计算方法-1引论ppt课件.ppt

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1、计计 算算 方方 法法主主 讲：讲：孙孙 在在Email:Email: 2010 2010认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目孙在，重庆人。孙在，重庆人。1991-1998

2、 南京航空航天大学（本硕）南京航空航天大学（本硕）1998-2001 烟台东方电子有限公司烟台东方电子有限公司2002-2006 上海交通大学上海交通大学（博士）（博士）2007-今今 中国计量学院中国计量学院简介简介2 2认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目办公室：仰仪北楼办公室：仰仪北楼606电话：电话：8687 5662Email:3 3认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病

3、除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目参考书目参考书目&计算方法与实习第四版，袁慰平，东南大学出版社，2005&计算方法，李桂成，电子工业出版社，2005v数值计算方法，吕同富，清华大学出版社，20084 4认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目计算机解决科学计算问题步

4、骤计算机解决科学计算问题步骤5 5认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目计算方法领域的科学家计算方法领域的科学家 阿基米德(公元前287年公元前212年）古希腊哲学家、数学家、物理学家。阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“数学之神”和“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。6 6认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫

5、工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 牛顿(1664-1727)牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。牛顿在数值计算方法领域也作出了很大的贡献，比如牛顿迭代法求解非线性方程、牛顿积分方法等。7 7认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精

6、准扶贫”项目项目 欧拉(1707-1783)高斯(1777-1855)8 8认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目计算机时代计算机时代v冯.诺依曼（依曼（1903-1957）9 9认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项

7、目项目第1章 计算方法引论11 计算方法的概念、研究对象与特点42 应用示例43 误差与有效数字44 误差危害与数值稳定性1010认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目学习要点学习要点l计算方法研究的对象与特点；l误差理论：误差的来源、度量与传播；l数值计算的若干原则。1111认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原

8、因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目1 1 计算方法的概念、研究对象与特点计算方法的概念、研究对象与特点v计算方法算方法：是研究数学：是研究数学问题的数的数值解及其理解及其理论的一个的一个数数学分支；学分支；v研究研究对象象：适合于在：适合于在计算机上使用的数算机上使用的数值求解方法及求解方法及相相关理关理论；方法的收；方法的收敛性、性、稳定性及定性及误差分差分析；方法的析；方法的优化；化；v研究特点研究特点：数学的抽象性与：数学的抽象性与严格性；格性；应用广泛性、与用广泛性、与计算机的算机的严密密结合性。合性。1212认识到

9、了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目2 2 应用示例应用示例v例例1 求解求解 x 在在2,4区区间的的值方程有解析解：x=3，-1也可以令经过反复迭代从结果可以看到：循环迭代越长，计算结果越接近于精确解，换句话说：误差越来越小1313认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家

10、对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目例2 求解初值问题该方程的解析解为其数值解方法很多，比如欧拉方法、经典的四阶R-K方法等1414认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目其中h为步长1515认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，

11、已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目现取现取h=0.05,h=0.05,其结果见下表其结果见下表:xnynyxnyny01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.732051616认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了

12、认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目对不可压流动，三维湍流瞬时控制方程（N-S）为：湍流的基本方程湍流的基本方程1717认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目3 3 误差与有效数字误差与有效数字v误差的来源差的来源v模型模型误差：差：数学模型与数学模型与实际问题之之间的的误差差v观测误差：差：观测得到的物理量与

13、真得到的物理量与真实值之之间的差异的差异v截断截断误差：差：计算算过程中，有限程中，有限过程代替无程代替无限限过程的程的误差差v舍入舍入误差：差：计算中四舍五入算中四舍五入带来的来的误差差前两种误差是客观存在的，后两种是由计算方法引起的，也是本课程研究的重点1818认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v绝对误差差：设x*为准确准确值，x是是x*的一个近似的一个近似值，称称e=x*-x为近似近似值x的的

14、绝对误差差，简称称误差差绝对误差与绝对误差限绝对误差与绝对误差限绝对误差限：|e|=|x*-x|，简称为误差限，也可以表示为：x*=x 问题：绝对误差是否容易得到？为什么？1919认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v绝对误差的局限：差的局限：多种情况下不能反映近似多种情况下不能反映近似值的的好坏，可比性不足好坏，可比性不足v相相对误差：差：设x*为准确准确值，x是是x*的一个近似的一个近似值，称称e

15、r=(x*-x)/x*为近似近似值x的的相相对误差差，由于真，由于真值x*难以以获得，通常用得，通常用 代替代替v相相对误差限：差限：若有若有r满足足|er|r，称，称r为x的的相相对误差限差限2020认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目有效数字有效数字v引入有效数字的目的是引入有效数字的目的是为了更明确地表达数的准了更明确地表达数的准确度，比如：确度，比如：vx*=1.732050808v按照四舍五

16、入的方法，按照四舍五入的方法，v取三位，取三位，x1=1.73，10.005；v取五位，取五位，x2=1.7321，10.00005；v它它们的的误差都不超差都不超过末位的半个末位的半个单位位2121认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v有效数字定有效数字定义1：如果近似：如果近似值x的的误差限是某一位差限是某一位上的半个上的半个单位，且位，且该位直到位直到x的第一位非零数字一共的第一位非零数字一共有

17、有n位，位，则称近似称近似值x有有n位有效数字位有效数字v X =x x x x x x x x自左向右看，第一个非零数误差不超过该位的半个单位n位2222认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v有效数字定有效数字定义2：设x*是是x的一个近似的一个近似值，写成，写成规格化形式格化形式v其中其中ai(i=1，2n)为09之之间的整数，且的整数，且a10，m为整数。如果整数。如果v则称称x*为x的具有的具

18、有n位有效数字的近似位有效数字的近似值。2323认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v例例3 对下列数写出下列数写出4位有效数字的近似位有效数字的近似值268.712-0.0021302623.0002130623.00012105268.7-0.0021303.0003.000105例4 指出下列各数有几位有效数字13.5034-300000.91086512424认识到了贫困户贫困的根本原因，才能

19、开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目 机器数系机器数系456.789-6.4730.005670.3210.456789103-0.64731010.56710-20.321100尾数部定位部数的浮点表示2525认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项

20、目项目v一个一个基数基数为为 的的t位数字的浮点表示形式位数字的浮点表示形式为为v x=(0.a1a2a3at)p v 2是整数，通常是整数，通常为为2，8，10，16；v ai都是整数，且都是整数，且 0 ai -1v t 是是计计算机的算机的字字长长v p称称为为指数指数，也称，也称计计算机的算机的阶码阶码，它，它带带有符有符号，有固定的下限号，有固定的下限L和上限和上限U2626认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶

21、贫精准扶贫”项目项目vx=(0.a1a2a3at)p v 尾数部尾数部v s=0.a1a2a3at =v 那么那么v x=s p v 若若规规定定a10，则则-1|s|1，称，称x为为规规格化浮点格化浮点 数数2727认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目机器数系机器数系v定定义：把把计算机中浮点数所算机中浮点数所组成的集合加上成的集合加上“机器机器零零”记为F，它也被称，它也被称为机器数系机器数系v特

22、征描述：特征描述：设F可以用可以用4个参数描述：基数个参数描述：基数，字，字长长t，阶码阶码范范围围L,U，那么，那么F的集合称的集合称为为机器数系机器数系v F含有含有 1+2（-1）t-1（U-L+1）个数个数v溢出：溢出：若若计计算的中算的中间结间结果超出了果超出了F中的最大数和最中的最大数和最小数范小数范围围，则则称溢出称溢出2828认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v当一个当一个实数数x进

23、入入计算机后，成算机后，成为计算机里的数，称算机里的数，称它它为x的的机器数机器数，用，用fl(x)表示；表示；v由于由于计算机的表达范算机的表达范围有限，通常有限，通常对实数只能近似表数只能近似表示，往往通示，往往通过截断或舍入来取得接近截断或舍入来取得接近实数的近似数的近似值2929认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v例例6 具有十具有十进制、制、3位字位字长、-L=U=5的的2台台计算机，一算

24、机，一台台为截断机，一台截断机，一台为舍入机，其舍入机，其规格化浮点数格化浮点数为：实数实数截断机浮点数截断机浮点数舍入机浮点数舍入机浮点数34560.3451040.346104-3.1419-0.314101-0.3141010.0084560.84510-20.84610-2321453溢出溢出3030认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目数据误差的影响数据误差的影响v对函数来函数来说，自，自变量

25、的量的误差必然引起函数差必然引起函数值的的误差，差，函数越复函数越复杂，这种数据种数据误差的影响也随之复差的影响也随之复杂，通常，通常用用泰勒泰勒级数数展开的方法来估展开的方法来估计。对二元函数3131认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v对函数函数 y=f(x1,x2),设x1，x2是近似是近似值，x1*,x2*是准确是准确值，函数准确函数准确值为：y*=f(x1*,x2*)，于是，函数，于是，函数

26、y的的绝对误差差为：ve(y)=y*-y=f(x1*,x2*)-f(x1,x2)v将将f(x1*,x2*)在（在（x1,x2）处作泰勒展开，并取一作泰勒展开，并取一阶泰勒泰勒多多项式，得式，得e(y)的近似表达式的近似表达式为：3232认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目函数的相对误差3333认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了

27、贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目几个常用的计算函数和、差、积、商的公式几个常用的计算函数和、差、积、商的公式ve(x1+x2)e(x1)+e(x2)ve(x1-x2)e(x1)-e(x2)ve(x1 x2)x2e(x1)+x1e(x2)ve(x1/x2)e(x1)/x2-x1e(x2)/x22ver(x1+x2)er(x1)x1/(x1+x2)+er(x2)x2/(x1+x2)ver(x1-x2)er(x1)x1/(x1-x2)-er(x2)x2/(x1-x2)ver(x1 x2)er(x1)+er(x2

28、)ver(x1/x2)er(x1)-er(x2)3434认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目v例例5 已已测得某物体行程得某物体行程s*的近似的近似值s=800m，所需，所需时间t*的近似的近似值t=35s。若已知。若已知|t*-t|0.5s，试求平均速度求平均速度v的的绝对误差限和相差限和相对误差限。差限。解：公式 v=s/t的误差估计式为：绝对误差 e(v)=e(s/t)e(s)/t se(t)/

29、t2 相对误差 er(v)=er(s/t)er(s)er(t)3535认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目|e(v)|e(s)/t se(t)/t2|e(s)/t|+|se(t)/s2|0.5/35+800*0.05/3520.0469 0.05|er(v)|e(s)er(t)|er(s)|+|er(t)|0.5/800+0.05/350.002053636认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下

30、药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目5 5 误差危害的防止误差危害的防止v例例7 建立建立积分分 n=0,1,2,20v的的递推关系式，并研究它的推关系式，并研究它的误差差传递判据：若第n+1步的误差en+1与第n步的误差en满足则称此计算公式是绝对稳定的，否则称为不是绝对稳定的l 使用数值稳定的计算公式3737认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才

31、能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目l尽量避免两相近数相减尽量避免两相近数相减v由由v可知，有两个相近的数相减可知，有两个相近的数相减时，可能会，可能会导致致较大大的的误差出差出现。3838认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目l尽量避免用尽量避免用绝对值很大的数做乘数很大的数做乘数v由由v可知，若可知，若x1或或x2很大很大时，可能，可能导

32、致致|e(x1x2)|很大很大l防止大数吃掉小数防止大数吃掉小数v在数在数值运算运算时，若参加运算的数数量，若参加运算的数数量级相差很大，而相差很大，而计算机位数有限，又要作算机位数有限，又要作对阶处理，如果不注意运算次序，理，如果不注意运算次序，就可能就可能导致小数被当作机器零致小数被当作机器零处理，影响理，影响结果可靠性果可靠性l注意注意简化步化步骤，减少运算次数，减少运算次数3939认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫精准扶贫”项目项目作业作业vP15v1.3，1.44040