初中数学竞赛培训讲义-第六讲—等腰三角形的性质和判定9114.docx

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1、初中数学竞赛培训讲义第十讲 等腰三角形的性质研究一 竞赛知识简介（）等腰腰三角形形的性质质1. 有关关定理及及其推论论 定定理：等等腰三角角形有两两边相等等； 定定理：等等腰三角角形的两两个底角角相等（简简写成“等边对对等角”）。 推推论1：等腰腰三角形形顶角的的平分线线平分底底边并且且垂直于于底边，这这就是说说，等腰腰三角形形的顶角角平分线线、底边边上的中中线、底底边上的的高互相相重合。 推推论2：等边边三角形形的各角角都相等等，并且且每一个个角都等等于600。等腰腰三角形形是以底底边的垂垂直平分分线为对对称轴的的轴对称称图形； 2. 定理及及其推论论的作用用 等等腰三角角形的性性质定理理揭

2、示了了三角形形中边相相等与角角相等之之间的关关系，由由两边相相等推出出两角相相等，是是今后证证明两角角相等常常用的依依据之一一。等腰腰三角形形底边上上的中线线、底边边上的高高、顶角角的平分分线“三线合合一”的性质质是今后后证明两两条线段段相等，两两个角相相等以及及两条直直线互相相垂直的的重要依依据。（二）等腰腰三角形形的判定定 1. 有关的的定理及及其推论论 定定理：如如果一个个三角形形有两个个角相等等，那么么这两个个角所对对的边也也相等（简简写成“等角对对等边”。） 推推论1：三个个角都相相等的三三角形是是等边三三角形。 推推论2：有一一个角等等于600的等腰腰三角形形是等边边三角形形。 推

3、推论3：在直直角三角角形中，如如果一个个锐角等等于300，那么么它所对对的直角角边等于于斜边的的一半。 2. 定理及及其推论论的作用用。 等等腰三角角形的判判定定理理揭示了了三角形形中角与与边的转转化关系系，它是是证明线线段相等等的重要要定理，也也是把三三角形中中角的相相等关系系转化为为边的相相等关系系的重要要依据，是是本节的的重点。 3. 等腰三三角形中中常用的的辅助线线等腰三角形形顶角平平分线、底底边上的的高、底底边上的的中线常常常作为为解决有有关等腰腰三角形形问题的的辅助线线，由于于这条线线可以把把顶角和和底边折折半，所所以常通通过它来来证明线线段或角角的倍分分问题，在在等腰三三角形中中

4、，虽然然顶角的的平分线线、底边边上的高高、底边边上的中中线互相相重合，添添加辅助助线时，有有时作哪哪条线都都可以，有有时需要要作顶角角的平分分线，有有时则需需要作高高或中线线，这要要视具体体情况来来定。二 赛题题讲解1 利用“等边对对等角”性质求求角例1 如图，分别是的平分线，若，求的度数.拓展训练1、如图，在在中，,在在上取点点，在上取点点，使，若，求求的度数数.2、如图，是是直线，且且，求的值值.3、已知的的三角形形的边长长的长分分别为，且且，试判判定的形形状.4、在中，已已知，且且过某一一顶点的的直线可可将分成成两个等等腰三角角形，求求各内角角的度数数.5、四边形形中，,分别是是的中点点

5、，交于,求证证：.2、等腰三三角形中中的全等等构造例2 在在中，是的平分分线，垂垂足是，已已知，求求证：.例3 如如图，在在四边形形中，,若若,求证：例4 如如图，在在中，,是上一点点，求证证：.拓展练习1、如图，在在中，,点点是的中点点，是的平分分线，,求的长长. 2、如图，中，于，,求证：3、如图，在在中，,是上一点点，,求的度度数.3、等边三三角形中中的几何何问题例5如图，中中，分别别以为边边向外作作等边三三角形，记记分别是是等边三三角形的的中心.(1)求证证：是等等边三角角形.(2) 若若，求的面面积.例6边长为为等边中，是边边上的点点，与交于点点.(1) 若若,的度数数.(2) ，求

6、求证：.拓展训练1、一个六六边形的的六个内内角均为为，连续续四边的的长依次次是，求求该六边边形的周周长和面面积.2、是等边边内一点点,，求求的长.3、如图，菱菱形中，,是边上的的点，若若中有一一个内角角是，求求证：是是等边三三角形.4、构造等等边三角角形解题题例7 如如图，中中，,为内一点点，使得得，求的度度数.拓展练习1、中，,为内一点点，且求的度数.2、如图，在在等腰中中，,在边边上取点点，使得得，求的度度数. 例例8 如图，在在中，.求证：.拓展练习1、如图，在在中，,是内一点点，且，求求证：.练习题1、在中，和分别是是这两个个角的外外角平分分线，且且点分别别在直线线和上，则则（ ）的大小关系系不能确确定.2、如图，已已知等腰腰中，分别别是上的点，且且，求的度度数.3、如图，在在中，,分别在上，并并且分别别是的角平分线线，求证证：.4、如图，中，,延长到，延长到，使，联接，若若，求证：是等等边三角角形.5、如图，中，,为内一点，使使得，求的度数.第 10 页 共 10 页