第5章 曲线与曲面3.ppt

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1、6.2 常用参数曲线6.2.2 B样条曲线样条曲线 Bzier曲线是一段n次多项式曲线，它具有许多优点，如凸包性、保凸性等，但也存在缺点：1.Bzier曲线不能作局部修改，修改某一个控制顶点将影响整条曲线；2.Bzier曲线的阶次完全由其控制多边形的顶点个个数决定；3.当表示复杂形状时，无论采用高次曲线还是多段低次曲线拼接起来的曲线，都相当复杂。4.要克服Bzier曲线的缺点，需要对它进行推广。Bzier曲线的缺点，0t1 分段多项式曲线 Bzier曲线的自然推广是分段多项式曲线，其特点是每个基函数有影响的区域是有限的。早在20世纪40年代人们就发现了多项式样条曲线，但直到60年代末，由于CA

2、D技术的发展和计算机图形学的兴起，人们才逐步了解到它的重要性，并得到深入的研究和广泛的应用。1972年，德布尔（de Boor）与考克斯（Cox）分别给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorder）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面，B样条曲线使得控制多边形的顶点数与曲线的阶次无关，并可进行局部调整，而且曲线更逼近于控制多边形。6.2.2.1 B6.2.2.1 B样条基函数的定义和性质样条基函数的定义和性质给定参数t轴上的一个分割 (titi+1，i=0，1，2)。由下列递推关系所定义的Bi,k(t)称为T T的的

3、k k阶阶(或或k-1k-1次）次）B B样条基函数样条基函数。并约定0/00。此处 称为节点向量，称为节点。当满足 时，则称上式中除 和 以外的每一节点为T的 重节点 若ti+1-ti=常数，则称Bi,k(t)为k阶均匀B样条基函数；反之，则称Bi,k(t)为k阶非均匀B样条基函数。B样条基函数的推导：1 B样条基函数示意图Bi,2(t)Bi+1,2(t)Bi,3(t)Bi+1,3(t)Bi,4(t)titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+4titi+1ti+2ti+3ti+41Bi,1(t)Bi+1,1(t)titi+1ti+2ti+3ti+4即 只在区间 中

4、为正，在其它地方 的值均为零(k1)。(1)(1)局部性局部性B样条基函数的性质tj-ktj+1-ktjtj+qtj+q-1当k1时，当 时，显然成立.假设 时成立,现证明 时也成立。因为：上式右端第 项的第二项和第 项的第一项合并得 由 的局部性知，如果取 ，则 根据 0及上式,可把 看作是计算平均值的权.(2)权性权性证 用归纳法。B样条基函数的性质(3)(3)分段多项式分段多项式 在其值不为零的区间 上是次数不高于 次的多项式，在值为零的区间上是零次多项式，从而它在整个参数轴上是次数不高于 次的分段多项式。(4)(4)连续性连续性节点的重数每增加一次，的连续阶就减少一次,因此,在 重节点

5、处的连续阶不低于 阶。(5)(5)求导公式求导公式B样条基函数的性质 K+1阶（K次）B样条基函数在规范化参数区间（0t 1)有以下的等价表示形式：Bi,k+1(t)=(1/k!)k-i(-1)jCj (t+k-i-j)k,0t 1,i=0,1,k 说明：我们在下边的关于B样条曲线的定义中，使用该表示形式，该形式对于研究B样条函数的性质非常方便。B样条基函数的性质(6)等价表示等价表示j=0k+16.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质P2P0P1Pn B样条曲线及其控制多边形 在空间给定m+n+1个控制点，用向量Pi表示（i=0,1,m+n），称n次(n+

6、1阶）参数曲线：nltPtPnllini.,1,010)(0tBn+1l)(,=+，为n次B样条的第i段曲线(i=0,1,m)。其中：Bl,n+1(t)为B样条基函数，即：Bl,n+1(t)=0,1,n 依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi+l与Pi+l+1（l=0,1,n 1），将得到的折线称为第i段的B控制多边形。由第i段的B控制多边形决定的B样条曲线称为第i段B样条曲线。由于任意一段的B样条曲线具有相同的几何性质，因此取i=0，即第0段的B样条曲线进行研究，第0段的B样条曲线定义式为：在实际应用中，最常用的是二次和三次B样条曲线。下面它们的表示形式和性质6.2.2.2 B6.2.2.2

7、B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质Bl,n+1(t)，由 得：P(t)=P0B0,3(t)+P1B1,3(t)+P2B2,3(t)=(t+2)2-3(t+1)2+3t2P0+(t+1)2-3t2P1+t2P2 =(t2-2t+1)P0+(-2t2+2t+1)P1+t2P2 =t2 t 16.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p二次二次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u几何表示几何表示Bl,3(t)21212121212121-2 12-2 2 03 1 1 0 P0P1P2120t 1 位置矢量位置矢量：分别令t=0,t=1得：P(0)=02

8、 0 1 =(P0+P1)P(1)=12 1 1 =(P1+P2)6.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p二次二次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u端点性质端点性质1-2 12-2 2 03 1 1 0 P0P1P212121-2 12-2 2 03 1 1 0 P0P1P21212表明：表明：二次二次B样条曲线的起点在向量样条曲线的起点在向量P0P1的中点上，终的中点上，终点在向量点在向量P1P2的中点上的中点上 切矢量切矢量：分别将t=0,t=1代入 P(t)=（t-1)P0+(-2t+1)P1+tP2得：P(0)=P1-P0、P(1)=P2-P

9、16.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p二次二次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u端点性质端点性质表明：表明：二次二次B样条曲线的起点切矢量为向量样条曲线的起点切矢量为向量P0P1，而终，而终点切矢量为向量点切矢量为向量P1P2u连续性连续性 从上面的讨论知，第从上面的讨论知，第0段二次段二次B样条的起点位置矢量样条的起点位置矢量及切矢量仅与控制点及切矢量仅与控制点P0、P1有关，终点位置矢量及切矢有关，终点位置矢量及切矢量仅与控制点量仅与控制点P1、P2有关；且起点位置矢量及切矢量的有关；且起点位置矢量及切矢量的表达式与终点位置矢量及切矢量具有完

10、相同的形式，从表达式与终点位置矢量及切矢量具有完相同的形式，从而可知，两段相邻的二次而可知，两段相邻的二次B样条曲线在终点（起点）处样条曲线在终点（起点）处是自然连接的，具有是自然连接的，具有C1阶连续性。阶连续性。u连续性连续性6.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p二次二次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质推而广之：推而广之：两段相邻的两段相邻的n次次B样条曲线在（前一段）终样条曲线在（前一段）终点和（后一段的）起点处是自然连接的，并且具有点和（后一段的）起点处是自然连接的，并且具有Cn-1阶连续。阶连续。u凸包性凸包性第i段二次B样条曲线必落在第

11、i段的B控制多边形构成的凸包之内。这性质也可以推广到n次的B样条曲线。u局部性局部性每一段二次B样条曲线由3个控制点的位置矢量决定；同时，在二次B样条曲线中改变一个控制点的位置矢量，最多影响三个曲线段。6.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p二次二次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u扩展性扩展性如果增加一个控制点，就相应地增加了一段B样条曲线，此时，原有的B样条曲线不受影响，而且新增的曲线段与原曲线段自动保持连续性，不需附加任何条件。u局部性局部性推而广之：推而广之：任意一段任意一段n次次B样条曲线由样条曲线由n+1个控制点的位个控制点的位置矢量决定

12、；同是，在置矢量决定；同是，在n次次B样条曲线中改变一个控制样条曲线中改变一个控制点的位置矢量最多影响点的位置矢量最多影响n+1段曲线。段曲线。u工程上的意义：工程上的意义：利用上面的扩展性和连续性可以对原有的利用上面的扩展性和连续性可以对原有的B样条曲样条曲线进行扩展，从而减少重新设计或修改的工作量。特别线进行扩展，从而减少重新设计或修改的工作量。特别是，可以由多个控制点方便生成一个低次的是，可以由多个控制点方便生成一个低次的B样条曲线，样条曲线，从而降低高次计算所带来的复杂性。从而降低高次计算所带来的复杂性。由 得：P(t)=P0B0,4(t)+P1B1,4(t)+P2B2,4(t)P3B

13、3,4(t)=(-t3+3t2-3t+1)P0+(3t3-6t2+4)P1 +(-3t3+3t2+3t+1)P2+t3P3 =t3 t2 t 16.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p三次三次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u几何表示几何表示Bl,4(t)3-1 3 -3 13-6 3 04-3 0 3 051 4 1 0 P0P1P2P316161616160t 16.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p三次三次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u几何表示几何表示一般地，n次第0段B样条曲线可表示为：P(t

14、)=T.MB.GB=tn tn-1 t 1.M(n+1)(n+1)P0P1Pn-1Pn其中MB为n次B样条曲线的系数矩阵，它的第l列为Bl,n+1(t)按t降幂排列的系数；GB=P0 P1 Pn-1 PnT为n次B样条曲线的n+1个控制点的位置矢量。位置矢量位置矢量：分别令t=0,t=1得：P(0)=P1 P(1)=P26.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p三次三次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u端点性质端点性质表明：表明：三次三次B样条曲线的起点在三角形样条曲线的起点在三角形P0P1P2的中线的中线P1Q1上且离上且离P1点点1/3处；终点在三

15、角形处；终点在三角形P1P2P3的中线的中线P2Q2上且上且离离P2点点1/3处，处，(P0+P2)2132313(P1+P3)223而在终点外的而在终点外的切矢量切矢量P(1)平行于三角形平行于三角形P1P2P3的底边的底边P1P3且长度为且长度为其一半。其一半。切矢量切矢量：分别将t=0,t=1代入P(t)得：P(0)=(P2-P0)、P(1)=(P3-P1)6.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p三次三次B样条曲线表示和性质样条曲线表示和性质u端点性质端点性质表明：表明：三次三次B样条曲线在起点处的切矢量样条曲线在起点处的切矢量P(0)平行于三平行于

16、三角形角形P0P1P2的底边的底边P0P2且长度为其一半；且长度为其一半；1212 二阶导数二阶导数：分别将t=0,t=1代入P”(t)得：P”(0)=(P0-2P1+P2)=2 P1Q1 P”(1)=(P1-2P2+P3)=2 P2Q2 表明：表明：三次三次B样条曲线在起点处的曲率样条曲线在起点处的曲率P”(0)为三角形为三角形P0P1P2底边底边P0P2中线的中线的2倍倍;在终点处的曲率在终点处的曲率P”(1)为三为三角形角形P1P2P3底边底边P1P3中线的中线的2倍倍;u连续性连续性6.2.2.2 B6.2.2.2 B样条曲线的定义和性质样条曲线的定义和性质p三次三次B样条曲线表示和性

17、质样条曲线表示和性质 从上面的讨论知，第从上面的讨论知，第0段三次段三次B样条曲线在起点处的样条曲线在起点处的位置矢量、切矢量和二阶导数仅与控制点位置矢量、切矢量和二阶导数仅与控制点P0、P1、P2有有关，终点的位置矢量、切矢量和二阶导数仅与控制点关，终点的位置矢量、切矢量和二阶导数仅与控制点P1、P2、P3有关；而且起点与终点的位置矢量、切矢量和二有关；而且起点与终点的位置矢量、切矢量和二阶导数的表达式具有完相同的形式，从而可以推出，两阶导数的表达式具有完相同的形式，从而可以推出，两段相邻的三次段相邻的三次B样条曲线在终点（起点）处是自然连接样条曲线在终点（起点）处是自然连接好的，并具有好的，并具有C2阶连续性。阶连续性。