构造法在中学数学解题中的应用(定稿).doc

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1、构造法在中学数学解题中的应用摘要 本文研究了构造法在中学数学解题中的应用,并且为学生学习构造法提供建议.在中学的学习过程中,由于数学题目逐渐趋于复杂化,学生们在使用传统方法时,解题的难度变得越来越大,甚至无法得到答案.在解决很多中学数学问题时,经常会遇到使用传统方法无从下手的问题,这时采取构造性思想方法从新的方向出发,改变想法构造新的数学模型就可以迅速地揭开问题的谜底.可以见得,若是学生们能够熟练的使用该种方法,可以使自己在解题的过程中事半功倍.可是理想和现实还是天差地别的.现实中,学生们无法熟练的掌握构造方法,找不到合适的构造对象,没有足够的意识到构造法在中高考试题中的重要性.所以针对这种情

2、形,本文分别从构造函数构造方程构造数列构造几何图形(重点是数形结合)构造对偶式几个方面,论述了构造法在中学数学解题中的应用.关键词 构造法 解题 中学The application of construction method in solving math problems in middle schoolAbstract This thesis researches the application of construction method in figuring out problems in middle school. It still gives advice for stude

3、nts to study construction methods. Throughout the middle school semester .As the mathematical problem became more and more difficult .The students cant get an answer when students use traditional methods. At this time, the structural thinking method is adopted to start from a new direction, change t

4、he idea and construct a new mathematical model, which can quickly uncover the mystery. It often happens that you cant get the answer by the method you learned in the book. At this time, the problem can be solved quickly by constructing a new mathematical object from a new Angle by using constructive

5、 thinking method. It can be seen that if students can expertly use this way. Can make oneself in the process that solves a problem twice the result with half the effort. But there is still big difference between the ideal and the reality. In reality, students are unable to master the construction me

6、thods and find suitable construction objects. There was not enough consciousness of the importance of construction in The College Entrance Examination. So when we face with this situation. This paper discusses the application of constructional method in solving math problems in middle school from th

7、e aspects of constructional function, constructional equation, constructional sequence, constructional geometry (Its mostly a combination of Numbers and shapes) and Construct the dual.Key Words construction method the problem solving middle school目 录引言11概述11.1研究背景11.2研究现状21.3研究意义21.4研究内容和方法22理论基础42.

8、1构造法的步骤和优点42.2波利亚解题表和构造法的紧密联系42.3关于构造法题型的分类52.3.1构造方程52.3.2构造函数72.3.3构造数列92.3.4构造图形(数形结合)112.2.5构造对偶式143建议和结论163.1教学建议163.1.1对学生们的建议163.1.2对老师的建议163.2误区和总结17参考文献:18ERROR! REFERENCE SOURCE NOT FOUND.:19第18页引 言构造法是指我们在解决问题时,使用常规的方法无法解决,或使用传统方法直接求解的话步骤较多、过程繁琐、容易出错,只能采取将问题进行转化,构造出新的数学模型或者对象来对问题进行简化,从而提高

9、解决问题的正确率.1概述1.1研究背景 构造法是一种传统的数学方法,随着时代的进步,数学也成为时代的主流,它有着丰富的历史背景.并且我国作为传统的数学强国,构造法在我国古代数学著作中有着重要的地位.其实在九章算术孙子算经张丘建算经这些中国古代数学著作里的约分数算法,开方数算法,方程数算法物不知数算法百鸡书算法等的推算过程中都渗透着数学构造性思想方法1p106107.可以说数学构造性思想方法大步地推动了中国数学的进步.并且构造法在世界历史发展的过程中同样至关重要.对于新世纪的我们传承和创新是必不可少的,而且数学历史上许多有名的定理都和构造法都有着一定的关系.因此对于本世纪的我们需要合理地创新思维

10、,创新方法,只有这样才能学习数学的道路上稳步前进. 在西方数学史的发展历程里面,构造法的历史进程大致的可以分为三个阶段:较为早期的直觉数学阶段渐渐完备的算法数学阶段仍在高速发展的现代构造数学阶段.起初的直觉派是以德国的数学家克隆尼克提出,他的主张在于能行性,并且认为没有能行性就不得承认它的存在性.其次是算法数学,他们认为数学的全部概念都能用一个基本概念来概括即算法的构造性方法,但由于缺乏具体的数学实践,使得它很快进入冬眠时代,逐渐退出历史的大舞台.最后是现代的构造数学,在1967年,美国的数学家比肖泊的构造法分析一书更是将构造法推进一个崭新的时代也是一个令人憧憬的时代.并且构造法对于理论数学提

11、供了重大的帮助,解决了很多数学难题,并且在接下来的发展过程中有望成为一门新的领域. 根据中西方数学发展的过程,构造法在数学的发展过程中起着举足轻重的作用.1.2研究现状在我自己翻阅的资料来看,对于研究构造法的论文和期刊有如下几种类型.一种是构造法和数学解题结合在一起主要是中学一些较为复杂的题目.主要致力解决一些中学中的那些有技巧却又很难的题目.比如张大林熊梅赵庆尊的构造法在中学数学题解中的部分应用2p111115严俊的构造函数在高中数学解题中的应用3p63刘浩州的再探“构造法”在解题中的运用4p5860彭丽华的初中数学中构造思想方法的应用研究5p6162、仓琳的构造法解高中数学题的时间与思考6

12、p45邵羽茜的构造性思想方法在高考数学解题中的应用研究7 p11.还有一种是对方法的总结比如周学良的例谈构造辅助函数思想在解题中的应用8p134135冯熙源的构造法在高中数学中的应用9p95 孙影的构造思想与三角函数10p117123 ,本文根据这些文献进行研究和总结,专门研究了构造法在中学数学解题中的应用.1.3研究意义根据普通高中课程方案和标准(2017版)里面提到了对于高中的教学应该尽可能的让学生学会如何对问题进行合理的分析,从而解决问题,以授人以才的方式进行教学,使得学生能够掌握学习方法,从而解决问题.中学的知识面积广阔,内容复杂多变,这就要求老师们采取符合科学的方式来加强学生解决问题

13、的能力.构造法就属于这一特色的方法之一.作为重要的一种数学方法,各式各样的构造对象令人脑洞大开,不仅仅丰富了数学知识也锻炼了学生们的数学思维,古话有云百川东到海,同样都是到达大海为何不采用捷径.并且对于中学生而言考试每多出一分钟就可以取得更好的成绩,因此合适的方法对于中学生而言是非常重要的,并且构造法在数学解题方面有着关键的作用,随着中高考题目的逐渐复杂化.学生们想要获得好的数学成绩就变成了一个难题.并且我在查阅我国相关文献的时候,可以发现研究中学主流题目类型的文章相对较少,因此本文对中学一些和构造法有关的题型题目进行分析总结.使得构造法变得不再晦涩难懂,使得学生能够更好的接受并使用,并且培养

14、创新意识创新精神也是当代学生的必经之路.希望帮助大家理解构造的思想方法并且为广大中学生提供一个合理的参考意见.1.4研究内容和方法本文研究参考了许多有关构造法的相关文献,再和导师进行沟通交流,结合自己已有的知识经验,和对中学试卷的分析.理解了构造法最新的现状.(1)文献分析法本文的理论支撑就是有关构造法及其用的相关文献包括教科书中高考试卷新课改的相关内容和一些优秀的中学期刊.论文应用了文献分析法,可以保证文章的准确性,使得文章的结论更加深入人心.(2)整理归纳法整理归纳法:本文在对构造法进行理论的分析和研究的同时,参考了最近几年的中高考试卷,并且采用一定的方式方法对题目进行合理地分析.并且搜集

15、好关于构造法的相关资料进行分类整理,并进行合理地概括.2理论基础2.1构造法的步骤和优点在中学里,很多较难的数学题目用常规的方法无法的到答案,并且由于思维定势的原因,好多同学对于题目无从下手.但是有些复杂的题目经过简单的分析变形就可以快速的解决出来.这里便是采用了构造性的思想.构造法的一般步骤1.首先,仔细观察题目,看清楚题目的要求和需要证明的结果是什么.2.然后,根据所学的知识将条件进行整合,从而构造出基本的形式和对象.3.在对构造出来的对象进行重新的分析.4.最后,作出正确的解答.构造法的优点1.化繁为简,优化解题步骤,节约时间,增加解题的正确率.2.快速找到隐含条件,使得题目清晰化,简单

16、明了.3.转化数学知识,最好的理解比如数形结合,例如将方程类的题目转化为几何的图形可以快速解决问题.锻炼和培养转化的能力.2.2波利亚解题表和构造法的紧密联系美国数学家及教育学家波利亚在怎样解题一书中给出了著名的“波利亚解题表”11p2627.对此根据本文的实际情况和本人对此表的研究和理解,分别从弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思这四个方面进行编排.如表格1所示.表格 1 波利亚解题表步骤过程方法弄清问题明白自己的问题1未知数是什么2画张图，引入适当的符号3分解条件的各个部分拟定计划寻找已知和未知之间的关系1是否可以转化自己熟悉的问题2能否解决一些问题3是否利用了全部的条件实施计划写出自己

17、的想法1写出自己的想法和原因回顾反思验证得到的答案1能否验证这个答案2可以用其他的方法验证答案吗3能否将这样的方法运用到其他问题上从波利亚的如何解题的方法过程来看,和构造性的思想有着异曲同工之处 ,这也间接地说明了构造法在解题方面的可行之处.2.3关于构造法题型的分类2.3.1构造方程通过题目把已知的条件和结论构造出新的方程,新的方程使得问题变得简化,尤其是学过的一些关键定理公式(比如勾股定理,平方差公式,立方差公式)作为构造的基准.但是在求解的过程中要注意未知量的范围(通常是分母不为0),从而使得问题得到解决.例1 ,求 分析:本题不管是换元还是构造一个新的方程都是一种简单的构造思想换元:令

18、则所以构造方程: 所以例2求函数的取值范围.分析:通常情况下,大家可能会选择使用求导的方式进行解决,但是求导的过程中计算相对复杂,同时还要考虑一些特殊的情况(比如分母不能为0).如果我们采用构造一个新的方程,问题就变得更加简单也不用考虑一些特殊情况.解 (求导方法即常规方式),由于,由于是分母,所以,所以当,即在上单调递增,当,即在时单调递减,所以当时,取得最大值即.但是,并且的值在时小于时候的值,因此取值范围.和构造法比较相对较复杂,答案不简单明了,并且还要考虑一些特殊的值.解 (构造法)由,令则所以有又因为并且在是单调递增在时单调递减,所以当取得最大值.所以取值范围是.例3 解方程分析:首

19、先观察一下本题的数字较大,首先进行化简得到 ,在如何去除根号,这种题目计算较大并且初中的孩子很讨厌这样的计算.我们对根号里面的数字进行观察,便会发现,于是采用利用平方差公式就可以迎刃而解.解:通过分析我们可以得到,于是通过简单的联立方程和检验我们得到答案是或是原方程的解说明:求值域和取值范围的问题在中高考中很常见,一般出现在中考的大题目中和高考的填空题中.这类题目关键在于转化方程,其次弄清楚定义域保证范围不缺失.对于中高考的学生,要在做题时注意关键点,在平常做题时候要严谨,做好那些容易忽略的知识点和笔记.2.3.2构造函数在中学中函数一直处于较高的地位,并且题目复杂多变,难度也是较高,往往以压

20、轴的形式在最后的大题目中出现.通过对一些中高考试卷的研究,使用构造法可以轻松的解决一些难度较高的题目尤其是在取值范围一类的题目有着较好的效果.首先我们总结了一些关于构造函数的一些常见的公式.如表格2所示.表格 2 常见公式总结已知函数构造函数例1.(),求的取值范围.分析:如果是变成的形式,可能更多的学生可以将其解答出来.解 ,令,则有并且根据基本不等式可以得到在上单调递减在单调递增,所以的最小值是并且,所以最大值.综上所诉,的取值范围是例 2.若函数在R上单调递增,则的取值范围是多少.分析:首先我们将该题目进行求导,于是题目转化为,本题目的关键在于构造在于和之间的关系即,从而将转化成一个易于

21、计算的函数形式.解 已知,则由于上要求单调递增,所以并且,令所以由于并且当时所以只要和大于0即可,所以有和综上所述例3.已知数列各项均为正数,是数列的前项的和,对任意的,都有,数列各项都是正整数,且数列是等比数列.(宿迁市直学校2019届高三第一学期期末考试)(1)证明数列是等差数列(2)求数列的通项公式(3)求满足的最小正整数分析:第一第二问作为基础题我们可以很快的解答出来即 首先推出的通项公式,在研究的单调性从而得到答案,在构造出一个新的函数关系,在根据作商在等到改等差数列前后项的关系,从而找到要求的最值.解 令则令1,则.则令,则,所以该函数在时单调递增在时单调递减所以并且,所以当时=所

22、以最小正整数为说明:对于函数问题,关键在于自己的转化和对平常一些关键知识的变形,这样才能由繁变简.对于即将面临升学压力的中学生们,对待数学问题的时候也需要一些死记硬背,一些知识点也需要和文科一样记得牢固,这样才能举一隅反三隅,将前后知识豁然贯通.才能在之后的测试甚至是中高考中百战百胜.2.3.3构造数列纵观历来的数学题目,尤其是中高考中的数列问题,不仅仅是简单的填空题,还有一些关键的压轴题,它们总会频频出现.简单的可以使用基础的方法进行解决,但是往往这类的数列题目总是会在压轴题中出现,这就需要技巧和方法来解决了,通常运用构造法进行适当的变形进行间接的求解.解题技巧:通常将已知的数列转化成等差和

23、等比问题,关键在于前后2项关系建立.1.通过配凑消项来获得递推公式.如(其中位常数).转化成;最常见也是考试中最常考的是通过消项转化为2项之间的关系,2.通过对数的转换来获得递推公式.通常取对数得到.并且做题时候关键的两个数是和.3.通过换元的转变来获得递推公式.(是不为0的常数)变成了.例1.已知等差数列的公差是,前项的和是,且数列也是公差为的等差数列,则分析：本题是用等差数列最基本的公式进行构造,即.解 在等差数列中(是常数,是公差).设,则恒成立,故,并且.又因为,所以.例2.已知数列中,并且,求的通项公式.(2019常熟期末)分析:通过对问题简略的剖析我们可以通过解题技巧的第一种方法进

24、行解决.构造出全新的数列(一般情况下这个新的数列是一个等比或者等差数列).从而得到数列之间的关系,并且解决问题.解 由,我们可以等到,其中,所以,所以.所以,所以是以位首项,公比是的公等比数列.所以,所以的通项公式为例3 证明.分析:对于理科生而言,看到这样的具有规律的不等式,肯定会采用数学归纳法进行求解,并且使用数学归纳法也很容易解决,但是对于没有学过数学归纳法的文科生而言.可能就有些无从下手.对此我们观察这个不等式并且构造出合适的数列,问题就会变成证明数列大于零的问题.只需要找到数列的最小值并证明它是大于零的(通常情况下这个数列是单调递增或者单调递减的).解 令,则那么所以并且,所以恒成立

25、.所以成立说明:在解题的过程中,对于那些不是等差或者等比数列的问题时,首先要仔细的观察题目,通过已知的条件对结论进行构造,通过观察前后项之间的关系进行合理地推导和转变,从而得到隐含在题目中的等比或者等差数列.但是在构造的时候也不应忽略最基础的构造,有时候一些基本的概念通常会最容易被学生们忽略.还有在考试的过程中一定要注意首项这一关键点,要考虑自己在运算的过程中是否含有这一项,这一项是否符合题目的取值范围.通常情况下首项会是一个得分点,同时也是好多学生的易错点.并且在江苏高考中数列的分值大概在20分左右,所以能熟练掌握并合理使用数列的构造,必定会为你的考试保驾护航,因此构造数列对于中学生还是有很

26、大帮助的.2.3.4构造图形(数形结合)通过所给的关系,构造和题目条件相关的图形,从而快速方便的解决问题.通常情况下在中学中是圆与圆的相结合,圆与切线的相结合考察较多.例1:求的最大值. 分析:大家可能一拿到这样的题目,可能第一时间想到的是用求导来解决问题,但是这个题目在求导的过程中我们发现需要计算的量较多,而且这个题目也不是很难,会耽误大家较多的计算时间.我们完全可以把它想成半径为1的圆上的点到点(-2,0)的斜率.如图1所示.图1解 通过上述的分析可以得到该点和圆相切的时候斜率最大(忽略斜率为负数的时候).的最大值是例2:已知A(-1,0)B(1,0)若圆上存在点M满足求的取值范围(201

27、9年宿迁市直学校期末考试)分析:通过对于的计算我们可以得到他的轨迹是一个圆,从而就转化为2个圆相交的题目,如图2所示.如果用坐标的方法那么会有高强度的计算而且失误率很大并且这个题目仅仅是个填空题.图2解 已知则所以,则.例3:已知实数,满足方程. (1). 求的取值范围(高中).(过原点且圆上一点斜率的最值(初中) (2). 求的取值范围.(圆上一点到点的距离的最值(初中)分析:对于初中学生而言,老师在教学的过程中会告知其在相切的时候取的最大和最小值. 是点到圆上的点距离同时点到圆心的间隔在加上或者减去我们对应圆的半径,此时我们将取得最值或者取值范围(对应区间).对于高中生而言,就是斜率的最大

28、最小值,可以用和这两个函数进行方程之间的联立从而通过()求出取值范围.但是这样不免计算有点复杂,如果画出图形在进行观察就可以一目了然地得到我们想要的答案,如图3所示. 就是圆上的点到点的距离,如图4所示.图3解 的取值范围,可以构造成的斜率问题.在他们相切的时候对应取得最值.并且与下方相切是为最小值在上方相切时为最大值.所以的取值范围.图4解 原点到圆心的距离等于 ,并且半径的距离是,所以的取值范围是说明:构造图形的关键在于几何图形的构造,学生们在学习的过程中要关注一些几何图形和函数之间的关系,从而能够在图形中感受几何的含义,能过通过几何图形感知函数的意义,所以在日常的学习中,应该多积累函数含

29、义或者图形内涵,对我们在一次函数,三角函数,斜率,函数的单调性,函数的取值范围会有明显的作用,同时也会在你的考试成绩上大放异彩.因此学好图形的构造会对学生们的学习生涯更上一层楼.2.2.5构造对偶式对偶通常是根据已知到的条件进行构造,通常构造出来的条件和已知条件具有较高的相似度,比如加减符号的改变,在运用加减乘除的方法进行运算,从而将一个看不懂的方程式变得简单.例1 已知(其中是常数) ,求的值.分析:这个函数它并不是一个特殊的函数(不是奇函数也不是偶函数),并且是常数,所以这些可以认为是无关的量,因此在无法找到特别方法时,特殊值法也可以完成,但是这还是有运气的成分.于是我们考虑和是否存在相应

30、的对应关系.解 已知则,那么就能得到这样的关系 ,所以例2已知,求的最大值.分析:看到我们可以想到是否可以平方,再加上和和它平方很相似,此处采用完全平方构造.解 已知,构造,于是我们用,所以有因为,所以.说明:在高中的学习过程里,对偶式出现的相对较少,大多数出现在一些有规律的计算函数值的问题上,通常这些问题表现为次数很大,不是特殊的函数(既不是奇函数也不是偶函数),通常通过加减技能解决出来.其次是运用完全平方来构造对偶式,正常是(,是常数)这样情况.并且中高考一般是以填空选择的形式进行考察并且对偶式的熟练构造也能为我们在考试中争分夺秒,更进一步.3建议和结论3.1教学建议 当代社会对学生的学历

31、越来越重视,教育也在提倡学生们的全面发展和进步,同时教学也在不断的进行改革.因此,学生们也需要自己付出自己的努力,重视学习,不断提高自己的能力为中高考做准备.并且对于数学这门学科,学生的学习态度是必不可少的,老师的教导也因循序渐进,只有学生主动学习,老师在边上启发,引导,学生才能更好的学好数学弄懂构造法的解题技巧.在教学的过程中,师生的合理地配合也至关重要的,一环都不能缺失,这样才能一起进步,并且学生主动的学习意识也同样重要,构造法本身就在于转化创新思想,不受思维定势阻碍,让学生在解题中进行运用才是我们真正的终极想法.3.1.1对学生们的建议构造法在于合理地变通,只有让学生成为学习的主人才能够

32、引导学生积极的去学习,体验到学习的快乐之处,感受到创新的魅力所在,领悟改变而产生的便利.但是由于我国的学生大部分处于被动学习的阶段,他们认为学习是痛苦的.在新课改的领导下提出了让学生成为自己的主人,并且学生才是处于教育的主体地位,使得学生能够拥有主动学习的意识,主动地学习才能发现数学的真正含义,才能让数学问题变得更加简单,通过构造法的学习,我们让数学模型变得简单明了.但是学生们必须要认真审题找清楚条件和结论之间的关系,这样才能合理地进行构造,使得学习变成一种创新的过程,一种快乐而重要的过程.3.1.2对老师的建议首先老师需要稳固的专业知识,适当改变一下自己的教学习惯.著名的思想家韩昌黎在著作师

33、说中提到“师者,传道到授业解惑者也”.老师的言行和教导肯定在无时无刻影响着学生的发展,学生也会有意无意的去模仿老师的行为,尤其是初中生他们的心智尚未成熟.因此老师优良的学习习惯和丰富的教学知识是必不可少的.其次,老师应该督促学生养成构造性解题的习惯,并引导学生发现学习12p157158.应让学生发现问题,构造合适的对象和模型,只有在不断学习和构造中砥砺前行才能使得学生的能力得到锻炼知识得到丰富,才能完善学生的学习系统加强学生的创新构造思维.最后老师应该对学生进行合理地总结和反思,首先学生应该不断的自我反思和改进,我认为举一反三亦为最佳效果,老师也应该在这个过程中对学生进行总结和改善.3.2误区

34、和总结首先所有东西都不是全能的,构造法亦是如此,不是所有的在中学中有难度的数学问题都可以用构造法来解决,也不是所有中学数学问题在使用构造后就能变得简单,我们对于构造法只是提供一个合理地建议,如果学生们强加构造与问题之上,必回弄巧成拙.任何事物都不是完美的,更何况,构造法本身是有局限性的,不能为了“构造法”而人为命制“构造题”，这样反而忽视了“数学构造法”的本质,不但解决不了问题,反而给学生增加了不少压力13p34.但是存在即合理,构造法的优点也是不可忽略的.在解题的过程中选择合适的方法,适合自己的途径才是最重要的,毕竟每个人眼里的哈姆雷特都是不一样的.参考文献1 郭书春.筭数书与算经十书比较研

35、究J.自然科学史研究,2004,(02):106107.2 张大林,熊梅,赵庆尊.构造法在中学数学题解中的部分应用J. 黔南民族师范学院学报,2019,39(4):111115.3 严俊.构造函数在高中数学解题中的应用J.成才之路,2015,(31):63.4 刘浩州.再探“构造法”在解题中的运用J.福建中学数学,2013(Z1):5860.5 彭丽华.初中数学中构造思想方法的应用研究J.中学数学,2019(20):6162.6 仓琳.构造法解高中数学题的时间与思考J.新课程导学,2015(14):45.7 邵羽茜. 构造性思想方法在高考数学解题中的应用研究D.河南大学硕士学位论文,2018:11.8 周学良.例谈构造辅助函数思想在解题中的应用J.科技资讯,2015(27):134135.9 冯熙源.构造法在高中数学中的应用J. 数学学习与研究,2018(24):95.10 孙影.构造思想与三角函数J.宿州教育学院学报,2006(05):117123.11 景海燕.从元认知看波利亚“怎样解题”表的价值J.上海中学数学,2010(09):2627.12 刘显奋. “构造法”在高中数学解题中的应用-以等差数列教学为例J.中等教育,2016(14):157158.13 田小艳.构造法在高中数学中的应用D.西北大学硕士学位论文,2018:34.