2.3等比数列.ppt

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1、观察思考：以下几个数列有何共同特点观察思考：以下几个数列有何共同特点?(1)2，4，8，16，(2)2，2 ,4,4 (4)5,5,5,5,(3)1,从第从第 二二项起，每一项与它前一项之项起，每一项与它前一项之比比 等于等于同同一常数一常数 如果一个数列从第如果一个数列从第 _项起，每一项与它项起，每一项与它的前一项的的前一项的 _ _等于等于 _ _一个常数，那么这个一个常数，那么这个数列就叫做数列就叫做 这个常数叫做等这个常数叫做等 数数列列的的 _1.等比数列定义：等比数列定义：二二比比同同等比数列等比数列公比公比等差数列定义等差数列定义 如果一个数列从第如果一个数列从第二二项起，每一

2、项与它项起，每一项与它的前一项的的前一项的差差等于等于同同一个常数一个常数,那么这个数那么这个数列就叫做列就叫做等差数列等差数列.这个常数叫做等这个常数叫做等差差数数列列的的公差公差公差公差通常用字母通常用字母d表示表示公比公比通常用字母通常用字母q表示表示比比 等比数列等比数列 由于等比数列的每一由于等比数列的每一项都有可能作分母，项都有可能作分母，故故a 1 0 且且 q 0等差数列等差数列 由于等差数列是由于等差数列是作差作差 故故a 1 d 没没有有要求要求 判断数列是等差数列的方法判断数列是等差数列的方法判断数列是等比数列的方法判断数列是等比数列的方法或或 an+1-an=d(n1)

3、an an-1=d(n2)等比数列等比数列通项公式推导通项公式推导:等差数列等差数列通项公式推导通项公式推导:设公差为设公差为 d 的的等差数列等差数列 a n，则有，则有:n1个个a 2 a 1=da 3 a 2=da 4 a 3=d a n a n 1=d+)a n a 1=(n1)d (n2）等差数列等差数列 a n 的首项的首项为为 a 1，公差为公差为 d 的通项公式为的通项公式为 _a n=a 1+(n1)d，n N+设公比为设公比为 q的等比数列的等比数列 a n，则有，则有:)n1个个qqq首项为首项为 a 1，公比为，公比为 q 的等比数的等比数列的通项公式：列的通项公式：a

4、 a n n=a=a 1 1 q q n n1 1(a 1 0 且且 q 0 n N+)(n2）等比数列等比数列 等差数列等差数列 常数列都是等差数列常数列都是等差数列但常数列却不一定但常数列却不一定是等比数列，是等比数列，如如0，0，0，0，等差数列等差数列通项公式通项公式:等比数列通项公式等比数列通项公式:首项为首项为 a 1，公差为，公差为 d 的通项公式为的通项公式为 _a n=a 1+(n1)d，n N+首项为首项为 a 1，公比为，公比为 q 的的 的通项公式：的通项公式：a n=a 1 q n1(a 1 0 且且 q 0,n N+)几何意义及几何意义及图象特点图象特点：a n=图

5、象特点：图象特点：形如形如指数函数上的一些规律的点指数函数上的一些规律的点(1)2，4，8，16，(2)2，2 ,4,4 (4)5,5,5,5,(3)1,a n=2na n=a n=a n=5 （1）在等比数列）在等比数列an中，中，是否有是否有an2=an-1an+1（n2）？）？（2）如果数列）如果数列an中，对于任意的正整中，对于任意的正整数数n（n2），都有），都有an2=an-1an+1，那么那么，an一定是等比数列吗？一定是等比数列吗？等比数列有没有与等差数列同样的一些等比数列有没有与等差数列同样的一些性质呢性质呢?等差数列性质等差数列性质(1):an=am+(n-m)d(2)在等

6、差数列在等差数列 中若中若m+n=p+k，m、n、p、kN+则则am+an=ap+aq(3):等差中项等差中项如果在如果在a与与b中间插入中间插入一个数一个数A，使，使a，A，b成等成等差差数列，那么数列，那么A叫叫做做a与与b的等的等差差中项。中项。等比数列性质等比数列性质(2)在等比数列在等比数列 中中 若若m+n=p+k，m、n、p、k N+，则则 aman=apak(3):等比中项等比中项 如果在如果在a与与b中间插入中间插入一个数一个数G，使，使a，G，b成等成等比比数列，那么数列，那么G叫叫做做a与与b的等的等比比中项。中项。(1):由此对于一般的等比数列，其前项和由此对于一般的等

7、比数列，其前项和，如何化简？如何化简？即当当 时，等比数列的前时，等比数列的前 项和项和 等于多少？等于多少？得 错位相减法错位相减法当当 时，此等比数列为常数列：时，此等比数列为常数列：，.此时此时等比数列的前等比数列的前 项和项和 公式：公式：（共（共n个个）错位相减法错位相减法6、求、求 的和。的和。解：由解：由得得 得得例例1.已已知知成成等等差差数数列列三三个个正正数数的的和和等等于于15，并并且且这这三三个个实实数数依依次次加加上上1,1,4后后又又成成等等比比数数列，求这三个数列，求这三个数【解解题题回回顾顾】本本题题是是巧巧妙妙利利用用等等差差数数列列、等等比比数数列列的的条条

8、件件设设未知数，充分利用条件列方程是解未知数，充分利用条件列方程是解这类问题这类问题的关的关键键所在所在.等比数列的基等比数列的基本量运算本量运算【例1】已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.等比数列的判定等比数列的判定与证明与证明【例2】设数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)若anSnn，(1)设cnan1，求证：数列cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式 等比数列的公式及等比数列的公式及性质的综合应用性质的综合应用(2)证明：因为S7271，S142141，S212211，所以S14S727(271)，S21S14214(271)

9、，所以S7(S21S14)214(271)2(S14S7)2，所以S7，S14S7，S21S14成等比数列(3)因为f(n)bn4an2n1(nN*)，所以bnf(n)的图象是函数f(x)2x1的图象上的一列孤立的点(图略)等差数列与等比数等差数列与等比数列的综合应用列的综合应用【变式练习4】已知数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和记为Sn，证明：Sn128.【解析】(1)设等比数列an的公比为q(qR)由a7a1q61，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1q4q2，a6a1q5q1.因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，即q1(q21)2(q21)所以q.【2012高考真高考真题辽题辽宁理宁理14】已知等比数列已知等比数列an为递为递增数列，且增数列，且，则则数列数列an的通的通项项公式公式an=_。【2012高考真题福建理14】数列an的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=_【答案答案】3018对正整数n，设曲线 在 2处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列 的前项n和的公式是 6.（江（江苏苏2009年年5分）分）设设是公比是公比为为的等比数列，的等比数列，令，令，若数列，若数列有有连续连续四四项项在集合在集合中，中，则则=.。