第6章-常微分方程与差分方程ppt课件.ppt

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1、从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。第五章第五章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程1从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。考试内容1.1.常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念 常微分方程常微分方程 含有一元未知函数及其导数含有一元未知函数及其导数(或微分或微分)的方程的方程.微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数阶数

2、.线性微分方程线性微分方程 方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是一次一次,且无交叉乘积项且无交叉乘积项.或或一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是二阶非线性二阶非线性.二阶线性二阶线性.2从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的

3、解的问题.初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.微分方程的解微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解特解 不含任意常数的解不含任意常数的解.其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线.注意注意,通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解.3从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2.2.变量可分离的微分方程变量可分离的微分方

4、程形式形式解法解法 分离变量分离变量,两边积分两边积分,称为称为隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.4从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。形式形式3.3.齐次微分方程齐次微分方程 解法解法 作变量代换作变量代换,代入原式得代入原式得两边积分两边积分,将将u代回代回,便得到原方程的通解便得到原方程的通解.5从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。(其中其中h和和k是待定的常数是待定的常数)可化为齐次

5、的方程可化为齐次的方程化为齐次方程化为齐次方程.化为可分离变量方程化为可分离变量方程.6从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。4.4.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 形式形式齐次方程的解法齐次方程的解法称为非齐次方程非齐次方程.称为齐次方程齐次方程;分离变量分离变量,两边积分得两边积分得,故通解为故通解为7从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。非齐次方程的解法非齐次方程的解法齐次方程通解齐次方程

6、通解非齐次方程特解非齐次方程特解用用常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解为故原方程的通解为也即也即即即作变换作变换两边积分得两边积分得公式法公式法8从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。伯努利方程伯努利方程 令令求出此方程通解后求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.除方程两边除方程两边,得得解法解法:(线性方程线性方程)9从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不

7、再说明。5.5.线性微分方程解的性质及解的结构定理线性微分方程解的性质及解的结构定理 n阶线性微分方程的形式阶线性微分方程的形式(2)(2)称为称为(1)(1)相应的齐次方程相应的齐次方程.特别地特别地,n阶阶齐次线性齐次线性微分方程微分方程定理定理1:1:是是 n 阶齐次方程阶齐次方程(2)(2)的的 n 个解个解,则则也为齐次方程也为齐次方程(2)的解的解.齐次方程解的叠加原理齐次方程解的叠加原理10从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。定理定理2:2:是是 n 阶齐次方程阶齐次方程(2)(

8、2)的的 n 个个线性无关线性无关解解,则方程的通解为则方程的通解为5.5.线性微分方程解的性质及解的结构定理线性微分方程解的性质及解的结构定理 定理定理3:3:是是 n 阶非齐次方程阶非齐次方程(1)(1)的的两两个解个解,则则是相应的齐次线性是相应的齐次线性(2)(2)方程的解方程的解.11从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。定理定理4:4:是对应齐次方程是对应齐次方程(2)(2)的的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程(1)(1)是非齐次方程

9、是非齐次方程(1)(1)的特解的特解,则非齐次方则非齐次方程程(1)(1)的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解5.5.线性微分方程解的性质及解的结构定理线性微分方程解的性质及解的结构定理 12从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。6.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程其其特征方程特征方程为为:特征根特征根为为:特征根的情况特征根的情况通解的表

10、达式通解的表达式 两互不相同的实根两互不相同的实根二重根二重根两个共轭复根两个共轭复根13从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构简单的非齐次线性微分方程特解的求法简单的非齐次线性微分方程特解的求法设方程的特解形式为设方程的特解形式为:14从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。简单的非齐次线性微分方程特解

11、的求法简单的非齐次线性微分方程特解的求法设方程的特解形式为设方程的特解形式为:15从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。7.7.差分与差分方程的概念差分与差分方程的概念 差分差分例例16从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。差分方程差分方程 差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值的差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的差称为差分方程的阶阶.若一个函数代入差分方程后

12、若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等方程两边恒等,则称此函则称此函数为该差分方程的数为该差分方程的解解.17从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。8.8.差分方程的通解与特解差分方程的通解与特解 9.9.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数数恰好等于差分方程的阶数,则称该解为差分方程的则称该解为差分方程的通通解解.不包含任意常数的解不包含任意常数的解,称为称为特解特解.18从使

13、用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。9.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 其其特征方程特征方程为为:特征根特征根为为:相应的齐次线性差分方程的通解为相应的齐次线性差分方程的通解为:特解形式为特解形式为:19从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。10.10.微分方程的简单应用微分方程的简单应用 20从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年

14、的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。考试要求1.1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.3.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.2.2.掌握变量可分离的微分方程掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的

15、求解方法的求解方法.5.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题会用微分方程求解简单的经济应用问题.21从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。典型例题分析例例1 1例例2 2A.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 C.伯努利方程伯努利方程 D.非线性微分方程非线性微分方程 本题应

16、选本题应选A.解解特征根为特征根为0和和1,解解本题应选本题应选D.22从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解例例3 3方程可以表示成方程可以表示成等式两边积分得等式两边积分得,即即注意注意:在方程求解变形中在方程求解变形中,原方程与变形后的方程有可原方程与变形后的方程有可能不是同解变形能不是同解变形,可能会遗漏一部分解可能会遗漏一部分解,可以将这些解单可以将这些解单独讨论补上独讨论补上.23从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地

17、下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解例例4 424从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解例例5 5这是齐次方程这是齐次方程,原方程化为原方程化为25从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解例例6 6这是一阶线性微分方程这是一阶线性微分方程,由公式法得方程的通解为由公式法得方程的通解为26从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地

18、下工程施工中已很少使用，在此不再说明。求一连续可导函数求一连续可导函数使其满足下列方程使其满足下列方程:则则从而有从而有利用公式法可求出利用公式法可求出解解例例7 727从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例8 8 求方程求方程的通解的通解.解解则方程变形为则方程变形为其通解为其通解为将将代入代入,得原方程通解得原方程通解:方程为伯努利方程方程为伯努利方程,28从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再

19、说明。解解例例9 929从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例1010解解都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关.本题应选本题应选D.D.30从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例1111 已知微分方程已知微分方程求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解 .解解是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程

20、通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有三个解有三个解 31从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解例例121232从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例1313解解对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为 解得解得故对应齐次方程的通解为故对应齐次方程的通解为 则令特解为则令特解为 33从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，

21、但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。代入原方程整理得代入原方程整理得 例例1313原方程的特解原方程的特解则原方程的通解为则原方程的通解为34从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解例例141435从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。36从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例1515解解对应的齐次差分方程为对应的齐次差分方程为 齐次差分方程的通解为齐次差分方程的通解为代入原差分方程代入原差分方程,得得37从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。比较两边同次项系数比较两边同次项系数,有有例例1515所以特解为所以特解为故原差分方程的通解为故原差分方程的通解为38从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。39