(高中数学必修5)基本不等式.ppt

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1、3.43.4基本不等式基本不等式:20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会在北京举行在北京举行20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会在北京举行在北京举行 会标的设计源中会标的设计源中国国古代数学家古代数学家赵爽赵爽为了为了证证明发明于中国周代的明发明于中国周代的勾勾股定理而绘制的弦图。股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代它既标志着中国古代的的数学成就，又象一只数学成就，又象一只转转动的风车，欢迎来自动的风车，欢迎来自世世界各地的数学精英们。界各地的数学精英们。欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我你你能能在在图图中中找找出出一一些些面

2、面积积的的相相等等或或不不等等关关系系吗吗正方形正方形ABCDABCD的面积为的面积为a a2 2b b2 24 4个直角三角形的面积和为个直角三角形的面积和为2ab2ab所以所以不等式：不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。当当EFGHEFGH缩为一点，即缩为一点，即a=ba=b时，有时，有a a2 2b b2 22ab2abADBCEFGHbaBCDE(FGH)ab不等式：不等式：（当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）特别地，如果特别地，如果a0a0、b0,b0,用用 分别分别代替代替a a、b

3、 b得：得：即：即：要特别注要特别注要特别注要特别注意条件意条件意条件意条件写成：写成：_要证要证只要证只要证显然显然是成立的，当且仅当是成立的，当且仅当_时，等号成立时，等号成立下面证明不等式：下面证明不等式：证明：证明：要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证ABEDCab?由由“半径不小于半弦半径不小于半弦”得：得：几何解释几何解释R Rt tACDACDR Rt tDCBDCBCDCD2 2=AC=AC BC BCCD=CD=即即基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：不等式的不等式的适用范围适用范围。称为正数称为正数a a、b b

4、的的几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数 称为它们的称为它们的算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数。的适用范围呢？的适用范围呢？a,bR等号成立的条件等号成立的条件：a=ba=b基本不等式：基本不等式：常用的不等式：常用的不等式：重要不等式：重要不等式：基本不等式的变形：基本不等式的变形：例例1.(1)已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.(2)已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.(3)已知已知 能得到什么结论能得到什么结论?请说明理由请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系其中恒成立的是其中

5、恒成立的是 _利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式判断大小关系例例1：设：设0a1，给出下列不等式，给出下列不等式(1)(1)应用举例应用举例 解解:一正一正二定二定三相等三相等 解解:一正一正二定二定三相等三相等其中恒成立的是其中恒成立的是 _例例1：设：设0a1，给出下列不等式，给出下列不等式应用举例应用举例利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式判断大小关系(1)(1)归纳小结：用基本不等式要注意归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是其中恒成立的是 _例例1：设：设0a1，给出下列不等式，给出下列不等式(1)(1)应用举例应用举例利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式判断大小关

6、系例例2：下列各式中，用基本不等式可以得到：下列各式中，用基本不等式可以得到 最小值最小值 4 的是（的是（）C C利用基本不等式求值域利用基本不等式求值域应用举例应用举例2.2.判断题判断题(1)()(1)()(2)()(2)()巩固练习巩固练习(3)()(3)()一正一正二定二定三相等三相等应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题分析：分析：（1）面积一定，求长与宽的和的最小值）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）_一定，求一定，求_的最大值的最大值长与宽的和长与宽的和长与宽的和长与宽的和长与宽的积长与宽的积联想：联想：（左（左右）右）（左（左右）右）例例2、（1）用用篱篱

7、笆笆围围一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？应用举例应用举例例例2、（1）用用篱篱笆笆围围一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一一段段长长为

8、为36m的的篱篱笆笆围围成成一一矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题解：解：(1)设长为设长为xm,宽为宽为ym,则则xy=100,篱笆的长为篱笆的长为2(x+y)m由由可得可得 2（x+y）40当且仅当当且仅当x=y即即x=y=10时，等号成立时，等号成立答答(略略)一正一正二定二定三相等三相等应用举例应用举例例例2、（1）用用篱篱笆笆围围一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多

9、少少时时，所所用用篱篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题解：解：(2)设长设长xm,宽宽ym,则则2(x+y)=36,x+y=18面积为面积为xy m2由由可得可得当且仅当当且仅当x=y即即x=y=9时，等号成立时，等号成立答答(略略)应用举例应用举例应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：归纳小结：（1）两个正

10、数的）两个正数的 积积 为定值，为定值，和和有最小值有最小值（2）两个正数的）两个正数的 和和 为定值，为定值，积积有最大值有最大值应用要点：应用要点：例例2、（1）用用篱篱笆笆围围一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆最短。最短篱笆是多少？笆最短。最短篱笆是多少？（2）一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大。最大面积是多少？大。最大面积是多少？应用举例应用举例1.(1)1.(1)已知两个正数已知两个正数

11、a,ba,b的积等于的积等于36,36,则当则当a=_,b=_a=_,b=_时时,它们的和它们的和最小最小,最小值等于最小值等于_？(2)(2)已知两个正数已知两个正数a,ba,b的和等于的和等于18,18,则则 当当a=_,b=_a=_,b=_时时,它们的积最大它们的积最大,最大值等于最大值等于_？巩固练习巩固练习81816 66 69 99 91212（1 1）两个正数的）两个正数的）两个正数的）两个正数的 积积 为定值，为定值，为定值，为定值，和和有最小值有最小值有最小值有最小值（2 2）两个正数的）两个正数的）两个正数的）两个正数的 和和 为定值，为定值，为定值，为定值，积积有最小值有最小值有最小值有最小值归纳小结归纳小结感受总结感受总结基本不等式基本不等式1.1.应用基本不等式要注意的问题应用基本不等式要注意的问题应用基本不等式要注意的问题应用基本不等式要注意的问题2.2.灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用 实践创新实践创新一正一正二定二定三相等三相等