1.4(条件概率与乘法公式).ppt

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1、 1.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 1.4.1 1.4.1 条件概率条件概率 在在实实际际当当中中，我我们们常常常常碰碰到到这这样样的的问问题题，就就是是在在已已知知一一事事件件发发生生的的条条件件下下，求求另另一一事事件件发发生生的的概概率率 下面首先看一个例子下面首先看一个例子:第第1章章 概率论基础概率论基础 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正观察其出现正反两面的情况反两面的情况,设事件设事件 A为为“至少有一次为正面至少有一次为正面”,事件事件B为为“两次掷出同一面两次掷出同一面”.现在来求已知现在来求已知事件事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件

2、 B 发生的概率发生的概率.分析分析事件事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率,记为记为1.引例引例一、条件概率 定义定义1.6 设设A与与B是同一样本空间中的两事件，是同一样本空间中的两事件，若若P(A)0，则称，则称 (1.2)为在为在A发生下的发生下的B的的条件概率条件概率 类类似似地地，当当P(B)0时时，定定义义在在B发发生生下下事事件件A发发生的条件概率为生的条件概率为 (1.3)1.4.1 条件概率条件概率4 20052005河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与

3、数理统计概率论与数理统计 不不难看出，看出，计算条件概率算条件概率P(B|A)P(B|A)有两种方法：有两种方法：在原样本空间在原样本空间 中分别求出中分别求出P(A),P(AB),P(A),P(AB),再再 按定义公式计算；按定义公式计算；在缩减样本空间在缩减样本空间A A中按一般概率中按一般概率P(B)P(B)计算。计算。5 20052005河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计解解方法方法方法方法1 1 1 1 在原在原样本空本空间 中中计算算 【例例1 1】一盒子装有一盒子装有一

4、盒子装有一盒子装有5 5 5 5只产品，其中只产品，其中只产品，其中只产品，其中3 3 3 3只一等品，只一等品，只一等品，只一等品，2 2 2 2只二只二只二只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件设事件设事件设事件A A A A为为为为“第一次取到一等品第一次取到一等品第一次取到一等品第一次取到一等品”，事件，事件，事件，事件B B B B为为为为“第二次取到第二次取到第二次取到第二次取到一一一一 等品等品等品等品”，求

5、条件概率，求条件概率，求条件概率，求条件概率P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)。因为因为“不放回依次取两只不放回依次取两只”有序，排列有序，排列 的每种不的每种不同同 结果就是一个样本点结果就是一个样本点,所以样本点总数为所以样本点总数为 A A所含样本点均为所含样本点均为“第一次取一等品的两产品第一次取一等品的两产品”，故，故其其 所含样本点总数所含样本点总数 有利场合数有利场合数 为为6 20052005河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计而而ABAB的样本点均为的样

6、本点均为“两次均取一等品两次均取一等品”，故其所含样本点，故其所含样本点总数总数 有利场合数有利场合数 为为 由由古典概率公式古典概率公式古典概率公式古典概率公式得得:从而从而,由由条件概率公式条件概率公式条件概率公式条件概率公式得得:方法方法方法方法2 2 2 2 在在缩减减样本空本空间A A中中计算算 7 20052005河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 “第一次取一等品的两只第一次取一等品的两只”均为均为A A所含样本点所含样本点,共有共有 ,其中两只均其中两只均为一等品的一

7、等品的为ABAB所含所含样本点本点,共有共有 故由故由古典概率公式古典概率公式古典概率公式古典概率公式得得:S SABABA A 注意注意（1）条条件件概概率率P(B|A)与与无无条条件件概概率率P(B)没没有有必必然然关关系系.（2）当）当B A时，有时，有（3）当）当AB=时，有时，有1.4.1 条件概率条件概率 （4）不不难难验验证证，条条件件概概率率满满足足概概率率定定义义1.5中中的的三三条条公公理：理：(1)非负性：对任意事件非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：规范性：P(|A)=1；(3)可可列列可可加加性性：设设 事事件件两两两两互互不相容，则不相容，则 所所以

8、以,条条件件概概率率P(|A)也也满满足足概概率率的的所所有有其其他他性性质质1.4.1 条件概率条件概率例如例如:1.4.1 条件概率条件概率【例例1.11】设设某某种种动动物物从从出出生生起起活活20岁岁以以上上的的概概率率为为80%，活活25岁岁以以上上的的概概率率为为40%如如果果现现在在有有一一个个20岁的这种动物，求它能活岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率岁以上的概率 解：解：设设 A 表示表示“能活能活 20 岁以上岁以上”的事件，的事件，B 表示表示“能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则则有所求概率为有所求概率为由于由于B A,所以所以P(AB)=P(B),1.4

9、.1 条件概率条件概率1.4.2 1.4.2 乘法公式乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理由条件概率公式容易得到下面定理定定理理1.1 设设A与与B是是同同一一样样本本空空间间中中的的两两个个事事件件，如果如果P(A)0，则，则 (1.4)如果如果P(B)0，则，则 (1.5)上面均称为事件概率的上面均称为事件概率的乘法公式乘法公式定定理理1.1容容易易推推广广到到求求多多个个事事件件积积事事件件概概率率的的情情况况1.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式事实上事实上可进一步推广如下可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义右侧的条件概率均有意义,1.4.2 乘法公式乘法公式1.4.2 乘

10、法公式乘法公式【例例1.12】某某厂厂的的产产品品中中有有4%的的废废品品，在在100件件合合格格品品中中有有75件件一一等等品品，试试求求在在该该厂厂的的产产品品中中任任取取一一件是一等品的概率件是一等品的概率 解解：设设A=“任取的一件是合格品任取的一件是合格品”，B=任取的一件是一等品任取的一件是一等品因为因为且且B A所以所以1.4.2 乘法公式乘法公式【例例1.13】某某人人忘忘记记了了电电话话号号码码的的最最后后一一位位数数字字，因因而而他他随随意意地地拨拨号号求求他他拨拨号号不不超超过过三三次次而而接接通通电电话话的的概概率率若若已已知知最最后后一一位位数数字字是是奇奇数数，那那

11、么么此此概概率又是多少？率又是多少？解：解：设设Ai=“第第i次接通电话次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过拨号不超过3次接通电话次接通电话”，则事件则事件B的表达式为的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式利用概率的加法公式和乘法公式 1.4.2 乘法公式乘法公式 若已知最后一位数字是奇数，若已知最后一位数字是奇数，则则1.4.2 乘法公式乘法公式【例例1.14】猎猎手手在在距距猎猎物物10米米处处开开枪枪，击击中中概概率率为为0.6若若击击不不中中，待待开开第第二二枪枪时时猎猎物物已已逃逃至至30米米远远处处，此此时时击击中中概概率率为为0.25，若若再再击击不不中中，则则猎猎物物

12、已已逃逃至至50米米远远处处，此此时时只只有有0.1的的击击中中概概率率求求猎猎手手三三枪枪内内击击中猎物的概率中猎物的概率 解：解：以以Ai=“第第i枪击中猎物枪击中猎物”，i=1，2，3，则所求概率则所求概率1.4.2 乘法公式乘法公式课堂练习课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破第一次落下时打破的概率为的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落下打破第二次落下打破的概率为的概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三次落下打第三次落下打破的概率为破的概率为9/10.试求透镜落下三次而试求透镜落下三次而未未打破的概率打破的概率.解解B“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.在在处处理理复复杂杂事事件件的的概概率率时时，我我们们经经常常将将这这个个复复杂杂事事件件分分解解为为若若干干个个互互不不相相容容的的较较简简单单的的事事件件之之和和，先先求求这这些些简简单单事事件件的的概概率率，再再利利用用有有限限可可加加性性得得到到所所求求事事件件的的概概率率，这这种种方方法法就就是是全全概概率率公式公式 1.4.2 乘法公式乘法公式