代入代入x C1cos kt C2sin kt 得得 解解 C1 A 将条件将条件x|t 0 0代入代入x(t)kC1sin kt kC2cos kt 得得 把把C1、C2的值代入的值代入x C1cos kt C2sin kt中中 就就得所求的特解得所求的特解为为x Acos kt C2 0 14上页下页铃结束返回首页 解解 y 0 也为例也为例5中微分方程的解中微分方程的解 例例6 验证函数验证函数 是以下微分方程的解是以下微分方程的解:注注:通解不一定包含所有解通解不一定包含所有解 15上页下页铃结束返回首页二、可分离变量的微分方程二、可分离

11、变量的微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dx Q(x y)dy 0在这种方程中在这种方程中 变量变量x与与y是对称的是对称的 如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx(或写成或写成y (x)(y)的形式的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程那么原方程就称为可分离变量的微分方程 v可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程17上页下页铃结束返回首页讨论讨论 是是不是不是不是不是是是是是是是y 1dy 2xdxdy(3x2 5x)dxy(1 x)(1 y2)10 ydy 10 xdx18上页下页铃结束

12、返回首页v可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程的解法两端积分两端积分 方方程程G(y)F(x)C y y(x)或或x x(y)都都是是方方程程的的通通解解 其中其中G(y)F(x)C称为称为隐式隐式(通通)解解 求显式解求显式解 求方程由求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数所确定的隐函数 y y(x)或或x x(y)如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx(或写成或写成y (x)(y)的形式的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程那么原方程就称为可分离变量的微分方程 v可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量分离变量 将方程写成将

13、方程写成g(y)dy f(x)dx的形式的形式 19上页下页铃结束返回首页注注 分离变量得分离变量得 解解 这是一个可分离变量的微分方程这是一个可分离变量的微分方程 两边积分得两边积分得 即即 ln|y|x2 C1 ln|y|x2 ln|C|加常数的另一方法加常数的另一方法 20上页下页铃结束返回首页提示提示 降落伞所受外力为降落伞所受外力为F mg kv(k为比例系数为比例系数)牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律F ma 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为v(t)解解 例例11 设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落后后 所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度成成正正比比 并并设设降降落落伞

14、伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度为为零零 求求降降落落伞伞下下落落速度与时间的函数关系速度与时间的函数关系 根据题意得初值问题根据题意得初值问题 22上页下页铃结束返回首页将方程分离变量得将方程分离变量得 两边积分得两边积分得 将初始条件将初始条件v|t 0 0代入上式得代入上式得于于是是降降落落伞伞下下落落速速度度与与时时间间的的函数关系为函数关系为 例例11 设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落后后 所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度成成正正比比 并并设设降降落落伞伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度为为零零 求求降降落落伞伞下下落落速度与时间的函数关系速度与时间的函数关系 设降落伞

15、下落速度为设降落伞下落速度为v(t)解解 根据题意得初值问题根据题意得初值问题 23上页下页铃结束返回首页 例例12 当当一一次次谋谋杀杀发发生生后后,尸尸体体的的温温度度从从原原来来的的 370C 按按照照牛牛顿顿冷冷却却定定律律开开始始下下降降.假假设设两两小小时时后后尸尸体体温温度度变变为为 350C,并并且且假假定定周周围围空空气气的的温温度度保保持持 200C 不不变变,试试求求尸尸体体温温度度 H 随随时时间间 t 的的变变化化规规律律.又又如如果果尸尸体体被被发发现现时时的的温温度度是是 300C,时时间间是下午是下午 4 点整点整,那么谋杀是何时发生的？那么谋杀是何时发生的？牛

16、顿冷却定律牛顿冷却定律 一一个个物物体体的的温温度度变变化化速速度度与与该该物物体体的的温温度度和和其其所所在在介介质质的温度的差值成正比的温度的差值成正比.解解 由题设得微分方程由题设得微分方程分离变量得分离变量得 24上页下页铃结束返回首页两边积分得两边积分得 例例12 当当一一次次谋谋杀杀发发生生后后,尸尸体体的的温温度度从从原原来来的的 370C 按按照照牛牛顿顿冷冷却却定定律律开开始始下下降降.假假设设两两小小时时后后尸尸体体温温度度变变为为 350C,并并且且假假定定周周围围空空气气的的温温度度保保持持 200C 不不变变,试试求求尸尸体体温温度度 H 随随时时间间 t 的的变变化

17、化规规律律.又又如如果果尸尸体体被被发发现现时时的的温温度度是是 300C,时时间间是下午是下午 4 点整点整,那么谋杀是何时发生的？那么谋杀是何时发生的？解解由由 t 0,H 37,得得 C 17,求得求得由由 t 2,H 35,得得 当当 H 30 时时,得得 谋杀是在上午谋杀是在上午7点点36分发生的分发生的.由题设得微分方程由题设得微分方程分离变量得分离变量得 25上页下页铃结束返回首页 例例13 在某池塘内养鱼在某池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼该池塘最多能养鱼1000尾尾.在时刻在时刻t,鱼数鱼数 y 是时间是时间 t 的函数的函数 y(t),其变化率与鱼数其变化率与鱼数 y 及及1000 y 成成正比正比.已知在池塘内放养鱼已知在池塘内放养鱼100尾尾,3个月后池塘内有鱼个月后池塘内有鱼 250尾尾,求放养求放养 t 月后池塘内鱼数月后池塘内鱼数 y(t)的公式的公式.解解由由得得 由由得得 鱼数鱼数 y(t)的公式为的公式为由题设得微分方程由题设得微分方程分离变量得分离变量得 两边积分得两边积分得 26上页下页铃结束返回首页课后练习课后练习 P298 1、2、3、4、5、6；P304 1、2、3、4.27