标准差671844038612751.docx

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1、标准差 (Standard Deviation)，也称均方差（Mean square error）标准差是一种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛运用在股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于一段时间内波动的情况计算而来的。一般而言，标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。实务的运作上，可进一步运用单位风险报酬率的概念，同时将报酬率的风险因素考虑在内。所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担 一单位的风险，所能得到的报酬，以夏普指数最常为投资人运用。 标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的

2、标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组组数的集合 0, 55, 9, 14 和和 5, 6, 8, 9 其其平均值都是是 7 ，但但第二个集合合具有较小的的标准差。 标准差可以以当作不确定定性的一种测测量。例如在在物理科学中中，做重复性性测量时，测测量数值集合合的标准差代代表这些测量量的精确度。当当要决定测量量值是否符合合预测值，测测量值的标准准差占有决定定性重要角色色：如果测量量平均值与预预测值相差太太远（同时与与标准差数值值做比较），则则认为测量值值与预测值互互相矛盾。这这很容易理解解，因为值都都落在一定数数值范围之外外，可以合理理推论预测值值是否正确。 标准差的简易计计算公式 假

3、设有一组组数值 x11, ., xN （皆为实数数），其平均均值为： 此组数值的的标准差为： 一个较快求求解的方式为为： 一随机变量量X 的标准准差定义为： 须注意并非非所有随机变变量都具有标标准差，因为为有些随机变变量不存在期期望值。 如如果随机变量量 X 为 x1,.,xN 具有相同机机率，则可用用上述公式计计算标准差。从从一大组数值值当中取出一一样本数值组组合 x1,.,xxn ，常定定义其样本标标准差： 编辑范例：标准差的的计算 这里示范如如何计算一组组数的标准差差。例如一群群孩童年龄的的数值为 5, 66, 8, 9 ： 第一步，计计算平均值 n = 44 （因为集集合里有 44 个

4、数），分分别设为： 用 4 取代 N 此为平均值值。 第二步，计计算标准差 用 4 取代 N 用 7 取取代 编辑标准差与平均值值之间的关系系 一组数据的的平均值及标标准差常常同同时做为参考考的依据。在在直觉上，如如果数值的中中心以平均值值来考虑，则则标准差为统统计分布之一一自然的的测量。较确确切的叙述为为：假设 xx1, ., xnn 为实数，定定义其公式 使用微积分，不不难算出 (r) 在在下面情况下下具有唯一最最小值： 编辑标准偏差与标准准差的区别标准差(SStandaard Deeviatiion)各数数据偏离平均均数的距离（离离均差）的平平均数，它是是离差平方和和平均后的方方根。用表

5、表示。因此，标标准差也是一一种平均数。标标准差是方差差的算术平方方根。标标准差能反映映一个数据集集的离散程度度。平均数相相同的，标准准差未必相同同。 例如，A、BB两组各有66位学生参加加同一次语文文测验，A组组的分数为995、85、775、65、555、45，BB组的分数为为73、722、71、669、68、667。这两组组的平均数都都是70，但但A组的标准准差为17.08分，BB组的标准差差为2.166分，说明AA组学生之间间的差距要比比B组学生之之间的差距大大得多。 标准偏差(SStd Deev,Staandardd Deviiationn) - 统统计学名词。一一种量度数据据分布的分散

6、散程度之标准准，用以衡量量数据值偏离离算术平均值值的程度。标标准偏差越小小，这些值偏偏离平均值就就越少，反之之亦然。标准准偏差的大小小可通过标准准偏差与平均均值的倍率关关系来衡量。 编辑标准差的应用分分析编辑标准差在投资决决策中的应用用1投资是企业业生产经营和和发展壮大的的必要手段。投投资者作出投投资决策时，不不仅要考虑预预期回报，还还必须分析比比较投资风险。 由于投资风风险的客观存存在性及其对对投资收益的不不利性，投资资者在进行投投资决策时必必须而且也应应该对投资风风险进行分析析，尽可能地地测定和量化化风险的大小小。 1、用标准准差衡量风险险大小。此时时的标准差计计算公式如下下： 其中为标标

7、准差，Pi为期望投资资收益率，PPi为一系列可可能性事件发发生的概率，ri为可能性事件发生时的投资收益。标准差值越小，说明投资风险越小。 假设投资者者要在A、BB两个项目中中选择一个或或两个项目进进行投资。估估计第二年每每个项目的收益率可能有有四个结果，每每个结果都有有一个确定的的概率与之对对应。如下表表所示，表中中r为收益率率，p为收益益率实现的可可能性。 表1 A、BB两项目的收收益率分布 A项目B项目 rprp 102O251OO05 2O14O25O6O2 3010025O1O7 4004O25-1O005 投资项目AA、B的期望收益率率分别为： 计算结果表表明，A项目目的期望收益益率

8、小于B项项目。但从收收益率的分布布看，A项目目的收益率在在4200%之间波动动，变动范围围小；而B项项目收益率从从-100到+1000，变动范范围大。收益益率的变动大大小反映了风风险的大小，收收益率变动大大，风险就大大。根据公式式(3)计算算得：A = 5.83%，B = 377.80%。这这是不是说明明B项目的风风险更大呢?从数学角度度看，B项目目标准差大可可能来源于BB项目的各种种可能收益都都比较大。 2、标准差差的局限性。当当不同项目的的期望回报率率相同时，用用标准差衡量量风险程度是是合适的，否否则就不能再再用标准差而而必须用一个个相对的风险险指标。取标标准差与期望望值的比率；，称为变异

9、异系数或标准准离差，该值值越大反映项项目的风险越越大。 可以计算项项目A的变异异系数,项目目B的变异系系数。这个时时候就可以说说B项目风险险更大。 编辑标准差在股市分分析中的应用用1股票价格的的波动是股票票市场风险的的表现，因此此股票市场风风险分析就是是对股票市场场价格波动进进行分析。波波动性代表了了未来价格取取值的不确定定性，这种不不确定性一般般用方差或标标准差来刻画画(Markkowitzz，19522)。下表是是中国和美国国部分时段的的股票统计指指标，其中中中国证券市场场的数据由“钱钱龙”软件下下载，美国证证券市场的数数据取自ECCI的“woorld sstock Exclllarlge

10、e Dataa Diskk”。 表2股票统统计指标 年份业绩表现波动率 上证综指标准普尔指数上证综指标准普尔指数 1996110.9316.460.2376O.0573 1997-0.1331.01O.1188O.0836 19988.9426.67O.0565O.0676 199917.2419.53O.15120.0433 200043.86-10.140.0970.0421 2001-15.34-13.04O.0902O.0732 2002-20.82-23.37O.0582O.1091 通过计算可可以得到： 上证综指业业绩期望值(110.93-0.13+8.94+177.24+443.

11、86-15.344-20.882)/7=20.677 上证波动率率期望值00.11566 标准普尔业业绩期望值6.72114 标准普尔波波动率期望值值0.06680 而标准差的的计算公式则则根据公式(2)计算： 上证综指的的业绩标准差差 上证波动率率标准差00.06322 标准普尔指指数业绩标准准差21.71 标准普尔波波动率标准差差0.022365 因为标准差差是绝对值，不不能通过标准准差对中美直直接进行对比比，而变异系系数可以直接接比较。计算算可得： 上证业绩变变异系数445.24557/20.6721889 上证波动率率变异系数0.06332/0.1115600.54677 标准普尔业业

12、绩变异系数数21.771/6.7721433.22999 标准普尔波波动率变异系系数0.002365/0.068800.33478 通过比较可可以看出上证证波动率变异异系数要大于于标准普尔波波动率变异系系数，说明长长期来讲中国国股市稳定性性相对较差，还还是一个不太太成熟的股票票市场。 编辑标准差在确定企企业最优资本本结构中的应应用1资本结构指指的是企业各各种资金来源源的比例关系系，是企业筹筹资活动的结结果。最优资资本结构是指指能使企业资资本成本最低低且企业价值值最大的资本本结构；产权权比率，即借入资本本与自有资本的构构成比例，是是反映企业资资本结构的重重要变量。企企业的资产由由债务性资金金和权

13、益性资资金组成，但但其风险等级级和收益率各不相相同。根据投投资组合理论论，投资的多多样化可以分分散掉一定的的风险，因此此资金提供者者需要决定投投资于债务性性资金和权益益性资金的比比例。以便在在权衡风险和和收益的情况况下保证其利利益的最大化化。 理论探索而而外部资金提提供者利益的的最大化也就就是企业价值值的最大化，这这一投资比例例对于企业融融资而言也就就是企业的最最优资本结构构比例。 假定某企业业的资金通过过发行债券和和股票两种方方式获得，并并且都属于风风险性资产。其中债券的收益率为rD，风险通过标准差D来衡量；股票的收益率为rE，风险为E；股票和债券的相关系数为pDE，协方差为COV(rD,r

14、E)；债券所占的比重为wD，股票所占比重为WE(WD + WE = 1)。根据投资组合理论，企业外部投资者对该企业投资所获的期望收益率为E(rp) = WDE(rD) + wEE(rE)，方差为 1、企业债债务性资金和和权益性资金金完全正相关关，即相关系系数pDE为1。企企业外部投资资者获得的期期望收益率为为E(rp) = wDE(rD) + wEE(rE)，风险标准准差为 = wDD + wEE,也就是组组合的标准差差等于各个部部分标准差的的加权平均值值，通过投资资组合不可能能分散掉投资资风险。根据据投资组合理理论，投资组组合的不同比比例对于投资资者而言是无无差异的。 2、企业债债务性资金和

15、和权益性资金金完全负相关关，即其相关关系数为-11。投资者获获得的报酬率率的期望值及及其方差分别别为。 根据投资组组合理论，只只有当投资比比例大于E / (D + E)时其投资组组合才是有效效的。对于企企业筹资而言言，也即企业业的权益性资资金的比例大大干E / (D + E)，企业的筹筹资比例才是是有效的，而而且当组合比比例为E / (D + E)时，企业的的筹资组合风风险为零。 3、企业债债务性资金和和权益性资金金的相关系数数大于-1小小于1。理论论上，一个企企业的两种筹筹资方式之间间的相关程度度较高，一方方面两种筹资资方式都承担担系统风险，另另一方面它们们也承担相同同的公司风险险。因此从实

16、实践来看，企企业的不同筹筹资方式间的的相关程度不不可能是完全全的正相关和和负相关。对于于一个企业而而言，债务性性资金对企业业有固定的要要求权，权益益性资金对企企业只有剩余余要求权，因因此债务性资资金的波动不不可能像权益益性资金的波波动那么大。同同时企业的风风险会同时影影响企业的债债务性资金和和权益性资金金，因此企业业的债务性资资金和权益性性资金的相关关系数不可能能为负数。企企业不同的筹筹资方式间的的相关系数一一般在0-11之间。 那么究竟在在什么比例下下企业的价值值才会达到最最大呢?根据据投资组合理理论，当E(r1) E(r2)，且时，才能能出现r1，优于r2。可见，决决定企业资本本结构的直接接因素主要是是不同筹资方方式的收益率率和风险以及及它们之间的的相关系数。 编辑相关条目