第3章 MATLAB数值运算.ppt

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1、第第3 3章章 MATLABMATLAB数值运算数值运算主讲：刘忠伟主讲：刘忠伟3.1 多项式多项式lmatlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。是按多项式降幂排列的。如：如：f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 可用行向量可用行向量 p=an an-1 a1 a0表示表示一、多项式的表达和创建一、多项式的表达和创建l多项式多项式f(x)=s4+1 可用行向量可用行向量 p=1 0 0 0 1表示表示3.1 多项式多项式二、多项式的四则运算二、多项式的四则运算多项式的四则运算包括多项式的多项式的四则运算包括多项

2、式的加减运算及乘法、除法运算加减运算及乘法、除法运算。多项式的加减运算在阶次相同的情况下可直接运算，若两个相加多项式的加减运算在阶次相同的情况下可直接运算，若两个相加减的多项式阶次不同，则低价多项式必须用零填补高阶系数，使减的多项式阶次不同，则低价多项式必须用零填补高阶系数，使其与高阶多项式有相同的阶次。其与高阶多项式有相同的阶次。或者自定义函数来完成，详见教材或者自定义函数来完成，详见教材P66的的polyadd(请同学们上机请同学们上机时做一下）。时做一下）。1、多项式的加减运算、多项式的加减运算3.1 多项式多项式二、多项式的四则运算二、多项式的四则运算 2、多项式的、多项式的乘法乘法运

3、算运算 函数函数conv(P1,P2)用于求多项式用于求多项式P1和和P2的乘积。这里，的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。是两个多项式系数向量。例例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c(x)=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00c(x)=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+183.1 多项式多项式二、多项式的四则运算二、多项式的四则运算 3、多项式的、多项式的除法除法运算运算l函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式用于对多

4、项式P1和和P2作除法运算。作除法运算。其中其中Q返回多项式返回多项式P1除以除以P2的商式，的商式，r返回返回P1除以除以P2的余式。的余式。这里，这里，Q和和r仍是多项式系数向量。仍是多项式系数向量。ldeconv是是conv的逆函数，即有的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。3.1 多项式多项式三、多项式的求值和求根运算三、多项式的求值和求根运算1、多项式求值、多项式求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：提供了两种求多项式值的函数：polyval与与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自和自变量变量x。两者的区别在于前者是

5、代数多项式求值，而后者。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。是矩阵多项式求值。3.1 多项式多项式三、多项式的求值和求根运算三、多项式的求值和求根运算l（1）代数多项式求值）代数多项式求值lpolyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：lY=polyval(P,x)l若若x为一数值，则求多项式在该点的值；若为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。3.1 多项式多项式三、多项式的求值和求根运算三、多项式的求值和求根运算

6、l（2）矩阵多项式求值）矩阵多项式求值 polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。相同，但含义不同。polyvalm函数要求函数要求x为方阵，它为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。以方阵为自变量求多项式的值。3.1 多项式多项式三、多项式的求值和求根运算三、多项式的求值和求根运算2、多项式求根、多项式求根ln次多项式具有次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。若干对共轭复根。MATLAB提供的提供的roots函数用于求多项式函数用于求多项式的全部

7、根，其调用格式为：的全部根，其调用格式为：lx=roots(P)l其中其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的分别代表多项式的n个根。个根。3.1 多项式多项式三、多项式的求值和求根运算三、多项式的求值和求根运算2、多项式求根、多项式求根l例：例：求多项式求多项式x4+8x3-10的根。的根。l命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)l若已知多项式的全部根，则可以用若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，函数建立起该多项式，其调用格式为：其调用格式为：P=p

8、oly(x)l若若x为具有为具有n个元素的向量，则个元素的向量，则poly(x)建立以建立以x为其根的多项为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量式，且将该多项式的系数赋给向量P。3.1 多项式多项式四、多项式的构造四、多项式的构造利用工具箱中的函数利用工具箱中的函数poly2sym来构造多项式。来构造多项式。l例：例：构造多项式构造多项式x4+3x3-15x3-2x+9的根。的根。l命令如下：命令如下：A=1,3,-15,-2,9;poly2sym(A)3.2 插值和拟合插值和拟合l一、插值一、插值l插值的定义插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数是对某些集合给定的数据点之间函数的估值

9、方法。的估值方法。l当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。非常有价值的工具。lMatlab提供了一维、二维、提供了一维、二维、三次样条等许多插值选三次样条等许多插值选择。择。l多项式插值函数：多项式插值函数：interp1l二、拟合二、拟合拟合函数：拟合函数：polyfit调用方法：调用方法：P=polyfit(x,y,n)p,s=polyfit(x,y,n)说明：说明：x,y为已知的数据组，为已知的数据组，n为要拟合的多项式的阶为要拟合的多项式的阶次，向量次，向量p为返回的要拟合的多项式的系数，向量为返回的要拟合的多项式

10、的系数，向量s为为调用函数调用函数polyval获得的错误预估计值。获得的错误预估计值。3.2 插值和拟合插值和拟合3.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l矩阵的存储方式：矩阵的存储方式：l 1.全元素全元素(Full)存储存储 完全矩阵完全矩阵l2.稀疏稀疏(Sparse)存储存储稀疏矩阵稀疏矩阵l稀疏矩阵存在的必要性：稀疏矩阵存在的必要性：对大多数元素数值为对大多数元素数值为0的矩阵，若采用满阵方式表的矩阵，若采用满阵方式表示，则示，则0元素将占用相当的存储空间。元素将占用相当的存储空间。l稀疏矩阵的特点：稀疏矩阵的特点：只存储只存储“非零元素非零元素”值值(按列按列)和和“非零元素非零元素”的位的位置

11、置3.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l对大多数元素数值为对大多数元素数值为0的矩阵，创建稀疏矩阵的矩阵，创建稀疏矩阵l稀疏矩阵建立指令稀疏矩阵建立指令 sparsel1、B=sparse(A)l例例.A=2 0 0 0;0 0 0 1;0 4 0 0l A=l 2 0 0 0l 0 0 0 1l 0 4 0 0l B=sparse(A)l B=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1一、稀疏矩阵的建立一、稀疏矩阵的建立 C=1 2 3 4;5 6 7 8;3 7 2 9;C=1 2 3 4 5 6 7 8 3 7 2 9 B+Cans=3 2 3 4 5 6 7 9 3 11 2 93.5 稀疏

12、矩阵稀疏矩阵一、稀疏矩阵的建立一、稀疏矩阵的建立 l2、S=sparse(i,j,s,m,n)“三元组三元组”表示法表示法 i 非零元素所在的行序号非零元素所在的行序号 j 非零元素所在的列序号非零元素所在的列序号 s 非零元素的数值非零元素的数值 m 矩阵的行矩阵的行 n 矩阵的矩阵的列列3.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l例例 15 0 0 22 0 -15l 0 11 3 0 0 0l A=0 0 0 -6 0 0l 0 0 0 0 0 0l 91 0 0 0 0 0l 0 0 28 0 0 0l s=15 91 11 3 28 22-6-15;l i=1 5 2 2 6 1 3 1;l j=1

13、1 2 3 3 4 4 6;l A=sparse(i,j,s,6,6)lA=l (1,1)15l (5,1)91l (2,2)11l (2,3)3l (6,3)28l (1,4)22l (3,4)-6l (1,6)-15 full(A)ans=15 0 0 22 0 -15 0 11 3 0 0 0 0 0 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 0 91 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 03.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l例例 A=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)A=?l full(A)ans=?3.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l例例 A=sparse(1 3 2,1 2

14、4,2 4 1,3,4)l A=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l full(S)l ans=l l?3.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l例 A=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)l A=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l full(A)l ans=l 2 0 0 0l 0 0 0 1l 0 4 0 03.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l 在MATLAB命令行窗口l中键入指令help sparfun，l可以得到稀疏矩阵运算函l数列表创建稀疏矩阵speye创建单位稀疏矩阵sprand创建均匀分布的随机数稀疏矩阵sprandn创建正态分布的随机数稀疏矩阵满阵和稀

15、疏矩阵之间的转换sparse创建稀疏矩阵或者将满阵转变为稀疏矩阵full将稀疏矩阵转变为满阵find获取非零元素的索引向量稀疏矩阵的操作函数nnz获取矩阵的非零元素的个数nonzeros获取矩阵的非零元素向量nzmax获取矩阵的各个向量的最大长度spones将稀疏矩阵中的非零元素用数字1替代issparse判断输入参数是否为稀疏矩阵3.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l1、speye（创建单位稀疏矩阵）创建单位稀疏矩阵）lspeye(m,n)在行、列相同位置上的元素值为在行、列相同位置上的元素值为“1”，其余位，其余位置上的元素值为置上的元素值为“0”lspeye(m)是是speye(m,m)的简写。在对

16、角线上的元素值为的简写。在对角线上的元素值为“1”，其余位置上的元素值为，其余位置上的元素值为“0”l例：例：A=speye(3,4)l A=l (1,1)1l (2,2)1l (3,3)1l full(A)l ans=l 1 0 0 0l 0 1 0 0l 0 0 1 03.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l2、find（获取矩阵非零元素的索引向量）获取矩阵非零元素的索引向量）find(A)l例：例：S=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)l S=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l find(S)l ans=l 1l 6l 113.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l3、nonz

17、eros（获取矩阵的非零元素向量）获取矩阵的非零元素向量）nonzeros(A)l例：例：S=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)l S=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l nonzeros(S)l ans=l 2l 4l 13.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l4、nnz（获取矩阵的非零元素的个数）获取矩阵的非零元素的个数）nnz(A)l例：例：S=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)l S=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l nnz(S)l ans=l 33.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l5、spones（将稀疏矩阵中的非零元素用数字

18、1代替）spones(A)l例：S=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)l S=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l A=spones(S)l A=l (1,1)1l (3,2)1l (2,4)1l full(A)ans=1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 03.5 稀疏矩阵稀疏矩阵l6、issparse（判断输入参数是否为稀疏矩阵）判断输入参数是否为稀疏矩阵）issparse(A)：是，则是，则ans为为“1”否，则否，则ans为为“0”l例：例：S=sparse(1 3 2,1 2 4,2 4 1,3,4)l S=l (1,1)2l (3,2)4l (2,4)1l issparse(S)l ans=l 1l A=1 2 3;4 5 6;l issparse(A)l ans=l 0