1 二重积分概念.ppt

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1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、三、二重积分的性质二重积分的性质 第一节一、一、引例引例 二、二、二重积分的定义与可积性二重积分的定义与可积性 四、四、曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）（按积分区域分类）积分区域积分区域积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二

2、型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式1.1.多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推 广广推推 广广推推 广广推推 广广概况概况重积分重积分二重积分二重积分二重积分二重积分三重积分三重积分三重积分三重积分二次积分二次积分二次积分二次积分三次积分三次积分三次积分三次积分两个定积分两个定积分两个定积分两个定积分三个定积分三个定积分三个定积分三个定积分三个定积分三个定积分三个定积分三个定积分重积分与定积分有类似的性质。重积分与定积分有类似的性质。本章重点：本章重点：重积分的计算！重积分的计算！一个二重积分一个二重积分一个二重积分一个二重积分一个定积分一个定积分

3、一个定积分一个定积分解法解法:类似定积分的思想类似定积分的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面，求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 x0z y.元素法元素法1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值

4、回顾：回顾：曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积f(i).元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整1.1

5、.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)S=.S.abx0z y DSS:z=f(x,y)元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零2 以平代曲以平代曲曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ix0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.ix0z yDS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任

6、意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.V=x0z yD.S:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 V=x0z yS:z=f(x,y)3 积零为整积零为整4 取极限取极限令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细V2 以平代曲以平代曲元素法元素法元素法元素法1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.V=2.平面薄片的

7、质量平面薄片的质量（若面密度为常数，质量（若面密度为常数，质量=面密度面密度面积）面积）有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变常代变”中任取一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:

8、平面薄片的质量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1中曲顶柱体中曲顶柱体体积体积:引例引例2中平面薄板的中平面薄板的质量质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存

9、在定理:若函数定理定理2.(证明略)定理定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续连续,积积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在D:上二重积分上二重积分存在存在;在D 上 二重积分二重积分不存在不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 则在D上可可三、二重积分的性质三、二重积分的性质(八个性质）八个性质）(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为 ,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理

10、,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.判断积分的正负号.解解:分积分域为则原式=猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计.因为是负，先不考虑此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.设函数设函数D 位于 x

11、 轴上方的部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底底为任取平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下则其体积可按如下两次积分两次积分计算计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的的直角

12、圆柱面所围的体积体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同相同,且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示提示:因 0 y 1,故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 P78 2，4，5 P95 1(1),8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业备用题备用题1.估计 的值,其中 D 为解解:被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束