第6章__拉普拉斯变换.ppt

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1、第六章 拉普拉斯变换6.0 引言回顾：如何引入傅里叶变换1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组合来表示。2.复指数信号是LTI系统的特征函数复指数信号：时傅立叶变换 推广为任意s值拉普拉斯变换除具有傅氏变化的优点外，还能应用于不稳定系统的分析缺点：物理意义不如傅立叶变换清晰 6.1 拉普拉斯变换 6.1.1 定义已知：LTI系统对 的响应为：其中对任意信号x(t)，拉普拉斯变换（L）定义为：s为复数：当实部为0，为傅立叶变换另有：即：例 1：，为实数，求其傅立叶变换和拉氏变换 解：拉普拉斯变换的收敛域 只有 时，才能令 而求得X(jw)例2：求拉氏变换 解：可见，不同的x(t)可能有相同的X

2、(s)，关键在于收敛域不同。收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛的S值的范围。ROC的图示复平面（S平面）。注意：求拉氏变换，必须同时给出收敛域。例3 求X(s)解：Res-2 Res-1 Res-1 6.1.2 零极点图上述各X（s）称为有理的，只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，X（s）就一定是有理的对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子多项式的根零点 分母多项式的根极点除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S平面表示。若分母的阶次高于分子的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶零点。若分子的阶次高于分母的阶次k次，则 X(s)在无限远处有k阶极点。例4？

3、X(s)s为任意值 Res-1 Res2 Res2因为ROC不包括 jw的轴（即 Res=0）所以x(t)无傅立叶变化6.2 拉普拉斯变换收敛域l极点和ROC的关系；l极点、ROC与信号时域性质的关系l性质1：X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的带状区域组成。由狄里赫利条件（绝对可积+2.3条件），要求 ，仅与s的实部 有关有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3，所以绝对可积 F收敛 性质2：对有理拉普拉斯变换，ROC内不包含极点。（极点处X(s)无限大，不收敛）性质3：如果x(t)是有限持续期，且绝对可积，那么ROC为整个S平面。证明：拉氏变换收敛 绝对可积，欲证对所有S，有(1)

4、当 上式化为 在ROC内（2）当（3）当对所有s，成立即ROC为整个S平面 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果Res=位于ROC内，那么Res 的全部s值都一定在ROC内。右边信号：指 时，x(t)=0证明：因为x(t)的拉氏变换对 收敛，x(t)是右边信号，对于 ,有 即右边信号 对应 右半平面的ROC 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 位于ROC内，则 的全部S值都位于ROC内。左边信号：时x(t)=0，对应 左半平面的ROC 性质6：如果x(t)是双边信号，且若 位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括 的一条带状区域。双边信号：对时间轴左、右都是无限范围的例 求X（s）解：Re

5、s-b Res0时有公共收敛域：-bResb当b=0时，X（s）不存在如果信号x(t)的拉氏变换存在，一定是属于性质3性质6中的一种 性质7：如果 x(t)的拉氏变换 X(s)是有理的，那么它的ROC是被极点所界定的或延伸到无限远。且ROC内不包含 X(s)的任何极点。性质8：若x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，对右边信号，则其ROC位于最右边极点的右边；对于左边信号，则其ROC在S平面上最左边极点的左边。6.3 拉普拉斯反变换 定义式：对于一般的X（s），上述积分的求值要利用复平面的围线积分-不做讨论重点掌握：有理变换，利用部分分式展开法例：求x(t)?解：展开为 a.对右半平面的ROC存

6、在傅立叶变换 b.对左半平面的ROC 无傅立叶变换c.对带状的ROC 6.4 拉普拉斯变换的性质 1、线性 ROC为 ROC为 ROC包括（1）若 为空，则 X(s)无收敛域，x(t)不存在拉普拉斯变换。如前节例 b-1，Res-1 求X（s）?解：ROC为：Res-2 为：Res-1，但仅在s=-2有极点，所以ROC向左延伸至s=-2原因：s=-1处零、极点抵消确定 的ROC方法：（1）求（2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点 2、时移若 ROC=R则 ROC=R3、S域平移 ROC=R ROC如上表示是一种符号（边界变化）若X(s)有极点或零点在 s=a，那么 一定有极点或零点在 ，即

7、4、时域尺度变换（a为实）ROC=R ROC=aR ROC=aR 表示“边界的变化”la为负值时，ROC要增加关于 jw轴的反转。特例：ROC=-R5、共轭 ROC=R ROC=R推论：若 x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*)因此若X(s)有零极点位于必有一共轭的零极点位于6、卷积性质 ROC=R1 ROC=R2 ROC包括7、时域微分 ROC=R ROC包括R，s=0处的零极点有变化 8、S域微分 ROC=R ROC=R例：求 的拉氏变换 解：由 Res-a 得 所以 Res-a 一般式：（当x(s)有多重极点时有用）例：Res-1的反变换解：由于ROC在极点s=-1 s=-2 的右边

8、，所以对应右边信号 9、时域积分 ROC=R ROC包括R Res0证明：Res0 所以ROC包括R Res0 10、初值和终值定理条件：t0时，x(t)=0初值定理：初值定理条件：t=0时，x(t)不含冲激或高阶奇异函数，X(s)必须为真分式分子阶次分母阶次否则，X(s)=X0(s)整式+X1(s)真分式原因：整式X0(s)的L反变换为冲激及其导数（即高阶奇异函数），在0+时刻值为零 例：所以 终值定理条件：必须存在。对应S域的条件：X(s)的极点必须位于S平面的左半平面，虚轴上仅在 s=0处有一阶极点 例：在虚轴上有共轭极点所以，x(t)的终值不存在 关于性质应用求解：6.5 单边周期信号

9、和单边抽样信号的拉氏变换1.单边周期冲激串的拉氏变换 ROC:将极点、零点概念扩展：使拉氏变换为无穷大或0的s值。上式无零点，极点分析：即极点恰是周期冲激串的傅里叶变换冲激的位置-2/T-4/T2/T4/T2.单边周期信号的拉氏变换 为第1个周期内的信号则 或 ROC含特点:(1)是有限长信号的拉氏变换，如果存在，则无极点（收敛域为整个s平面）（2）不能说X(s)的极点仅由第二项决定 因为X1(s)的零点可能抵消第二项的极点3.单边抽样信号的拉氏变换例：，为单边周期矩形信号求：和解:(1)极点分析：a.无极点-零极点抵消b.原有极点 但由于分母中的 项被 中的相同项所抵消，故 k取偶数时不是极

10、点；同时 成为极点 亦可由表达式直接分析：(2)极点：（3）若 求 解：极点：6.5 用L变换分析与表征LTI系统LTI系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换称为系统函数/转移函数由卷积性质得：对LTI系统，y(t)=h(t)*x(t)Y(s)=H(s)X(s)s=ejw时 H(s)变为频率响应H(jw)。上式变为 Y(jw)=H(jw)X(jw)6.5.1 因果性因果性质：系统的输出只决定于现在和过去的输入值 因果的LTI系统应满足：t0时，h(t)=0，系统函数的ROC为左半平面 6.5.2 稳定性 LTI系统的稳定性等效于h(t)绝对可积，等效于傅氏变换收敛（狄.条件2、3满足）H(s)当sj

11、w时，即为H(jw)结论1：系统函数H(s)的ROC包括 jw轴，等效于LTI系统是稳定的 例：已知LTI系统的系统函数为对以下各种情况，求其ROC及h(t)（1）系统为因果的；（2）系统是稳定的；（3）ROC如（3）解：系统的零极点图：（1）有理H(s)、因果性，故ROC为右半平面：Res2，所以由于ROC不包括jw轴，所以非稳定（2）系统是稳定的，ROC包含jw轴：-1Res2 这是非因果的（3）对如（3）所示的ROC，即Res-3 h(t)=e-3tu(t)若反因果系统，Res-1 故系统是因果的；因H(s)的两个极点均有负实部，故系统是稳定的 可得微分方程：例：已知LTI系统满足(1)

12、系统是因果的，且原点不含冲激或高阶奇异函数;(2)系统是有理的，且有两个极点：s=-2,s=4;(3)若x(t)=1,则y(t)=0;(4)t=0+时，h(t)=4 试确定H(s),分析稳定性解：由1，2有理H(s)的因果系统，且有实部不为0的极点，所以为不稳定系统 设 ，p(s)是s的多项式 由3，时，即 有一根在s=0，所以可设由初值定理，必为常数=4 例：一稳定的因果系统 是有理的，有一个极点位于s=-2，原点没有零点，其余的零极点不知，试判断（a）（g）的对错，或不确定解：(a)收敛 相当于H(s)在Res=-3时的值。H(s)有极点s=-2，且因果，故ROC至少应位于s=-2的右边，

13、但Res=-3不满足此要求 错误 (b)原点无零点，错误(c)是一稳定因果系统的单位冲击响应 由s域微分性质：即两者有相同的收敛域，所以系统也是因果稳定的，正确(d)的拉式变换至少有一个极点 无法消除H(S)位于S=-2的极点，所以正确(e)h(t)是有限持续期的 由稳定性得h(t)绝对可积，若h(t)还是有限持续期的，则ROC为整个S平面，但已有s=-2的极点，所以错误(f)H(S)=H(-S)若有H(S)=H(-S),则H(S)在S=2也应有一极点，但对稳定的因果系统，所有极点都有负实部，所以错误(g)只有当分子与分母同阶时，才可能有上式但没有足够的条件，所以无法确定 6.6 系统函数的代

14、数属性与方框图表示 利用拉氏变换，时域的微分、卷积、时移复频域的代数运算，也可用于LTI系统的互联中6.6.1 LTI系统互联的系统函数 1、并联 y(t)x(t)h1(t)/H1(s)h2(t)/H2(s)+-2、级联(串联)h(t)=h1(t)*h2(t)H(s)=H1(s)H2(s)3、反馈由于Y(s)=H1(s)E(s)，E(s)=X(s)-Z(s)=X(s)-H2(s)Y(s)，所以Y(s)=H1(s)X(s)-H2(s)Y(s)，H(s)Y(s)X(s)y(t)x(t)h1(t)/H1(s)h2(t)/H2(s)6.6.2 由微分方程和有理系统函数描述的(因果)LTI系统的方框图表

15、示 微分 s；积分1/s例1：一因果LTI系统的系统函数 ，试画出其方框图解：系统对应的微分方程为：对应的S域方框图为 或：例2：s,涉及微分运算，不好改画上图：从A至C至B：先积分，再微分，故A=B所以上图可化为：不含微分运算，好例3：(因果)二阶系统解：（1）直接型，由H(s)可得微分方程：框图中尽量避免微分运算，而采用积分运算 原式化为：(2)级联型：(3)并联型：同一H(s)，可以有多种实现方式，对应不同的框图 例4：6.7单边拉普拉斯变换 应用：非零初始条件下，由线性常系数微分方程所描述的因果系统的求解定义：积分下限为0-，表明在积分区间内包括了集中于t0的冲激或高阶奇异函数t0时为

16、零的信号-因果信号，双边和单边拉氏变换相等单边拉氏变换的ROC一定是某右半平面 6.7.1 单边拉普拉斯变换举例 例1：求解：因为t-a 例2：解：Res-a 而 Res-a 例3：x(t)=g(t)+2u(t)+etu(t),求解：t1例4：解：因为ROC一定为右半平面，所以ROC为：Res-2 所以单边拉普拉斯反变换仅能得到t0-时的信号表达式 6.7.2 单边拉普拉斯变换的性质 1、时域微分-与双边变换明显不同2、卷积性质：单边变换增加的条件-若t0时，6.7.3 利用单边拉普拉斯变换求解微分方程重要应用：非零初始条件的线性常系数微分方程例：下列微分方程描述的因果LTI系统（1）求系统函数 （2）当x(t)=u(t)时，求零状态响应（3）初始条件为：y(0-)=,x(t)=u(t)，求y(t)解：(1)依题，系统函数为：(2)(3)由微分方程求单边拉氏变换得前两项的反变换，为输入为0时的响应-零输入响应后一项的反变换，为初始状态为0的响应-零状态响应 作业6.1(2)(3)6.26.3(1)(4)6.8(1)(2)6.11(1)(3)(5)(7)6.166.196.216.23奥本海姆:9.289.40