高中数学解题思维策略22378.docx

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1、高中数学解题思维与思想导 读数学家G . 波利亚在怎样解题中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思思维的变变通性 根据题设的的相关知知识，提提出灵活活设想和和解题方方案二、数学思思维的反反思性 提出独特见见解，检检查思维维过程，不不盲从、不不轻信。三、数学思思维的严严密性 考察问题严严格、准准确，运运算和推推理精确确无误。四、数学思思维的开开拓性 对一个问题题从多方方面考虑虑、对一一个对象象从多种种角度观观察、对对一个题题目运用用多种不不同的解解法。什么”转变变，从而而培养他他们的思

2、思维能力力。思维与思思想的的即时性性、针对对性、实实用性，已已在教学学实践中中得到了了全面验验证。一、高中数数学解题题思维策策略第一讲 数学学思维的的变通性性一、概念数学问题千千变万化化，要想想既快又又准的解解题，总总用一套套固定的的方案是是行不通通的，必必须具有有思维的的变通性性善于于根据题题设的相相关知识识，提出出灵活的的设想和和解题方方案。根根据数学学思维变变通性的的主要体体现，本本讲将着着重进行行以下几几个方面面的训练练： （1）善善于观察察 心理学告告诉我们们：感觉觉和知觉觉是认识识事物的的最初级级形式，而而观察则则是知觉觉的高级级状态，是是一种有有目的、有有计划、比比较持久久的知觉

3、觉。观察察是认识识事物最最基本的的途径，它它是了解解问题、发发现问题题和解决决问题的的前提。任何一道数数学题，都都包含一一定的数数学条件件和关系系。要想想解决它它，就必必须依据据题目的的具体特特征，对对题目进进行深入入的、细细致的、透透彻的观观察，然然后认真真思考，透透过表面面现象看看其本质质，这样样才能确确定解题题思路，找找到解题题方法。例如，求和和.这些分数相相加，通通分很困困难，但但每项都都是两相相邻自然然数的积积的倒数数，且，因因此，原原式等于于问题很很快就解解决了。（2）善于于联想 联想是问问题转化化的桥梁梁。稍具具难度的的问题和和基础知知识的联联系，都都是不明明显的、间间接的、复复

4、杂的。因因此，解解题的方方法怎样样、速度度如何，取取决于能能否由观观察到的的特征，灵灵活运用用有关知知识，做做出相应应的联想想，将问问题打开开缺口，不不断深入入。例如，解方方程组.这个方程指指明两个个数的和和为，这这两个数数的积为为。由此此联想到到韦达定定理，、是一元元二次方方程 的的两个根根，所以或.可可见，联联想可使使问题变变得简单单。（3）善于于将问题题进行转转化数学家G . 波波利亚在在怎样样解题中中说过：数学解解题是命命题的连连续变换换。可见见，解题题过程是是通过问问题的转转化才能能完成的的。转化化是解数数学题的的一种十十分重要要的思维维方法。那那么怎样样转化呢呢？概括括地讲，就就是

5、把复复杂问题题转化成成简单问问题，把把抽象问问题转化化成具体体问题，把把未知问问题转化化成已知知问题。在在解题时时，观察察具体特特征，联联想有关关问题之之后，就就要寻求求转化关关系。例如，已知知,求证、三三数中必必有两个个互为相相反数。恰当的转化化使问题题变得熟熟悉、简简单。要要证的结结论，可可以转化化为：思维变通性性的对立立面是思思维的保保守性，即即思维定定势。思思维定势势是指一一个人用用同一种种思维方方法解决决若干问问题以后后，往往往会用同同样的思思维方法法解决以以后的问问题。它它表现就就是记类类型、记记方法、套套公式，使使思维受受到限制制，它是是提高思思维变通通性的极极大的障障碍，必必须

6、加以以克服。综上所述，善善于观察察、善于于联想、善善于进行行问题转转化，是是数学思思维变通通性的具具体体现现。要想想提高思思维变通通性，必必须作相相应的思思维训练练。二、思维训训练实例例（1） 观察能力的的训练 虽然观察察看起来来是一种种表面现现象，但但它是认认识事物物内部规规律的基基础。所所以，必必须重视视观察能能力的训训练，使使学生不不但能用用常规方方法解题题，而且且能根据据题目的的具体特特征，采采用特殊殊方法来来解题。例1 已已知都是是实数，求求证思路分析 从题题目的外外表形式式观察到到，要证证的结论的右端端与平面面上两点点间的距距离公式式很相似似，而xyO图121左端可看作作是点到到原

7、点的的距离公公式。根根据其特特点，可采用下面面巧妙而而简捷的的证法，这这正是思思维变通通的体现现。证明 不不妨设如如图1211所示，则 在中，由由三角形形三边之之间的关关系知： 当且仅当当O在AAB上时时，等号号成立。 因此， 思维障障碍 很多学学生看到到这个不不等式证证明题，马马上想到到采用分分析法、综综合法等等，而此此题利用用这些方方法证明明很繁。学学生没能能从外表表形式上上观察到到它与平平面上两两点间距距离公式式相似的的原因，是是对这个个公式不不熟，进进一步讲讲是对基基础知识识的掌握握不牢固固。因此此，平时时应多注注意数学学公式、定定理的运运用练习习。例2 已知，试求求的最大大值。解 由

8、 得又当时，有最最大值，最最大值为为思路分析 要求求的最大大值，由由已知条条件很快快将变为为一元二二次函数数然后求求极值点点的值，联联系到，这这一条件件，既快快又准地地求出最最大值。上上述解法法观察到到了隐蔽蔽条件，体体现了思思维的变变通性。思维障碍 大部分分学生的的作法如如下：由 得 当时，取最最大值，最最大值为为这种解法由由于忽略略了这一一条件，致致使计算算结果出出现错误误。因此此，要注注意审题题，不仅仅能从表表面形式式上发现现特点，而而且还能能从已知知条件中中发现其其隐蔽条条件，既既要注意意主要的的已知条条件，又要注意次次要条件件，这样样，才能能正确地地解题，提提高思维维的变通通性。有些

9、问题的的观察要要从相应应的图像像着手。例3 已知二次函函数满足足关系，试比较与与的大小小。xyO2图122思路分析 由已已知条件件可知，在在与左右右等距离离的点的的函数值值相等，说说明该函函数的图图像关于于直线对对称，又又由已知条件知知它的开开口向上上，所以以，可根根据该函函数的大大致图像简捷地地解出此此题。解 （如如图1222）由，知是以直线线为对称称轴，开开口向上上的抛物物线它与距离越越近的点点，函数数值越小小。思维障碍 有些些同学对对比较与与的大小小，只想想到求出出它们的的值。而而此题函函数的表表达式不不确定无无法代值值，所以以无法比比较。出出现这种种情况的的原因，是是没有充充分挖掘掘已

10、知条条件的含含义，因因而思维维受到阻阻碍，做做题时要要全面看看问题，对对每一个个已知条条件都要要仔细推推敲，找找出它的的真正含含义，这这样才能能顺利解解题。提提高思维维的变通通性。（2） 联想能力的的训练例4 在中，若为为钝角，则则的值(A) 等等于1 (BB)小于于1 (CC) 大大于1 (D) 不能能确定思路分析 此题题是在中中确定三三角函数数的值。因因此，联联想到三三角函数数正切的的两角和和公式可可得下面面解法。解为钝角，.在中且故应选择（BB）思维障碍 有的的学生可可能觉得得此题条条件太少少，难以以下手，原原因是对对三角函函数的基基本公式式掌握得得不牢固固，不能能准确把把握公式式的特征

11、征，因而而不能很很快联想想到运用用基本公公式。例5 若思路分析 此题题一般是是通过因因式分解解来证。但但是，如如果注意意观察已已知条件件的特点点，不难难发现它它与一元元二次方方程的判判别式相相似。于于是，我我们联想想到借助助一元二二次方程程的知识识来证题题。证明 当当时，等等式 可看作是关关于的一一元二次次方程有有等根的的条件，在在进一步步观察这这个方程程，它的的两个相相等实根根是1 ，根据据韦达定定理就有有：即 若，由已知知条件易易得 即,显然也也有.例6 已知均为正正实数,满足关关系式,又为不不小于的的自然数数，求证证:思路分析 由条条件联想想到勾股股定理,可构成成直角三三角形的的三边，进

12、进一步联联想到三三角函数数的定义义可得如如下证法法。证明 设设所对的的角分别别为、则是直角角，为锐锐角，于于是且当时，有于是有即 从而就有 思维阻碍 由于于这是一一个关于于自然数数的命题题，一些些学生都都会想到到用数学学归纳法法来证明明，难以以进行数数与形的的联想，原原因是平平时不注注意代数数与几何何之间的的联系，单单纯学代代数，学学几何，因因而不能能将题目目条件的的数字或或式子特特征与直直观图形形联想起起来。（3） 问题转化的的训练我们所遇见见的数学学题大都都是生疏疏的、复复杂的。在在解题时时，不仅仅要先观观察具体体特征，联联想有关关知识，而而且要将将其转化化成我们们比较熟熟悉的，简简单的问

13、问题来解解。恰当当的转化化，往往往使问题题很快得得到解决决，所以以，进行行问题转转化的训训练是很很必要的的。 转化化成容易易解决的的明显题题目例11 已知求证证、中至少少有一个个等于11。思路分析 结论论没有用用数学式式子表示示，很难难直接证证明。首首先将结结论用数数学式子子表示，转转化成我我们熟悉悉的形式式。、中至少少有一个个为1，也也就是说说中至少少有一个个为零，这这样，问问题就容容易解决决了。证明于是 中至少有一一个为零零，即、中至少少有一个个为1。思维障碍 很多多学生只只在已知知条件上上下功夫夫，左变变右变，还还是不知知如何证证明三者者中至少少有一个个为1，其其原因是是不能把把要证的的

14、结论“翻译”成数学学式子，把把陌生问问题变为为熟悉问问题。因因此，多多练习这这种“翻译”，是提提高转化化能力的的一种有有效手段段。例12 直线的方程程为，其其中；椭椭圆的中中心为，焦焦点在轴轴上，长长半轴为为2，短短半轴为为1，它它的一个个顶点为为，问在什什么范围围内取值值时，椭椭圆上有有四个不不同的点点，它们们中的每每一点到到点的距距离等于于该点到到直线的的距离。思路分析从从题目的的要求及及解析几几何的知知识可知知，四个个不同的的点应在在抛物线线 （1）是，又从已已知条件件可得椭椭圆的方方程为 （22）因此，问题题转化为为当方程程组（11）、（22）有四四个不同同的实数数解时，求求的取值值范

15、围。将将（2）代代入（11）得： （3）确定的范围围，实际际上就是是求（33）有两两个不等等正根的的充要条条件，解解不等式式组：在的条件下下，得 本本题在解解题过程程中，不不断地把把问题化化归为标标准问题题：解方方程组和和不等式式组的问问题。 逆向向思维的的训练逆向思维不不是按习习惯思维维方向进进行思考考，而是是从其反反方向进进行思考考的一种种思维方方式。当当问题的的正面考考虑有阻阻碍时，应应考虑问问题的反反面，从从反面入入手，使使问题得得到解决决。例13 已知函函数，求求证、中至少少有一个个不小于于1.思路分析 反证证法被誉誉为“数学家家最精良良的武器器之一”，它也也是中学学数学常常用的解解

16、题方法法。当要要证结论论中有“至少”等字样样，或以以否定形形式给出出时，一一般可考考虑采用用反证法法。证明 （反反证法）假假设原命命题不成成立，即即、都小于于1。则得 ，与矛盾，所所以假设设不成立立，即、中至少少有一个个不小于于1。 一题题多解训训练 由由于每个个学生在在观察时时抓住问问题的特特点不同同、运用用的知识识不同，因因而，同同一问题题可能得得到几种种不同的的解法，这这就是“一题多多解”。通过过一题多多解训练练，可使使学生认认真观察察、多方方联想、恰恰当转化化，提高高数学思思维的变变通性。例14 已知复复数的模模为2，求求的最大大值。解法一（代代数法）设设解法二（三三角法）设设yxOi

17、-2i图123Z则 解法三（几几何法）如图1223 所示，可可知当时时，解法四（运运用模的的性质）而当时，解法五（运运用模的的性质）又第二讲 数学思思维的反反思性一、概述数学思维的的反思性性表现在在思维活活动中善善于提出出独立见见解，精精细地检检查思维维过程，不不盲从、不不轻信。在在解决问问题时能能不断地地验证所所拟定的的假设，获获得独特特的解决决问题的的方法，它它和创造造性思维维存在着着高度相相关。本本讲重点点加强学学生思维维的严密密性的训训练，培培养他们们的创造造性思维维。二、思维训训练实例例(1) 检查思思路是否否正确，注注意发现现其中的的错误。 例1 已知知，若求的范围围。错误解法 由

18、条条件得2得 2得 +得 错误分析 采用用这种解解法，忽忽视了这这样一个个事实：作为满满足条件件的函数数，其值值是同时时受制约约的。当当取最大大（小）值值时，不不一定取取最大（小小）值，因因而整个个解题思思路是错错误的。正确解法 由题题意有解得：把和的范围围代入得得 在本题中能能够检查查出解题题思路错错误，并并给出正正确解法法，就体体现了思思维具有有反思性性。只有有牢固地地掌握基基础知识识，才能能反思性性地看问问题。例2 证明勾股定定理：已已知在中中，求求证错误证法 在中中，而，即错误分析 在现现行的中中学体系系中，这这个公式式本身是是从勾股股定理推推出来的的。这种种利用所所要证明明的结论论，

19、作为为推理的的前提条条件，叫叫循环论论证。循循环论证证的错误误是在不不知不觉觉中产生生的，而而且不易易发觉。因因此，在在学习中中对所学学的每个个公式、法法则、定定理，既既要熟悉悉它们的的内容，又又要熟悉悉它们的的证明方方法和所所依据的的论据。这这样才能能避免循循环论证证的错误误。发现现本题犯犯了循环环论证的的错误，正正是思维维具有反反思性的的体现。(2) 验算的的训练验算是解题题后对结结果进行行检验的的过程。通通过验算算，可以以检查解解题过程程的正确确性，增增强思维维的反思思性。例3 已知数列的的前项和和，求错误解法 错误分析 显然然，当时时，错错误原因因，没有有注意公公式成立立的条件件是因此

20、此在运用用时，必必须检验验时的情情形。即即：例4 实数为何值值时，圆圆与抛物物线有两两个公共共点。错误解法 将圆圆与抛物物线 联联立，消消去，得 因为有两个个公共点点，所以以方程有两个个相等正正根，得得解之，得错误分析 （如如图2211；2222）显然然，当时时，圆与与抛物线线有两个个公共点点。xyO图222xyO图221要使圆与抛抛物线有有两个交交点的充充要条件件是方程程有一正正根、一一负根；或有两两个相等等正根。当方程有有一正根根、一负负根时，得得解之，得得因此，当或或时，圆圆与抛物物线有两两个公共共点。思考题：实实数为何何值时，圆圆与抛物物线，（1） 有一个公共共点；（2） 有三个公共共

21、点；（3） 有四个公共共点；（4） 没有公共点点。养成验算的的习惯，可可以有效效地增强强思维反反思性。如如：在解解无理方方程、无无理不等等式；对对数方程程、对数数不等式式时，由由于变形形后方程程或不等等式两端端代数式式的定义义域可能能会发生生变化，这这样就有有可能产产生增根根或失根根，因此此必须进进行检验验，舍弃弃增根，找找回失根根。(3) 独立思思考，敢敢于发表表不同见见解受思维定势势或别人人提示的的影响，解解题时盲盲目附和和，不能能提出自自己的看看法，这这不利于于增强思思维的反反思性。因因此，在在解决问问题时，应应积极地地独立思思考，敢敢于对题题目解法法发表自自己的见见解，这这样才能能增强

22、思思维的反反思性，从从而培养养创造性性思维。例5 30支足球球队进行行淘汰赛赛，决出出一个冠冠军，问问需要安安排多少少场比赛赛？解 因为为每场要要淘汰11个队，330个队队要淘汰汰29个个队才能能决出一一个冠军军。因此此应安排排29场场比赛。思路分析 传统统的思维维方法是是：300支队比比赛，每每次出两两支队，应应有1557422129场场比赛。而而上面这这个解法法没有盲盲目附和和，考虑虑到每场场比赛淘淘汰1个个队，要要淘汰229支队队，那么么必有229场比比赛。例6 解方程考察方程两两端相应应的函数数，它们们的图象象无交点点。所以此方程程无解。例7 设设是方程程的两个个实根，则则的最小小值是

23、（ ）思路分析 本例例只有一一个答案案正确，设设了3个个陷阱，很很容易上上当。利用一元二二次方程程根与系系数的关关系易得得：有的学生一一看到，常常受选择择答案（AA）的诱诱惑，盲盲从附和和。这正正是思维维缺乏反反思性的的体现。如如果能以以反思性性的态度度考察各各个选择择答案的的来源和和它们之之间的区区别，就就能从中中选出正正确答案案。原方程有两两个实根根，当时，的最最小值是是8；当当时，的最最小值是是18；这时就可以以作出正正确选择择，只有有（B）正正确。第三讲 数学学思维的的严密性性二、概述在中学数学学中，思思维的严严密性表表现为思思维过程程服从于于严格的的逻辑规规则，考考察问题题时严格格、

24、准确确，进行行运算和和推理时时精确无无误。数数学是一一门具有有高度抽抽象性和和精密逻逻辑性的的科学，论论证的严严密性是是数学的的根本特特点之一一。但是是，由于于认知水水平和心心里特征征等因素素的影响响，中学学生的思思维过程程常常出出现不严严密现象象，主要要表现在在以下几几个方面面：概念模糊 概念念是数学学理论体体系中十十分重要要的组成成部分。它它是构成成判断、推推理的要要素。因因此必须须弄清概概念，搞搞清概念念的内涵涵和外延延，为判判断和推推理奠定定基础。概概念不清清就容易易陷入思思维混乱乱，产生生错误。判断错误 判断断是对思思维对象象的性质质、关系系、状态态、存在在等情况况有所断断定的一一种

25、思维维形式。数数学中的的判断通通常称为为命题。在在数学中中，如果果概念不不清，很很容易导导致判断断错误。例例如，“函数是一一个减函函数”就是一一个错误误判断。推理错误 推推理是运运用已知知判断推推导出新新的判断断的思维维形式。它它是判断断和判断断的联合合。任何何一个论论证都是是由推理理来实现现的，推推理出错错，说明明思维不不严密。例如，解不不等式解 或 这个个推理是是错误的的。在由由推导时，没没有讨论论的正、负负，理由由不充分分，所以以出错。二、思维训训练实例例思维的严密密性是学学好数学学的关键键之一。训训练的有有效途径径之一是是查错。(1) 有关概概念的训训练概念是抽象象思维的的基础，数数学

26、推理理离不开开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”中学数学教学大纲（试行草案）例1、 不等式 错误解法错误分析 当时，真真数且在所求求的范围围内（因因 ），说说明解法法错误。原原因是没没有弄清清对数定定义。此此题忽视视了“对数的的真数大大于零”这一条条件造成成解法错错误，表表现出思思维的不不严密性性。正确解法 例2、 求过点的直直线，使使它与抛抛物线仅仅有一个个交点。错误解法 设所所求的过过点的直直线为，则则它与抛抛物线的的交点为为，消去得：整理得 直线与与抛物线线仅有一一个交点点，解得所求直直线为错误分析 此处处解法共共有三处处错误：第一，设所所求直线线为时，没没有考虑虑与斜

27、率率不存在在的情形形，实际际上就是是承认了了该直线线的斜率率是存在在的，且且不为零零，这是是不严密密的。第二，题中中要求直直线与抛抛物线只只有一个个交点，它它包含相相交和相相切两种种情况，而而上述解解法没有有考虑相相切的情情况，只只考虑相相交的情情况。原原因是对对于直线线与抛物物线“相切”和“只有一一个交点点”的关系系理解不不透。第三，将直直线方程程与抛物物线方程程联立后后得一个个一元二二次方程程，要考考虑它的的判别式式，所以以它的二二次项系系数不能能为零，即即而上述述解法没没作考虑虑，表现现出思维维不严密密。正确解法 当所所求直线线斜率不不存在时时，即直直线垂直直轴，因因为过点点，所以以即轴

28、，它它正好与与抛物线线相切。当所求直线线斜率为为零时，直直线为平平行轴，它它正好与与抛物线线只有一一个交点点。设所求的过过点的直直线为则则，令解得所所求直线线为综上，满足足条件的的直线为为：(2) 判断的训训练造成判断错错误的原原因很多多，我们们在学习习中，应应重视如如下几个个方面。注意定理理、公式式成立的的条件数学上的定定理和公公式都是是在一定定条件下下成立的的。如果果忽视了了成立的的条件，解解题中难难免出现现错误。例3、 实数，使方方程至少少有一个个实根。错误解法 方程程至少有有一个实实根，或错误分析 实数数集合是是复数集集合的真真子集，所所以在实实数范围围内成立立的公式式、定理理，在复复

29、数范围围内不一一定成立立，必须须经过严严格推广广后方可可使用。一一元二次次方程根根的判别别式是对对实系数数一元二二次方程程而言的的，而此此题目盲盲目地把把它推广广到复系系数一元元二次方方程中，造造成解法法错误。正确解法 设是方程程的实数数根，则则由于都是实实数，解得 例4 已知知双曲线线的右准准线为，右右焦点,离心率率,求双双曲线方方程。错解1故所求的双双曲线方方程为错解2 由焦点点知故所求的双双曲线方方程为错解分析 这两两个解法法都是误误认为双双曲线的的中心在在原点，而而题中并并没有告告诉中心心在原点点这个条条件。由由于判断断错误，而而造成解解法错误误。随意意增加、遗遗漏题设设条件，都都会产

30、生生错误解解法。正解1 设为双双曲线上上任意一一点，因因为双曲曲线的右右准线为为，右焦焦点，离离心率，由由双曲线线的定义义知整理得 正解2 依题意意，设双双曲线的的中心为为则 解得 所以 故所求双曲曲线方程程为 注意充分分条件、必必要条件件和充分分必要条条件在解解题中的的运用我们知道：如果成立，那那么成立立，即，则则称是的充分分条件。如果成立，那那么成立立，即，则则称是的必要要条件。如果，则称称是的充分分必要条条件。充分条件和和必要条条件中我我们的学学习中经经常遇到到。像讨讨论方程程组的解解，求满满足条件件的点的的轨迹等等等。但但充分条条件和必必要条件件中解题题中的作作用不同同，稍用用疏忽，就

31、就会出错错。例5解不等等式错误解法 要使使原不等等式成立立，只需需 解解得错误分析 不等等式成立立的充分分必要条条件是：或 原不等式的的解法只只考虑了了一种情情况，而而忽视了了另一种种情况，所所考虑的的情况只只是原不不等式成成立的充充分条件件，而不不是充分分必要条条件，其其错误解解法的实实质，是是把充分分条件当当成了充充分必要要条件。正确解法 要使使原不等等式成立立，则PC(3,0)yxO图321 MN或，或原不等式的的解集为为 例6（轨迹迹问题）求求与轴相相切于右右侧，并并与也相切的的圆的圆圆心的轨迹方程程。错误解法 如图图3221所所示，已知C的的方程为为设点为所求求轨迹上上任意一一点，并

32、并且P与轴相相切于MM点，与C相切切于N点点。根据据已知条条件得，即化简得 错误分析 本题题只考虑虑了所求求轨迹的的纯粹性性（即所所求的轨轨迹上的的点都满满足条件件），而而没有考考虑所求求轨迹的的完备性性（即满满足条件件的点都都在所求求的轨迹迹上）。事事实上，符符合题目目条件的的点的坐坐标并不不都满足足所求的的方程。从从动圆与与已知圆圆内切，可可以发现现以轴正正半轴上上任一点点为圆心心，此点点到原点点的距离离为半径径（不等等于3）的的圆也符符合条件件，所以以也是所所求的方方程。即即动圆圆圆心的轨轨迹方程程是。因此，在在求轨迹迹时，一一定要完完整的、细细致地、周周密地分分析问题题，这样样，才能能

33、保证所所求轨迹迹的纯粹粹性和完完备性。防止以偏偏概全的的错误以偏概全是是指思考考不全面面，遗漏漏特殊情情况，致致使解答答不完全全，不能能给出问问题的全全部答案案，从而而表现出出思维的的不严密密性。例7 设设等比数数列的全全项和为为.若，求求数列的的公比.错误解法错误分析 在错错解中，由由时，应有在在等比数数列中，是显然的，但公比完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若，则则有但，即得与与题设矛矛盾，故故.又依题意 可得 即因为，所以以所以所以 说明 此此题为119966年全国国高考文文史类数数学试题题第（221）题题，不少少考生的的解法同同

34、错误解解法，根根据评分分标准而而痛失22分。避免直观观代替论论证我们知道直直观图形形常常为为我们解解题带来来方便。但但是，如如果完全全以图形形的直观观联系为为依据来来进行推推理，这这就会使使思维出出现不严严密现象象。O图322例8 （如如图3222），具具有公共共轴的两两个直角角坐标平平面和所成的的二面角角等于.已已知内的的曲线的的方程是是，求曲曲线在内的射射影的曲曲线方程程。错误解法 依题题意，可可知曲线线是抛物物线，在内的焦点点坐标是是因为二面角角等于，且所以设焦点在内内的射影影是，那那么，位位于轴上上，从而所以所以点点是所求求射影的的焦点。依依题意，射射影是一一条抛物物线，开开口向右右，

35、顶点点在原点点。所以曲线在在内的射射影的曲曲线方程程是错误分析 上述述解答错错误的主主要原因因是，凭凭直观误误认为。正确解法 在内内，设点点是曲线线上任意意一点O图323MNH（如图3233）过点点作，垂足足为，过作轴，垂垂足为连连接，则轴。所以以是二面面角的平面角，依依题意，.在又知轴（或或与重合），轴（或与重重合），设设，则因为点在曲曲线上，所所以即所求射影影的方程程为 (3) 推理的训练练数学推理是是由已知知的数学学命题得得出新命命题的基基本思维维形式，它它是数学学求解的的核心。以以已知的的真实数数学命题题，即定定义、公公理、定定理、性性质等为为依据，选选择恰当当的解题题方法，达达到解题

36、题目标，得得出结论论的一系系列推理理过程。在在推理过过程中，必必须注意意所使用用的命题题之间的的相互关关系（充充分性、必必要性、充充要性等等），做做到思考考缜密、推推理严密密。例9 设设椭圆的的中心是是坐标原原点，长长轴在轴轴上，离离心率，已已知点到到这个椭椭圆上的的最远距距离是，求求这个椭椭圆的方方程。错误解法 依题题意可设设椭圆方方程为则 ，所以 ，即即 设椭圆上的的点到点点的距离离为，则所以当时，有最最大值，从从而也有有最大值值。所以 ，由由此解得得：于是所求椭椭圆的方方程为错解分析 尽管管上面解解法的最最后结果果是正确确的，但但这种解解法却是是错误的的。结果果正确只只是碰巧巧而已。由由

37、当时，有最最大值，这这步推理理是错误误的，没没有考虑虑到的取取值范围围。事实实上，由由于点在在椭圆上上，所以以有，因因此在求求的最大大值时，应应分类讨讨论。即即：若，则当时时，（从从而）有有最大值值。于是从而解解得所以必有，此此时当时时，（从从而）有有最大值值，所以，解得得于是所求椭椭圆的方方程为例10 求的最最小值错解1错解2错误分析 在解解法1中中，的充充要条件件是即这是自相相矛盾的的。在解法2中中，的充充要条件件是这是不可能能的。正确解法11其中，当正确解法22 取正正常数，易易得其中“”取取“”的充要要条件是是因此，当第四讲 数学思思维的开开拓性一、概述数学思维开开拓性指指的是对对一个

38、问问题能从从多方面面考虑；对一个个对象能能从多种种角度观观察；对对一个题题目能想想出多种种不同的的解法，即即一题多多解。“数学是一一个有机机的整体体，它的的各个部部分之间间存在概概念的亲亲缘关系系。我们们在学习习每一分分支时，注注意了横横向联系系，把亲亲缘关系系结成一一张网，就就可覆盖盖全部内内容，使使之融会会贯通”，这里里所说的的横向联联系，主主要是靠靠一题多多解来完完成的。通通过用不不同的方方法解决决同一道道数学题题，既可可以开拓拓解题思思路，巩巩固所学学知识；又可激激发学习习数学的的兴趣和和积极性性，达到到开发潜潜能，发发展智力力，提高高能力的的目的。从从而培养养创新精精神和创创造能力力

39、。在一题多解解的训练练中，我我们要密密切注意意每种解解法的特特点，善善于发现现解题规规律，从从中发现现最有意意义的简简捷解法法。数学思维的的开拓性性主要体体现在：(1) 一题的多种种解法例如 已已知复数数满足，求求的最大大值。我们可以考考虑用下下面几种种方法来来解决：运用复数数的代数数形式；运用复数数的三角角形式；运用复数数的几何何意义；运用复数数模的性性质（三三角不等等式）；运用复数数的模与与共轭复复数的关关系；（数形结结合）运运用复数数方程表表示的几几何图形形，转化化为两圆圆与有公共共点时，的最大值。(2) 一题的多种种解释例如，函数数式可以以有以下下几种解解释：可以看成成自由落落体公式式

40、可以看成成动能公公式可以看成成热量公公式又如“1”这个数数字，它它可以根根据具体体情况变变成各种种形式，使使解题变变得简捷捷。“1”可以变变换为：，等等等。1 思维训练实实例例1 已已知求证证：分析1 用比较较法。本本题只要要证为了了同时利利用两个个已知条条件，只只需要观观察到两两式相加加等于22便不难难解决。证法1所以 分析2 运用分分析法，从从所需证证明的不不等式出出发，运运用已知知的条件件、定理理和性质质等，得得出正确确的结论论。从而而证明原原结论正正确。分分析法其其本质就就是寻找找命题成成立的充充分条件件。因此此，证明明过程必必须步步步可逆，并并注意书书写规范范。证法2 要证 只只需证

41、 xMyd图421O即 因为 所以只需证证 即 因为最后的的不等式式成立，且且步步可可逆。所所以原不不等式成成立。分析3 运用综综合法（综综合运用用不等式式的有关关性质以以及重要要公式、定定理（主主要是平平均值不不等式）进进行推理理、运算算，从而而达到证证明需求求证的不不等式成成立的方方法）证法3 即 分析4 三角换换元法：由于已已知条件件为两数数平方和和等于11的形式式，符合合三角函函数同角角关系中中的平方方关系条条件，具具有进行行三角代代换的可可能，从从而可以以把原不不等式中中的代数数运算关关系转化化为三角角函数运运算关系系，给证证明带来来方便。证法4可设设分析5 数形结结合法：由于条条件

42、可看看作是以以原点为为圆心，半半径为11的单位位圆，而而联系到到点到直直线距离离公式，可可得下面面证法。证法5 （如图图4-22-1）因因为直线线经过圆的圆心OO，所以以圆上任任意一点点到直线的距距离都小小于或等等于圆半半径1，即 简评 五五种证法法都是具具有代表表性的基基本方法法，也都都是应该该掌握的的重要方方法。除除了证法法4、证证法5的的方法有有适应条条件的限限制这种种局限外外，前三三种证法法都是好好方法。可可在具体体应用过过程中，根根据题目目的变化化的需要要适当进进行选择择。例2 如如果求证证：成等等差数列列。分析1 要证，必必须有成成立才行行。此条条件应从从已知条条件中得得出。故故此

43、得到到直接的的想法是是展开已已知条件件去寻找找转换。证法1故 ，即 成等差差数列。分析2 由于已已知条件件具有轮轮换对称称特点，此此特点的的充分利利用就是是以换元元去减少少原式中中的字母母，从而而给转换换运算带带来便利利。证法2 设则于是，已知知条件可可化为：所以成等差差数列。分析3 已知条条件呈现现二次方方程判别别式的结结构特点点引人注注目，提提供了构构造一个个适合上上述条件件的二次次方程的的求解的的试探的的机会。证法3 当时，由由已知条条件知即即成等差差数列。当时，关于于的一元元二次方方程：其判别式故故方程有有等根，显显然11为方程程的一个个根，从从而方程程的两根根均为11，由韦达定理理知

44、 即 成等差差数列。简评：证法法1是常常用方法法，略嫌嫌呆板，但但稳妥可可靠。证证法2简简单明了了，是最最好的解解法，其其换元的的技巧有有较大的的参考价价值。证证法3引引入辅助助方程的的方法，技技巧性强强，给人人以新鲜鲜的感受受和启发发。例3 已知，求的的最小值值。分析1 虽然所所求函数数的结构构式具有有两个字字母，但但已知条条件恰有有的关系系式，可可用代入入法消掉掉一个字字母，从从而转换换为普通通的二次次函数求求最值问问题。解法1设，则二次项系数数为故有最小小值。当时，的最小值为为分析2 已知的的一次式式两边平平方后与与所求的的二次式式有密切切关联，于于是所求求的最小小值可由由等式转转换成不不等式而而求得。解法2即即 当且且仅当时时取等号号