高等数学-第十二章-无穷级数ppt课件.ppt

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1、从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。无无 穷穷 级级 数数 从从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函本章主要内容包括常数项级

2、数和两类重要的函数项级数数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：题展开讨论：级数的收敛性判定问题，级数的收敛性判定问题，把已知把已知函数表示成级数问题，函数表示成级数问题，级数求和问题。级数求和问题。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。重点重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；展开式；难点难点常数项级数审敛法，函数

3、展开成幂级数的直接法常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，和间接法，Fourier 展开，级数求和；展开，级数求和；基本要求基本要求掌握级数敛散性概念和性质掌握级数敛散性概念和性质掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法掌握交错级数的掌握交错级数的Leibniz审敛法审敛法从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。掌握绝对收敛和条件收敛概念掌握绝对收敛和条件收敛概念掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区

4、间，会求简单的幂级数的和函数区间，会求简单的幂级数的和函数熟记五个基本初等函数的熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及其级数展开式及其收敛半径收敛半径掌握掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形级数概念，会熟练地求出各种形式的式的Fourier 系数系数掌握奇、偶函数的掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数将函数展开成正弦级数或余弦级数从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。一、问题的提出一、问题的提出1.1.计算圆的

5、面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。二、级数的概念二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:一般项一般项(常数项常数项)无穷级数无穷级数级数的部分和级数的部分和部分和数列部分和数列从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。

6、敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。余项余项无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近

7、些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。第第 次分叉：次分叉：周长为周长为面积为面积为从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。于是有于是有雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界从使用情况来看，闭胸

8、式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解 收敛收敛 发散发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。发散发散 发散发散 综上综上从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。三、基本性质

9、三、基本性质结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明注意注意收敛级数去

10、括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。事实上，对级数事实上，对级数任意加括号任意加括号若记若记则加括号后级数成为则加括号后级数成为记记的部分和为的部分和为的部分和记为的部分和记为则则由数列和子数列的关系知由数列和子数列的关系知存在，存在，必定存在必定存在存在存在未必存在未必存在从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。四

11、、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证明证明从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。讨论讨论从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下

12、工程施工中已很少使用，在此不再说明。2项项2项项4项项8项项 项项由性质由性质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。由定积分的几何意义由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分这块面积显然大于定积分以以 1 为底的的矩形面积为底的的矩形面积把每一项看成是以把每一项看成是以 为高为高就是图中就是图中 n 个矩形的面积之和个矩形的面积之和即即故调和级数发散故调和级数发散调和级数的部分和调和级数的部分和从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式

13、盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。五、小结五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推从使用情况来看，闭胸式的使

14、用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。1从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。3从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。4从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、

15、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。5从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。练习题练习题从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。练习题答案练习题答案从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构

16、，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。常数项级数审敛法常数项级数审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判

17、定级数的敛散这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论来讨论从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性

18、问题2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.定理定理从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。3.比较审敛法比较审敛法证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞

19、开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解由图可知由图可知从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。比较审敛法是一基本方法，虽然有比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它用，但应用起来却有许多不便，因

20、为它需要建立定理所要求的不等式，而这种需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法上更为方便的极限形式的比较审敛法证明证明从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当

21、当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.从使用情况来看，闭

22、胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。收敛收敛发散发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.直接从级数本直接从级数本身的构成身的构成即通项来判定其即通项来判定其敛散性敛散性 两点注意两点注意:从使用情况来看，

23、闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例

24、例5解解由于由于不存在，检比法失效不存在，检比法失效 而而对对由检比法得由检比法得 收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知收敛收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例6解解由检比法得由检比法得 级数收敛级数收敛级数发散级数发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。检比法失效检比法失效，但，但即后项大于前项即后项大于前项故级数发散故级数发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中

25、有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明取取则则由由知知由由收敛及比较审敛法得收敛及比较审敛法得收敛收敛收敛收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。由由知知故故不趋于不趋于 0发散发散不能判定不能判定如如都有都有但但收敛收敛发散发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。级数收敛级数收敛.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤

26、压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾

27、构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法？从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任

28、意项级数正项级数正项级数从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理级数的敛散性可得到如下定理从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。定理定理设有级数设有级数 则则绝对收敛绝对收敛发散发散可能绝对收敛，可能条件收可能绝对收敛，可能条件收敛，也可

29、能发散敛，也可能发散如如从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。注意注意一般而言，由一般而言，由 发散，并不能推出发散，并不能推出发散发散如如发散发散但但 收敛收敛如果如果 发散是由检比法和检根法而审定发散是由检比法和检根法而审定则则 必定发散必定发散这是因为检比法与检根法这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于审定级数发散的原因是通项不趋向于0由由从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明

30、。四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。思考题思考题思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的

31、城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。练练 习习 题题从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。练习题答案练习题答案从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程

32、施工中已很少使用，在此不再说明。1 1、常数项级数、常数项级数收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:习题课习题课 常数项级数审敛常数项级数审敛一、主要内容一、主要内容从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项

33、级数4.绝对收敛绝对收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法(1)(1)比较审敛法比较审敛法(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式是同阶无穷小是同阶无穷小特别特别 （等价无穷小）（等价无穷小）从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法Leibni

34、z定理定理绝对收敛，条件收敛绝对收敛，条件收敛附：附：正项级数与任意项级数审敛程序正项级数与任意项级数审敛程序从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。发散发散NYYNN改改用用它它法法Y收敛收敛收敛收敛发散发散收敛收敛发散发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。N 发散发散YY 收敛收敛N用检比用检比 法法用比较法用比较法用用L准则或考察部分和准则或考察部分和NNY条条件件收收敛敛从使用情况来看，

35、闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例1求极限求极限解解考察正项级数考察正项级数由检比法由检比法收敛收敛由级数收敛的必要条件得由级数收敛的必要条件得二、典型例题二、典型例题从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例2 设设 试证试证 发散发散证证不妨设不妨设 a 0 由极限保号性知由极限保号性知由于由于故由比较法的极限形式得故由比较法的极限形式得 发散发散例例3 若若 都发散都发散 则则A 必发散必发散B必发

36、散必发散C必发散必发散D以上说法都不对以上说法都不对从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例3 3解解从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散解解从而有从而有从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；

37、原级数发散；原级数也发散原级数也发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例4 4解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不

38、再说明。都收敛都收敛 且且例例5 设设 试证试证 收敛收敛证证由由 知知因因都收敛都收敛 故正项级数故正项级数收敛收敛再由比较审敛法知再由比较审敛法知 正项级数正项级数收敛收敛而而即即可表为两个收敛级数可表为两个收敛级数之和之和故故收敛收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例6 设设 且且若若收敛收敛 则则也收敛也收敛证证由题设知由题设知而而 收敛收敛由比较法得由比较法得收敛收敛Cauchy积分审敛法积分审敛法设设 单调减少单调减少则则与与 同敛散同敛散例例7 从使用情况来看，闭胸式的使用

39、比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证证由由 f(x)单调减少知单调减少知即即故故与与 同敛散同敛散例例8 设设是单调增加且有界的正数数列是单调增加且有界的正数数列试证明试证明 收敛收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证证记记则则且且而正项级数而正项级数的部分和的部分和又又单调增加且有界单调增加且有界故由单调有界原理知故由单调有界原理知 存在存在即即收敛收敛进而进而收敛收敛由比较法得由比较法得收敛收敛从使用情况来看，

40、闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。设正数数列设正数数列 单调减少，级数单调减少，级数发散发散考察考察的敛散性的敛散性证证 记记由由 单调减少单调减少故由单调有界原理知故由单调有界原理知 存在存在且且若若由由Leibniz审敛法得审敛法得 交错级数交错级数收敛收敛 与题设矛盾与题设矛盾由检根法知由检根法知 收敛收敛 例例9 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。已知已知证明证明 由由知知对对有有证证例例10从使

41、用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。而而收敛收敛故由比较法知故由比较法知收敛收敛 由由知知有有而而发散发散故由比较法知故由比较法知发散发散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。如如但但从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。讨论讨论的敛散性的敛散性解解对级数对级数收敛收敛绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散

42、分情况说明分情况说明例例11 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。级数成为级数成为收敛收敛发散发散级数成为级数成为绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例例12 对对的值，研究一般项为的值，研究一般项为的级数的敛散性的级数的敛散性解解由于当由于当 n 充分大时，充分大时，定号定号故级数从某一项以后可视为交错级数故级数从某一项以后可视为交错级数总有总有级数发散级数发

43、散从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。非增地趋于非增地趋于 0 由由Leibniz审敛法知审敛法知 收敛收敛但但 而而发散发散故由比较法的极限形式故由比较法的极限形式发散发散 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。条件收敛条件收敛级数显然收敛级数显然收敛 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。正项

44、级数正项级数 由级数收敛的必要条件要使由级数收敛的必要条件要使 收敛必须收敛必须 但在一般项趋于但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的级数中为什么有的收敛有的却发散，的却发散，因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效更能说明问题的实质，使用起来也更有效的的阶阶问题的实质是级数收敛与否取决于问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛关于常数项级数审敛从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近

45、些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。和和作为作为变化快慢变化快慢得到检比法和检根法，检比法得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失失效效”的情况。的情况。这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定级数的敛散性判定注注比较法、比较法的极限形式、检比法、比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对检根法、积分审敛法，只能对正项级数正项级数方方可使用可使用的一种估计的一

46、种估计从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。检比法、检根法只是检比法、检根法只是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件L准则也是准则也是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件通项中含通项中含 等常用等常用检比检比法法通项中含通项中含 有以有以 n 为指数幂的因子时为指数幂的因子时 常用常用检根检根法法使用比较法的极限形式时，关键在于找出与使用比较法的极限形式时，关键在于找出与同阶或同阶或 等价的无穷小等价的无穷小如如记记则则当所讨论的级数中含有当所讨论的级数中含有参数参数时，一般都要时，一般

47、都要对参数的取值加以讨论对参数的取值加以讨论从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。1.1.定义定义:幂幂 级级 数数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:3.3.和函数和函数:从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。

48、(定义域是定义域是?)函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项注意注意(x在收敛域上在收敛域上)函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.原级数发散原级数发散.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。收敛收敛;发散发散;二、幂

49、级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。2.2.收敛性收敛性:从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。证明证明从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。由由(1)结论结论几何说明几何说明发散区域发散区域发散区域发散区域收敛区域收敛区域这是幂级数收敛的特性这

50、是幂级数收敛的特性从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间，收敛域收敛域=收敛区间收敛区间+收敛的端点收敛的端点可能是可能是规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全