1.5 牛顿运动定律.ppt

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1、英国物理学家英国物理学家,经典物理经典物理学的学的奠基人奠基人.他对力学、光学、他对力学、光学、热学、天文学和数学等学科都热学、天文学和数学等学科都有重大发现有重大发现,其代表作其代表作自然自然哲学的数学原理哲学的数学原理是力学的经是力学的经典著作典著作.牛顿是近代自然科学牛顿是近代自然科学奠基时期具有奠基时期具有集前人之大成集前人之大成的的贡献的伟大科学家贡献的伟大科学家.牛顿牛顿IssacNewton（16431727）1-5牛顿运动定律牛顿运动定律一一.牛顿运动定律牛顿运动定律(一一)牛顿第一定律（惯性定律）牛顿第一定律（惯性定律）牛顿在牛顿在自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理中这样表

2、述：中这样表述：“任何物任何物体都将保持其静止或匀速直线运动状态，除非有其他物体都将保持其静止或匀速直线运动状态，除非有其他物体的作用力迫使它改变这种状态体的作用力迫使它改变这种状态.”.”（惯性系、宏观、低速运动）（惯性系、宏观、低速运动）a)牛顿第一定律牛顿第一定律说明物体具有惯性说明物体具有惯性不受外力作用不受外力作用时，任何物体都具有时，任何物体都具有保持保持静止或匀速直线运动静止或匀速直线运动状态不变状态不变的性质的性质.故第一定律又称故第一定律又称惯性定律惯性定律.b)牛顿第一定律牛顿第一定律给出了力的概念：给出了力的概念：力是力是物体间的物体间的相互作相互作用用，是引起物体运动是

3、引起物体运动状态改变状态改变的原因的原因.几点说明：几点说明：c)牛顿第一定律牛顿第一定律只适用于惯性参照系只适用于惯性参照系.(Everybodycontinuesinitsstateofrest,orofuniformmotioninarightline,unlessitiscompelledtochangethatstatebyforcesimpresseduponit.)(二二)牛顿第二定律（牛顿当年发表的形式）牛顿第二定律（牛顿当年发表的形式）是物体所受的是物体所受的合外力合外力.是物体的是物体的动量动量.当当m 不随时间变化时不随时间变化时,或或(Thechangeofmotion

4、isproportionaltothemotiveforceimpressed;andismadeinthedirectionoftherightlineinwhichthatforceisimpressed.)物体物体运动状态运动状态(动量动量)的变化的变化(率率)与作用在物体上的外力与作用在物体上的外力成正比成正比,状态变化的方向状态变化的方向沿外力作用的直线方向沿外力作用的直线方向.2)牛顿第二定律牛顿第二定律定量说明了质量是物体惯性大小的量度定量说明了质量是物体惯性大小的量度.3)牛顿第二定律牛顿第二定律只适用于质点的运动只适用于质点的运动.4)牛顿第二定律牛顿第二定律只适用于惯性参照

5、系只适用于惯性参照系.或或5)注意定律的注意定律的瞬时性瞬时性-力的作用与加速度是瞬时对应的力的作用与加速度是瞬时对应的.今天今天明天明天几点说明：几点说明：1)牛顿第二定律牛顿第二定律定量说明了力的效果定量说明了力的效果改变物体的运动改变物体的运动状态状态(动量动量).).物体的动量变化率一定等于物体所受合外力物体的动量变化率一定等于物体所受合外力.6)要注意定律的要注意定律的矢量性矢量性-定律中的力和加速度都是矢定律中的力和加速度都是矢量量(具有具有叠加性叠加性).具体求解牛顿方程时，要写成分量式：具体求解牛顿方程时，要写成分量式：直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系力的独立性力的独立

6、性(叠加叠加)原理：原理：某一方向的力只产生该方向某一方向的力只产生该方向的加速度，而与其它方向的受力及运动无关的加速度，而与其它方向的受力及运动无关.或或运动的独立性运动的独立性(叠加叠加)原理：原理：一个物体同时参与几种运动，一个物体同时参与几种运动，各分运动都可看成互不影响、独立进行的的各分运动都可看成互不影响、独立进行的的.物体的合物体的合运动可看成是这些相互独立的分运动叠加的结果运动可看成是这些相互独立的分运动叠加的结果.xyOA例如：抛物运动中，例如：抛物运动中，水平方向不受力水平方向不受力作匀速直线运动，竖直方向受重力只作匀速直线运动，竖直方向受重力只产生竖直方向的加速度，水平方

7、向与产生竖直方向的加速度，水平方向与竖直方向的运动互不影响竖直方向的运动互不影响.因此因此,平平抛运动可以看成水平方向的抛运动可以看成水平方向的匀速直线匀速直线运动运动和竖直方向的和竖直方向的自由落体运动自由落体运动的叠的叠加加,这就是这就是运动的叠加原理运动的叠加原理.v07)应用牛顿第二定律时应注意应用牛顿第二定律时应注意单位制单位制,SI制中：制中：牛顿牛顿，千克，千克，米米/秒秒2(三三)牛顿第三定律牛顿第三定律-mg地心地心mg两物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相两物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上反、作用在同一条直线上.(Toeveryac

8、tionthereisalwaysopposedanequalreaction:or,themutualactionsontwobodiesuponeachotherarealwaysequal,anddirectedtocontraryparts.)几点说明：几点说明：2）作用力与反作用力作用力与反作用力，无主从之分、先后之分、，无主从之分、先后之分、总是总是同时存在、同时消失同时存在、同时消失.3）作用力与反作用力是）作用力与反作用力是作用在不同的物体上作用在不同的物体上的，的，因此因此不会相互抵消不会相互抵消.4）作用力与反作用力是）作用力与反作用力是同性质的力。同性质的力。如果作用如果

9、作用力是万有引力、弹性力、或摩擦力，那么反作用力是万有引力、弹性力、或摩擦力，那么反作用力也相应地为力也相应地为万有引力、弹性力、或摩擦力万有引力、弹性力、或摩擦力.1）牛顿第三定律对力的性质加以补充，说明）牛顿第三定律对力的性质加以补充，说明了了力的来源是物体间的相互作用力的来源是物体间的相互作用.5）牛顿第三定律）牛顿第三定律适用于任何参照系适用于任何参照系.二二.牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围3.惯性参照系惯性参照系2.低速运动低速运动1.宏观系统宏观系统物体运动的空间尺度物体运动的空间尺度原子尺度（原子尺度（1010m）物体运动的速度物体运动的速度v c (光速光速c=3

10、x108m/s)凡是牛顿凡是牛顿第一、二第一、二定律成立的参照系定律成立的参照系,都是惯性系，都是惯性系，相对于惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系相对于惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系.实践表明：实践表明：太阳等恒星是很好的惯性系，地球可近太阳等恒星是很好的惯性系，地球可近似为惯性系似为惯性系.牛顿第一、二定律牛顿第一、二定律只适用于惯性参照系，只适用于惯性参照系，牛顿第三定牛顿第三定律律适用于任何参照系适用于任何参照系.万有引力万有引力三三.力学中力学中几种常见的力几种常见的力1.万有引力万有引力:存在于一切物体间的相互作用力。存在于一切物体间的相互作用力。重力：重力：地面附近物体

11、所受地球的吸引力。地面附近物体所受地球的吸引力。在忽略地球自转的影响下，在忽略地球自转的影响下，2.弹性力：弹性力：发生形变的物体，由于力图恢复原发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与它接触的物体产生的作用力。状，对与它接触的物体产生的作用力。（2）轻绳中的）轻绳中的张力张力(拉力拉力)T 处处相同，指向绳处处相同，指向绳子收缩方向。子收缩方向。（3）弹簧中的）弹簧中的恢复力恢复力F=-kx,指向弹簧原长处。指向弹簧原长处。（1）物体间的）物体间的正压力正压力(支撑力支撑力)总是垂直于接触总是垂直于接触点的切面指向对方。点的切面指向对方。如如正压力、张力、拉力、支撑力、弹簧恢复力。正压力、张力

12、、拉力、支撑力、弹簧恢复力。摩擦力：摩擦力：两个相互接触的物体，在存在相对运动两个相互接触的物体，在存在相对运动或相对运动趋势时，或相对运动趋势时，由于接触面粗糙而产生的阻由于接触面粗糙而产生的阻碍运动（或运动趋势）的力。碍运动（或运动趋势）的力。最大静摩擦力最大静摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力摩擦力摩擦力3.摩擦力摩擦力方向：方向：摩擦力的摩擦力的方向与物体相对运动或方向与物体相对运动或相对运相对运动趋势动趋势的方向相反。的方向相反。分类：分类：静摩擦力、滑动摩擦力。静摩擦力、滑动摩擦力。静摩擦力静摩擦力 一般情况：一般情况：4、流体阻力、流体阻力相对速率较小时相对速率较小时相对速率较大时相对速

13、率较大时四四.牛顿定律的应用牛顿定律的应用 应用牛顿定律的解题步骤：应用牛顿定律的解题步骤：1）依题意）依题意确定研究对象确定研究对象，选取坐标系；，选取坐标系；2）进行受力分析，进行受力分析，画出受力图；画出受力图；对连在一起的对连在一起的物体需作物体需作隔离分析，隔离分析，把内力转化为外力把内力转化为外力；4）分析讨论结果。）分析讨论结果。3）列出运动方程，分量式：）列出运动方程，分量式：两类基本问题：已知力求运动，已知运动求力。两类基本问题：已知力求运动，已知运动求力。例例1.一根长为一根长为L，质量为质量为M的柔软链条，开始时链条的柔软链条，开始时链条静止，其中长为静止，其中长为L l

14、 的部分放在光滑的桌面上的部分放在光滑的桌面上,长度长度为为l的部分铅直下垂。的部分铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的求整个链条刚离开桌面时的速度；速度；(2)求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。要的时间。解：解：以链条为研究对象，建以链条为研究对象，建立坐标系，分析受力。立坐标系，分析受力。注意：注意：本题属于本题属于a=a(x)，需作下列变换，需作下列变换(1)设设t 时刻时刻下垂部分长下垂部分长 x，则，则积分得积分得整个链条刚离开桌面时的速度：整个链条刚离开桌面时的速度：此时此时 x=L，故故(2)求链条由刚开始运动到完求链条由刚开始

15、运动到完全离开桌面所需要的时间。全离开桌面所需要的时间。积分得积分得讨论：若桌面不光滑讨论：若桌面不光滑(滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为)，结果如何？，结果如何？(自行证明自行证明)例例2.已知一质量为已知一质量为m 的质点在的质点在x 轴上运动轴上运动,质点只受到质点只受到指向原点的引力作用指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离引力大小与质点离原点的距离x 的的平方成反比平方成反比,即即f=-k/x2,k 是比例常数是比例常数,设质点在设质点在x=A 时的速度为零时的速度为零,求求x=A/2处的速度大小。处的速度大小。解解：根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律本题属于本题属于a=a(x)，

16、做变换做变换例例3.计计算算一一小小球球在在水水中中竖竖直直沉沉降降的的速速度度。已已知知小小球球的的质质量量为为m，水水对对小小球球的的浮浮力力为为B，水水对对小小球球的的粘粘性性力力为为R=-Kv，式式中中K 是是和和水水的的粘粘性性、小小球球的的半半径径有有关关的的一一个个常常量量。求求小小球球下下沉沉速速度度与时间的函数关系。与时间的函数关系。解：解：以小球为研究对象，分析受力：以小球为研究对象，分析受力：小小球球的的运运动动在在竖竖直直方方向向，以以向向下下为为正正方方向向，根根据据牛牛顿顿第第二定律，列出小球运动方程：二定律，列出小球运动方程：m设设：m讨论：讨论：当称为极限速度称

17、为极限速度积分得积分得例例4.长为长为l 的轻绳，一端系质量为的轻绳，一端系质量为m 的小球，另一端系于定点的小球，另一端系于定点O.开始时开始时小球处于最低位置小球处于最低位置.若使小球获得如若使小球获得如图所示的初速图所示的初速v0，小球将在铅直平面小球将在铅直平面内作圆周运动内作圆周运动.求小球在任意位置的求小球在任意位置的速率速率v 及绳的张力及绳的张力T.解：解：以小球为研究对象，分析受力以小球为研究对象，分析受力.建立自然坐标系建立自然坐标系，根据牛顿第二定律，列出小球运根据牛顿第二定律，列出小球运动方程：动方程：注意：注意：此处此处at=at()，与，与a=a(x)一样，一样，需

18、需作下列变换作下列变换将此式代入（将此式代入（2）式，可得：）式，可得：例例5(教材习题教材习题1-24).在顶角为在顶角为2 的圆锥顶上系一劲度的圆锥顶上系一劲度系数为系数为k，原长为原长为x0的轻弹簧，今在弹簧的另一端挂一的轻弹簧，今在弹簧的另一端挂一质量为质量为m的物体，使其在光滑的斜锥面上绕圆锥轴线运的物体，使其在光滑的斜锥面上绕圆锥轴线运动动,如图。请用图中所给的坐标系列出如图。请用图中所给的坐标系列出牛顿运动方程牛顿运动方程,并求出使物体并求出使物体m离开圆锥面时离开圆锥面时的最小角速度和弹簧长度。的最小角速度和弹簧长度。(1)运动方程：运动方程：解：解：以物体为研究对象，分析受力

19、以物体为研究对象，分析受力.(2)(2)物体脱离圆锥面时：物体脱离圆锥面时：物体脱离圆锥面时：物体脱离圆锥面时：N N=0=0，求解得：求解得：求解得：求解得：因为切向力为零，物体实际上是作因为切向力为零，物体实际上是作匀速率圆周运动，即角速度匀速率圆周运动，即角速度=C.例例6.如图所示，一根均质如图所示，一根均质柔绳，柔绳，单位长度的质量单位长度的质量为为，盘绕在一张光滑的水平桌子上。，盘绕在一张光滑的水平桌子上。(2)以以恒定速率恒定速率v 竖直向上提绳竖直向上提绳,当提起高度为当提起高度为y时，作用在绳时，作用在绳端的力又是多少？端的力又是多少？FF(3)设设t=0时时y=0,v=0，

20、以，以恒力恒力F竖直向上提绳，当提起竖直向上提绳，当提起高度为高度为y时，绳端的速度又是时，绳端的速度又是多少？多少？YO O(1)设设t=0时时y=0,v=0，今以，今以恒定加速度恒定加速度a竖直向上提绳竖直向上提绳.当当提起的高度为提起的高度为y时时,作用在绳端作用在绳端的力为多少？的力为多少？参见：参见：09级大学物理级大学物理(上上)期中试题期中试题5FFYO解：解：以链条整体作为研究对象，以链条整体作为研究对象，以地面为参照系建立坐标系以地面为参照系建立坐标系OY.ym1gm2 gN注意注意链条被拉起部分的链条被拉起部分的质量是质量是可变的可变的，设，设t 时刻长度为时刻长度为y,则

21、则FFYOym1gm2gN讨论：讨论：(1)设设t=0时时y=0,v=0，今以今以恒定加速度恒定加速度a竖直向上竖直向上提绳。当提起的高度为提绳。当提起的高度为y时时,作用在绳端的力为多少？作用在绳端的力为多少？积分，并利用初始条件，得积分，并利用初始条件，得FFYOym1gm2gN讨论：讨论：(2)以以恒定速率恒定速率v 竖直向上提竖直向上提绳，当提起高度为绳，当提起高度为y时，作用时，作用在绳端的力又是多少？在绳端的力又是多少？FFYOym1gm2gN讨论：讨论：(3)设设t=0时时y=0,v=0，以，以恒恒力力F竖直向上提绳，当提起高度竖直向上提绳，当提起高度为为y时，绳端的速度又是多少

22、？时，绳端的速度又是多少？m2gFFYOym1gN做变换做变换=y2v2,方程方程(1)转化为转化为积分得积分得 最后得最后得由初始条件由初始条件：t=0时时，y=0，v=0,可得可得 C=0讨论：讨论：(1)可以验证，此表达式是原方程可以验证，此表达式是原方程(1)的解，但的解，但它不满足它不满足t=0时时v=0的条件，可见此条件不合理的条件，可见此条件不合理.特点：特点：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同变量的幂次相同.形如形如的方程，称为的方程，称为欧拉方程，欧拉方程，其中其中p1,p2pn为常数为常数,解法：解法：欧拉方程

23、是一类特殊的变系数微分方程，通过欧拉方程是一类特殊的变系数微分方程，通过变量代换变量代换x=et或或t=lnx，可化为常系数微分方程，其解可化为常系数微分方程，其解可用标准方法求得可用标准方法求得.对于我们的问题：对于我们的问题：令令=v2,原方程转化为原方程转化为这是最低阶的欧拉方程这是最低阶的欧拉方程.(2)更一般的解法：更一般的解法：令令=v2,原方程可化为原方程可化为欧拉方程欧拉方程.作变量代换作变量代换y=e或或=lny，得到，得到这是这是一阶非齐次常微分方程。一阶非齐次常微分方程。非齐次方程的通解非齐次方程的通解=对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解+非齐次方程的特解非齐次方程的特

24、解对应齐次方程对应齐次方程:积分，得齐次方程积分，得齐次方程(4)的通解的通解:欧拉方程欧拉方程齐次方程齐次方程(4)的通解的通解:设非齐次方程设非齐次方程(3)的特解为的特解为非齐次方程：非齐次方程：代入方程代入方程(3)，得，得比较同类项的系数，可得比较同类项的系数，可得故故,非齐次方程非齐次方程(3)的特解的特解:对应齐次方程对应齐次方程:初始条件初始条件：t=0时时，y=0，v=0,齐次方程齐次方程(4)的通解的通解:非齐次方程非齐次方程(3)的特解的特解:最后得最后得非齐次方程非齐次方程(3)的通解的通解=齐次方程齐次方程(4)的通解的通解+非齐次方程非齐次方程(3)的特解的特解例例

25、7.09级大学物理级大学物理(上上)期中试题期中试题5及解答：及解答：线密度为线密度为的的柔软长链盘成一团置于地面，链条的一端系着一质量为柔软长链盘成一团置于地面，链条的一端系着一质量为m的小球。若将小球以初速度的小球。若将小球以初速度v0从地面竖直上抛从地面竖直上抛,忽略空忽略空气阻力，试问小球能上升多高？气阻力，试问小球能上升多高？解：解：以小球和链条作为研究对象，以地面为以小球和链条作为研究对象，以地面为参照系建立坐标系参照系建立坐标系OY.设设t 时刻时刻小球上升的高度为小球上升的高度为y,速度为速度为v，此，此时小球和链条被拉起部分的总质量为时小球和链条被拉起部分的总质量为(m+y)

26、,则则上式化为上式化为 解法一：解法一：积分得积分得 做变换做变换方程方程(1)变为变为由初始条件：由初始条件：t=0时时，y=0，v=v0,得得积分常数积分常数 由此得由此得 在最高点，在最高点，y=ymax,v=0，由上式可得由上式可得，牛顿运动方程牛顿运动方程:方程的解：方程的解：解法二：解法二：令令=v2,z=m+y,y,方程方程(1)可化为欧拉方程可化为欧拉方程.这是最低阶的欧拉方程这是最低阶的欧拉方程.仿照例仿照例6的解法，作变量代换的解法，作变量代换z=e或或=lnz，得到得到这是这是一阶非齐次常微分方程。一阶非齐次常微分方程。非齐次方程的通解非齐次方程的通解=对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解+非齐次方程的特解非齐次方程的特解对应齐次方程对应齐次方程:积分积分,得齐次方程得齐次方程(4)的通解的通解:非齐次方程非齐次方程：设非齐次方程设非齐次方程(3)的特解为的特解为代入方程代入方程(3)，得，得比较同类项的系数，可得比较同类项的系数，可得故故,非齐次方程非齐次方程(3)的特解的特解:故故,非齐次方程非齐次方程(3)的通解的通解:齐次方程齐次方程(4)的通解的通解:非齐次方程非齐次方程(3)的特解的特解:由初始条件由初始条件：t=0时时，y=0，v=v0,得得 最后得最后得 在最高点，在最高点，y=ymax,v=0，由上式可得由上式可得