1.7定积分的简单应用44765.ppt

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1、1.1.平面图形的面积平面图形的面积:其中其中F(x)=f(x)A AA A2.微积分基本定理微积分基本定理:一、复习一、复习Ox yab yf(x)xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时由yf(x)、xa、xb与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值x yOab yf(x)-S=s3.定积分定积分 的几何意义的几何意义:分段函数定积分的求解：1.7定积分的简单应用定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 几种典型的平面图形面积的计算几种典型的平面图形面积的计算：类型类型1.1.求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=

2、a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S S(2)xyoabc(3)(1)xyo练习练习.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线直线x=2x=2，y=0y=0所围成的所围成的 图形的面积。图形的面积。yx解：解：如图：由如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线与得到抛物线与x x轴轴的交点坐标是的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=f(x)y=

3、f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba(2)(1)注：解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)oxyABCDO 两曲线围成的平面图形的面积的计算两曲线围成的平面图形的面积的计算求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确

4、定积分的上限确定积分的上限,下限下限)(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数;(4)(4)列式求解列式求解.直线直线y=x-4与与x轴交点为轴交点为(4,0)解解:作出作出y=x-4,的图象的图象如图所示如图所示:S1S2解解1 求两曲线的交点求两曲线的交点:82解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:于是所求面积于是所求面积说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用设设做做变变速速直直线线运运动动的的物物体体运运动动的的速速度度v=v(t)v=v(t)0，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a,ba,b内运

5、动的距离内运动的距离s s为为1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即变力所做的功：变力所做的功：物体在变力（物体在变力（x x）的作用下做直线运动，并）的作用下做直线运动，并且物体沿着与（且物体沿着与（x x）相同的方向从）相同的方向从x=ax=a移动到移动到x=bx=b（abab），那么变力（），那么变力（x x）所作的功）所作的功 例例例例2 2：一个带：一个带：一个带：一个带+q+q电量的点电荷放在电量的点电荷放在电量的点电荷放在电量的点电荷放在r r轴上坐标原点轴上坐标原点轴上坐标原点轴上坐标原点处，形成一个电

6、场，已知该电场中，距离坐标原处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原点为点为点为点为r r处的单位电荷受到的电场力由公式：处的单位电荷受到的电场力由公式：处的单位电荷受到的电场力由公式：处的单位电荷受到的电场力由公式：确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作用下，沿着用下，沿着用下，沿着用下，沿着r r轴方向从轴方向从轴方向从轴方向从r=ar=a到到到到r=br=b（abab），），），），求电场求电场求电场求电场力对它所作的功。力对它所作的功。力对它所作的功。力对它所作的功。解解:由题意由题意,所求功为所求功为