在科学技术发展到跨进21世纪的今天35385.docx

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1、前言 在在科学技术术发展到跨跨进21世世纪的今天天，应该交交给大学生生什么样的的数学，数数学科学的的哲学和方方法论、数数学应用的的思维方式式如何，以以及把数学学作为技术术开发的工工具是怎么么样的等等等，这一系系列问题已已经尖锐地地摆在工科科数学教育育工作者面面前。目前前，大家已已经形成的的共识是，讲讲授数学知知识不能仅仅仅局限于于伴随牛顿顿力学产生生和发展起起来并于一一百来年已已经形成的的经典理论论，而是不不仅教给学学生数学基基础理论，还还要教给学学生应用数数学的技能能，特别是是数学建模模和计算机机模拟的本本领；数学学应用的思思维方式在在提倡抽象象思维的同同时更强调调形象思维维或直感思思维，使

2、用用几何方法法，形象化化的描述及及计算机图图示，因为为图形对想想象力和创创造力是强强有力的刺刺激因素；数学应用用要把计算算机及其技技术作为不不可缺少的的工具和手手段，使大大学生学习习计算机同同数学科学学的学习与与研究紧密密结合，不不但会用计计算机，而而且能理解解计算机给给出的答案案。这些共识就就是数学教教育改革所所追求的方方向和目标标。绪论：如何何认识数学学数学是人类类最古老同同时又是最最富生命力力的知识领领域之一。在在近几百年年，几乎每每个世纪，数数学都出人人意料地获获得惊人的的发展而创创造出新的的黄金时代代。然而，时时至今日仍仍有不少人人对学习、研研究数学的的目的和意意义产生种种种疑惑，特

3、特别是刚进进入高等学学校的接受受工程技术术教育的学学生们总是是对学习数数学产生一一系列的疑疑问，问的的最多的是是“学习数学学对以后所所从事的技技术工作有有什么用？”。甚至有有人认为随随着计算机机技术的发发展，大量量的计算问问题可以由由计算机软软件处理，学学习数学知知识已不那那么重要了了。应该说说这是我们们数学教育育现在必须须回答的一一个带有根根本性的问问题。当然然，大多数数人学习数数学既不想想当数学家家，也不想想从事数学学教育工作作，只是为为了进一步步学习专业业知识和技技术而学习习数学，而而我们面向向工程技术术教育的学学生讲授数数学的方式式以及学生生的学习方方法确实有有很多地方方值得认真真反思

4、。一一方面，过过分的注重重“纯数学”的严密体体系、严格格的证明和和复杂计算算，而不注注重它的应应用性和工工具性（科科学语言）；另一方面面，只满足足于会作题题、应付考考试的“应试学习习”方式，致致使学生们们无法对数数学知识、思思想、方法法及其应用用价值有明明晰的认识识。为此，我我们提出新新的尝试，既既传授基本本的数学知知识，又训训练应用技技能。本章章的目的是是想让学生生对数学有有一个基本本的概括性性认识。一、 数学无处不不在数学是研究究数和形及及其关系的的一门科学学。它以研研究现时世世界中的数数量关系和和空间形式式为主要任任务。通俗俗地讲，数数学是以数数字、符号号、形状和和模式来代代替文字的的一

5、套特殊殊语言系统统。或者说说，数学是是一种能够够描述各种种客观规律律的语言，是是任何学科科都要用到到的、无比比有用、无无所不能、神神通广大、全全球共通的的一种特殊殊语言。正正像已故的的著名数学学家华罗庚庚教授所说说，宇宙之之大，粒子子之微，火火箭之速，华华工之巧，地地球之变，生生物之谜，日日用之繁，数数学无处不不在，凡是是有“量”和“形”的地方就就少不了用用数学，研研究量（或或形）的关关系、量（或或形）的变变化、量（或或形）的变变化关系、量量（或形）的的关系的变变化等问题题都离不开开数学作为为语言工具具。我们现在无无法真正理理解为什么么毫无智能能的动物、植植物，甚至至低等生物物，都会进进行奇特

6、的的数学创造造。如某些些细菌的繁繁殖会满足足一些奇妙妙的数学规规律，植物物的花瓣形形成精美的的几何图形形，某些贝贝壳和松果果具有螺旋旋形生长模模式等等。自自然界充满满着数学概概念的实例例。这就是是数学之所所以成为描描述、解释释自然现象象的语言的的原因。例例如，圆形形蜘蛛网是是一个简单单漂亮的数数学创造，要要分析这个个美丽结构构用数学方方法进行分分析时，出出现在蜘蛛蛛网中的数数学概念是是惊人的：半径、弦弦、平行线线段、三角角形、全等等对应角、对对数螺线、悬悬链线和无无理数e 。我们知道蜜蜜蜂营造的的蜂房也是是奇妙的数数学图形。十十八世纪初初，法国学学者马拉尔尔奇测量了了蜂房，发发现正面看看去它是

7、镶镶嵌得如此此天衣无缝缝的正六角角形，蜂王王的底都是是由三个全全等的菱形形组成的，菱菱形的钝角角都是1009，锐角角都是等于于70（图图0-1），这这不仅是蜂蜂房 图0-11的空间结构构呈如此精精美的几何何形状，而而且据巴黎黎科学院院院士、瑞士士数学家克克尼格与苏苏格兰数学学家马克劳劳林的理论论计算，这这种结构消消耗最少的的材料和最最少的“工时”，这里竟竟然符合最最优化的数数学原理，真真是不可思思议！蜜蜂蜂没有学过过镶嵌理论论、求解最最大值和最最小值方法法、解线性性代数问题题和求含约约束条件的的最优解的的艺术，而而它却实实实在在进行行了奇妙的的符合数学学原理的工工程技术创创造，这不不正是把自自

8、然界与数数学联系起起来的例证证吗？在矿物结构构中，同样样可以找到到许多更为为奇妙的空空间图形，如如食盐矿的的晶体呈正正方体形状状，明矾的的晶体呈正正八面体形形状，而矿矿物质中其其它更多的的晶体呈更更为复杂的的几何形状状，如十字字架石晶体体呈正交或或斜交十字字架双晶形形；电气石石晶体色泽泽美丽可作作为宝石，呈呈拄状晶形形，拄面有有明显的纵纵条纹，横横断面呈弧弧线三角形形；如石榴榴石的晶体体结构呈菱菱形十二面面体或四角角三八面体体的复杂美美妙的几何何形状，透透明色泽的的也可作为为宝石等（图图0-2）。 图00-2再从宏观来来看，我们们所生活的的地球与它它的卫星月亮之间间有着紧密密的联系，月月亮是沿

9、着着椭圆形轨轨道绕地球球旋转的。轨轨道的远日日点距离为为4067700公里里（最大），近近日点距离离为3566400公公里（最小小），亿万万年来，都都是如此周周而复始地地按此规律律运行。我我们所处的的宇宙里，天天体之间运运行规律无无一不是精精确的数学学关系式。伟伟大的天文文学家开普普勒在谐谐和宇宙一一书中进一一步研究行行星运动规规律，发现现了著名的的开普勒行行星运动运运动三大定定律： （11）行星绕绕太阳运行行的轨道是是椭圆形的的，而太阳阳在椭圆的的一个焦点点上。这个个定律说明明了行星运运动轨道的的数学形式式为： 运动方程程为： ， . 离心率率为：（2）行星星的向径（行行星与太阳阳的连线）在

10、相等的时时间内扫过过相等的面面积。这个个定律说明了行行星的运动动速度的数数学形式为为：.（如图00-3所示示）（3）行星星绕太阳公公转周期的的平方与它它们到太阳的平均距距离的立方方成正比例例。这个定定律说明行行 图00-3星行星运动动的周期性性。事实上上，说明（其其中a表示行星星到太阳的的平均距离离，T表示示公转周期期，G为万万有引力常常数，M为为太阳质量量）。三定律的发发现，不仅仅使人们准准确地预先先计算出行行星的未来来的位置，编编制成行星星的星历表表供航海与与大地测量量使用，更更重要的是是人们可以以利用数学学的帮助去去发现新的的行星。果果然，在开开普勒以后后的一百年年后，德国国天文学家家提

11、出在行行星的轨道道间缺一颗颗行星，11781年年，德国天天文学家威威廉赫歇发现现了这颗新新星，这就就是著名的的天王星。19世纪中中叶，法国国天文学家家勒维耶（11811-18777）和英国国天文学家家亚当斯（11819-18922），分别别独立计算算出一颗新新行星，命命名为海王王星。这些些行星运动动的规律、以以及新行星星的发现，都都是数学方方法的光辉辉应用的结结果。目前前已发现了了距太阳约约60亿公公里的最遥遥远的一颗颗大行星冥冥王星，因因此，人们们已经知道道了太阳系系有九大行行星。而且且在火星与与木星之间间发现两千千多颗小行行星。太阳系所在在的星系，成成为银河星星系。银河河星系的面面目已研究

12、究的比较清清楚了。它它的形状像像个铁饼，直直径10万万光年，中中央厚度约约1万光年年。银河系系中的物质质分布成旋旋涡状，状状似螺线，太太阳系在银银河系的边边沿。900年4月美美国发射太太空的哈伯伯望远镜，观观察到遥远远星系的状状况，并发发现这些星星系的运行行规律与人人们利用数数学计算推推测的结果果几乎是一一致的。如如今，人们们利用数学学不仅能计计算出星系系的运行规规律，而且且还能计算算出恒星的的寿命，以以及太阳系系、地球、宇宇宙的年龄龄等等，这这些研究成成果越来越越使人类更更清晰地了了解我们的的宇宙过去去、现在和和未来。至于人类自自身的发明明创造，更更与数学有有密切的联联系。高耸耸入云的摩摩天

13、大楼、大大跨度的大大桥、高性性能的电子子仪器设备备、人造卫卫星、航天天飞机、计计算机网络络与信息通通讯设施等等等，这些些全是人类类数学智慧慧的结晶。二、数学伴伴随人的一一生从婴儿出生生的第一刻刻起，父母母要记他的的出生时间间、医生要要为他量体体重和身长长，还要检检查各项健健康指标，定定时、定量量哺乳、进进食，这些些都于数学学有关，婴婴儿一出生生就遇到了了数学，并并在以后的的时光里，数数学将帮助助婴儿健康康成长。随着幼儿的的成长，越越来越离不不开数学。一一旦人开口口学说话，大大人开始教教数“1，2，33，”，“识数”是人生的的第一课。后后来逐渐能能直观地识识别物体大大小、东西西的多少，这这就有了

14、初初步的数量量概念，漫漫漫地大人人教他学习习画三角形形、正方形形和圆等等等。当你会会到商店买买东西，就就学会了简简单计算；正是有了了这些初步步的数量概概念，才会会有时间概概念，知道道什么时候候看电视、什什么时间睡睡觉，也会会记住一些些重要的节节日和自己己的生日等等；也正是是有了这些些初步的几几何图形概概念和简单单计算能力力，才使幼幼儿逐渐具具有了数量量、运算、空空间、形状状等初始的的数学思想想意识。不不难想象，如如果我们人人类没有这这些数、量量、空间、形形状与关系系的思想意意识，人类类将和其它它动物一样样，陷入何何等浑噩无无知与黑暗暗之中，那那将是非常常可怕的混混沌的时代代。事实上上，人类的的

15、祖先开启启智能的标标志之一，就就是有了数数量和几何何形状的观观念和意识识。当我们进入入小学、中中学学校学学习，开始始正式学习习数学这门门学科，懂懂得了更为为深奥的数数学语言和和图形语言言。知道了了整数、小小数、分数数、正数、负负数、有理理数、无理理数、实数数和复数，明明白了相等等与不等、方方程与函数数、有限与与无限、数数列与极限限；懂得了了图形的全全等与相似似、直线、圆圆、轴对称称和中心对对称、平移移、旋转、标标量、矢量量、坐标、正正弦曲线、余余弦曲线、抛抛物线、椭椭圆、双曲曲线，多面面体、旋转转体，空间间曲线和曲曲面等等。我我们也学会会了加、减减、乘、除除、乘方、开开方，整式式、分式、幂幂式

16、、根式式、方程式式、函数式式，等式、不不等式，排排列、组合合、二项式式展开的运运算，学会会了几何作作图、等分分、等积变变形、分割割、展开、放放大、缩小小、平移、旋旋转、反射射以及无限限细分与无无限积累等等数学方法法。这样以以来我们的的大脑里已已经装进了了人类数千千年长期总总结积累的的初等数学学知识的精精粹与思维维的模式，使使我们的思思维方式更更科学化了了，也就是是说，数学学训化了我我们的大脑脑，使我们们更聪明睿睿智了。进入高等教教育阶段，我我们要成为为某个学科科或技术领领域的专门门人才，要要学习系统统的专业知知识和技术术，就需要要更多、更更深入的数数学知识。我我们要弄懂懂函数与极极限、函数数与

17、连续，函函数的导数数、微分、不不定积分、定定积分、曲曲线积分、曲曲面积分，拉拉氏变换和和逆变换，级级数、傅立立叶级数与与函数的泰泰勒展式，微微分方程，行行列式、矩矩阵、线性性方程组和和n维向量，概概率统计，图图论，线性性规划与动动态规划等等一系列数数学概念和和知识，同同时我们还还要学会利利用这些概概念和知识识，会计算算变化率、改改变量，会会分析函数数的性质和和函数图形形的特征，会会求函数的的极值，会会进行近似似计算与误误差分析，会会求函数曲曲线所围成成的图形的的面积、曲曲线长度和和曲面体积积，会求解解一阶线性性微分方程程和二阶常常系数微分分方程，会会求一些函函数的拉氏氏变换和逆逆变换，会会把一

18、个函函数展成幂幂级数、把把周期函数数展成傅立立叶级数，会会求行列式式的值、会会进行矩阵阵变换和解解线性方程程组，会求求矩阵的特特征值和特特征向量，会会求概率和和进行简单单的统计分分析，会利利用图论方方法、线性性规划和动动态规划解解决一些优优化问题，会会利用已有有的数学知知识和方法法建立数学学模型等等等。十余年的数数学学习，不不仅增长了了知识，还还学会了逻逻辑思维，就就这一点对对人的帮助助最大。当当你会归纳纳、类比、联联想，会灵灵活处理问问题，增强强了直觉能能力，有了了数感，有有了形感时时，那你会会变得更聪聪明、智慧慧。当你走向技技术或管理理岗位，经经常要借助助计算机进进行工程计计算或经济济核算

19、，经经常要进行行分析、判判断和决策策。这使你你感到通过过数学培养养出的能力力有了用武武之地。目目前出现的的一些优秀秀数学软件件功能非常常强大，不不仅能进行行数值计算算，而且还还能进行符符号运算，这这不仅使繁繁琐的计算算、推导变变得轻松自自如，而且且也能协助助我们进行行逻辑思维维，作出正正确判断。因因此学会利利用流行的的数学软件件已是工程程师、经济济师们必不不可缺学习习任务。我们要相信信，这一系系列数学知知识的掌握握和数学能能力的培养养，是你成成为一名高高级技术或或管理人才才的基础。我们不难发发现，如今今的社会生生活信息化化程度越来来越高，终终身学习已已经成为人人的一种特特别需要，“会学习”已成

20、为当今社会对人的一种基本要求。然而，“会学习”的前提是必须具备通过数学培养出的足够的 “阅读”能力和逻辑思维能力。事实证明，没有经过数学逻辑思维训练的人，一般不会有健全的学习能力。当然，不一定是终身要学数学，但一定是终身要用数学。毫无疑问，数学将伴随人的一生。三、 数学的基本本特征数学是人类类智力的产产物，许多多人认为它它具有三个个最基本的的特征：一一是高度抽抽象性，二二是高度精精确性，三三是广泛应应用性。1 数学的高度度抽象性 数数，就是离离开具体事事物的实际际背景，仅仅仅从它的的数量侧面面上反映出出来的一种种抽象。在在人类有文文字记载的的初期，人人们就知道道把具体的的一些物体体的数量用用符

21、号记录录下来，这这时人们已已经开始有有了把“数”从具体事事物抽象出出来的意识识。例如33（古代有有各种表示示方法，现现在我们采采用的是阿阿拉伯人的的记法）这这个数既可可表示3个个苹果，也也可表示33个人或33本书等等等，而3本本身已经摈摈弃了苹果果、人或书书等的具体体含义，仅仅仅抓住数数量这一特特征的一种种抽象。形，也是如如此，直线线这一概念念是从拉紧紧的纱线，透透过小孔的的光线，笔笔直的路线线等等现实实事物中抽抽象出来的的。几何学学中的直线线舍弃了所所有纱线、光光线、路线线等等事物物的性质，只只留下在一一定方向上上无限伸长长这一抽象象形式。几几何图形的的概念，都都是舍弃了了现实对象象的所有性

22、性质，只留留下空间形形式和大小小、位置这这些抽象结结果。全部部数学都具具有这种抽抽象的特征征。其实，抽象象的方法其其他学科应应用也很广广泛，几乎乎任何学科科都有一些些的抽象性性的概念手手段，如现现代物理学学中的各种种“场”、“熵”、“势”等等也都都是比较抽抽象的概念念；又例如如力学中的的刚体运动动，常把一一个物体视视为一个质质点，把运运动轨迹看看成一条曲曲线或直线线，这就是是典型的抽抽象手法。特特别是天体体运动研究究中，把星星球的运行行轨迹认为为是椭圆，这这时就把巨巨大的星球球看成是几几何点（无无体积的点点，或把体体积“抽象”掉了）。但但这些抽象象的概念并并没有完全全摆脱实际际背景，人人们还很

23、容容易想到它它的真实情情况，而现现代纯粹数数学的抽象象程度越来来越高，有有些已经难难于找到它它的现实背背景。尤其其是在过去去的一个世世纪里，数数学从内容容、意义到到方法都经经历了前所所未有的深深刻变革。回回顾这种深深刻变革，我我们会发现现：数学的的无限生命命力，恰恰恰是源于其其发展过程程中的三个个貌似相互互矛盾、实实则相互统统一的特点点，即：数数学的抽象象性、精确确性和数学学的广泛应应用性。在在20世纪纪，数学的的这两个特特点更是共共轭地发展展着，使数数学比以往往任何时代代都更加成成为整个科科学技术赖赖依生存的的基础和人人类文明、进进步的标志志。脱离具体的的实际背景景对事物进进行“量”与“形”

24、的抽象是是数学固有有的特性，可可以说没有有这种抽象象就没有数数学。200世纪数学学更高的抽抽象化趋势势，最初主主要是受了了两大因素素的推动，即即集合论观观点与公理理化方法，二二者相互结结合孕育了了抽象代数数、拓扑学学、泛函分分析等新的的抽象分支支，同时又又引发了一一些传统数数学分支(特别如概概率论)的的革新。数数学的核心心领域不断断拓展，研研究对象不不断扩张。例例如，过去去作为分析析学主角的的函数概念念被扩张为为泛函、算算子和一般般的映射；代数学研研究的中心心从普通的的数转化为为群、环、域域等一般的的代数结构构；几何学学则主要探探讨各种各各样的抽象象空间(包包括无穷维维空间、分分数维空间间、弯

25、曲的的非欧空间间、可变形形的拓扑空空间等)。可以以说，现代代数学不仅仅研究现实实世界的空空间形式与与数量关系系，而且研研究一切可可能的空间间形式与数数量关系。在在更广泛的的意义上，数数学已经被被看作是关关于“模型”(pattternn)的学科科，包括数数的模型，形形的模型，运运动与变化化的模型，推推理的模型型，行为的的模型这些模型型既可以是是现实的，也也可以是想想像的；既既可以是定定量的，也也可以是定定性的，等等等。 纯纯粹数学在在20世纪纪经历了一一系列激动动人心的发发展，过去去若干世纪纪以来积累累的一些重重大问题，有有许多已获获解决或是是取得了重重要进展。历历300余余年悬而未未决的费马马

26、大定理的的获证(11994)，可以说说是20世世纪纯粹数数学美妙的的终曲。对对于X的nn次方XX的n次方方Z的nn次方这一一看似简单单的方程式式，费马在在300多多年前提出出，当n大大于或等于于3时无整整数解。此此后，3000多年无无人能证明明这一定理理。除了费费马大定理理，像事关关数学大厦厦基础的哥哥德尔不完完全性定理理的提出(19311)、具有有异乎寻常常的微分结结构的“米尔诺怪怪球”的发现(19566)、揭示示数学内在在统一性的的“阿蒂亚辛格指标标定理”的证明(19633)、四色色定理的攻攻克(19976)、有有限单群分分类的完成成(19880)、等等，这这些辉煌的的智力成果果，不断使使

27、科学界震震惊，而它它们的获得得，都依赖赖于极度抽抽象的概念念与方法。以以费马大定定理的证明明为例，由由于它综合合运用了包包括数论、代代数几何、李李群和分析析等众多数数学分支的的思想与方方法而被喻喻为“后现代艺艺术”。这条表表述极其初初等的定理理，要看懂懂英国数学学家维尔斯斯对它的证证明，即使使对训练有有素的职业业数学家来来说也并非非易事，这这多少说明明了现代数数学抽象的的程度。哥哥德尔不完完全性定理理的提出，可可涉及的领领域甚至包包括哲学。其其抽象化也也是达到了了相当高深深的程度。 现代数学抽抽象化趋势势的增长，有有时不免引引起人们对对数学的误误解，认为为数学是只只有少数思思维怪杰才才能问津的

28、的、远离现现实的象牙牙塔。然而而数学的抽抽象决不是是无源之水水、无本之之木。相反反，数学与与现实世界界的联系源源远流长。由由于数与形形是事物所所共有的本本质属性的的抽象，数数学在其发发展的早期期就表现出出解决因人人类实际需需要而提出出的各种问问题的功效效。随着数数学抽象程程度的提高高，数学与与现实世界界的联系有有时呈现出出曲折性，数数学理论往往往会领先先发展，但但这常常只只是重大应应用的前奏奏。数学的的发展史表表明，数学学的抽象越越是完善，其其渗透能力力就越强，应应用范围就就越广。220世纪是是一个纯粹粹数学与应应用数学相相互影响，共共同繁荣的的时代，应应用数学的的蓬勃发展展，已蔚成成当代数学

29、学的强大潮潮流，并表表现出与以以往时代不不同的鲜明明特征。在目前的基基础教育和和高等教育育教学中，尤尤其是在高高等工程技技术教育中中，重视数数学知识的的实际背景景，加强应应用数学意意识与能力力的培养，是是十分必要要和迫切的的任务。但但我们必须须清楚，数数学的巨大大应用威力力，正是源源于它在宇宇宙世界和和人类社会会的探索中中对最大限限度的一般般性即抽象象性的追求求。数学抽抽象作为一一种科学思思维的范式式，是现代代化人才不论其其从事何种种职业所必须具具备的基本本素质，虽虽然对不同同的人要求求可有所不不同。值得得指出的是是，数学抽抽象思维包包括了演绎绎证明、归归纳推理、算算法构思等等不同的方方面，应

30、该该是一个整整体的、全全面的概念念。我们在工程程类或管理理类专业教教育中，特特别强调数数学回归自自然，回归归工程实际际，回归技技术应用，但但我们不可可能摆脱数数学的抽象象性特点。在在这里把数数学教育的的目的定位位于应用能能力培养，是是非常正确确的，且最最重要的目目的是抽象象思维能力力培养，因因为会用抽抽象的方法法解决问题题，是高超超智慧的体体现。其实实，抓住现现实对象的的根本特征征进行抽象象性描述，往往往会使其其特征更明明了、简洁洁、直观。2 数学的高度度精确性数学的高度度精确性主主要表现在在数学定义义的准确性性、推理的的逻辑严格格性和数学学结论的确确定无疑性性与无可争争辩性。当当然，数学学严

31、格性不不是绝对的的，一成不不变的，而而是相对的的，发展的的，体现人人们的认识识逐渐深化化的过程。数学的逻辑辑严密性的的主要特征征是它的经经典部分有有一套科学学、简明的的公理系统统，这些公公理系统的的标志是：一，它有有一套基本本术语，或或原始概念念；二，它它有一组基基本命题，或或原始命题题，或公理理；三，其其余的概念念全由原始始概念出发发予以定义义，其余的的命题全由由公理出发发予以推理理论证。现现在，算术术，几何，微微积分，泛泛函分析，拓拓扑学，集集合论，群群论，概率率论等均已已建立在公公理化基础础上。它的的所有不能能是例证和和个别验证证，如著名名的歌德巴巴赫猜想，有有人用计算算机验证了了几百万

32、个个素数都是是对的，但但这仍不能能算证明了了歌德巴赫赫猜想。再再如对于下下面的二次次式我们可以验验证，当xx=1,22,100000时,都是素数数。可是我我们决不能能下结论对对所有的自自然数x, 是素数数。举出一一个反例，就就是x=7724900，因为 . 不不能用例证证得出结论论，任何结结论都必须须经过严密密的演绎推推断，数学学家核心任任务是根据据已知的结结论通过严严密演绎推推理证明新新的结论或或证实人们们的各种猜猜想等，而而其它学科科的专家们们只关心数数学结论极极其应用，不不必理解其其证明细节节，因此，从从事工程类类或管理类类专业数学学教育的工工作者，千千万不要以以教会数学学的严密证证明为

33、目的的，而是要要以帮助学学生分析理理解数学结结论、训练练应用方法法为主要任任务和目的的。3数学的的广泛应用用性自然科学发发展史表明明，任何学学科研究都都要经历从从定性到定定量研究的的过渡和飞飞跃。只要要该学科是是不介入实实验的，才才是该门学学科趋于成成熟的表现现。要做到到这一点，数数学学科是是个有力的的杠杆。似似乎可以这这样说，在在现代科学学技术十大大部门（引引自钱学森森19899年8月在在数学会教教育与科研研座谈会上上的讲话发发展我国的的数学学科科。他指指出的科学学技术十大大门类为：自然科学学、社会科科学、数学学科学、思思维科学、系系统科学、人人体科学、军军事科学、文文艺理论、行行为科学、地

34、地理科学）中中绝大部门门的素养和和训练中，数数学理论是是个终极的的目标，这这是由于在在各个部门门的有关现现象、规律律和结论只只有用准确确的数学语语言才能描描绘清楚。19世纪七七、八十年年代，还是是在现代数数学发展的的早期，恩恩格斯曾对对当时数学学应用的状状况作过这这样的估计计：“在固体力力学中是绝绝对的，在在气体力学学中是近似似的，在化化学中是简简单的一次次方程式，在在生物学中中等于零”。经过一一个多世纪纪的发展，可可以看到恩恩格斯所描描述的情况况有了根本本的改观。数数学正在向向包括从粒粒子物理到到生命科学学、从空间间科学到地地球科学在在内的一切切科学领域域进军。 数数学在物理理学中的应应用在

35、200世纪取得得了一系列列新的突破破。众所周周知，在相相对论和量量子力学的的创立和发发展中，数数学都建有有奇功：出出于纯粹数数学的兴趣趣而获得的的抽象成果果(张量分分析、无穷穷维空间等等)恰恰分分别为这两两种新兴的的物理理论论提供了现现成合用的的数学工具具。抽象数数学为物理理学新理论论准备了仿仿佛是定做做的工具。在在20世纪纪下半叶又又演出了精精彩的一幕幕，在物理理学家探索索统一场论论的艰难卓卓绝的努力力中，数学学家们发现现著名的杨杨米尔斯理理论所需要要的数学工工具早已存存在，物理理规范势实实际上就是是大范围微微分几何中中纤维丛上上的联络。 至至于现代化化学，描述述化学过程程少不了微微分方程和

36、和积分方程程，并且有有许多还是是连数学家家都感到棘棘手的非线线性方程。 生生物学不用用数学的时时代也已一一去不返。脍脍炙人口的的例子是：拓扑学(特别是其其中的扭结结理论)为为解开DNNA双螺旋旋结构之谜谜提供了一一把钥匙。人人类基因的的破译用到到更多的数数学知识。今今天，数理理统计应用用于遗传学学；概率论论应用于人人口统计和和种群理论论；微分方方程应用于于各种生物物模型的建建立；布尔尔代数应用用于神经网网络描述；这一切切已构成了了“生物数学学”的丰富内内容。 “数学物理理”、“数理化学学”、“生物数学学”、“数学地质质学”、“数理气象象学”，一连串串交叉学科科的形成说说明了数学学向其它自自然科

37、学领领域渗透的的广度。而而纯粹数学学中的一些些前沿与其其他科学的的许多前沿沿领域的快快速结合，则则反映了数数学渗透的的深度。可可以说没有有这些前沿沿数学就没没有当代物物理学的一一些前沿领领域如超弦弦理论、超超引力理论论等。事实实上，像超超弦理论这这样的物理理学热门分分支所用到到的数学，就就涉及微分分拓扑、代代数几何、微微分几何、群群论、无穷穷维代数、复复分析等等等。 除除了自然科科学，在经经济学、社社会学、历历史学等过过去认为不不适用数学学的社会科科学部门，数数学方法也也开辟了广广阔的用武武之地。数数学正在向向社会科学学和文化艺艺术领域广广泛渗透，这这是数学应应用不同于于以往时代代的崭新趋趋势

38、。数学学与一些社社会科学领领域相结合合也产生了了一系列交交叉学科，如如数理经济济学、数理理语言学、数数学考古学学、史衡学学等等。 数数学在经济济学中的应应用是很具具代表性的的例子。220世纪四四十年代以以来，经济济学研究的的数学化导导致了数理理经济学的的诞生，参参与这门交交叉学科建建立的有大大数学家冯冯诺依曼等等。五十年年代以后，数数学方法在在西方经济济学中占据据了重要地地位，以致致大部分的的诺贝尔经经济学奖都都被授予了了与数理经经济学有关关的工作。其其中如不久久前曾来北北京参加国国际数学家家大会并作作了公众讲讲演的美国国数学家JJ纳什，他他根据对策策论数学原原理提出非非合作对策策的“纳什均衡

39、衡”，成为当当前热门的的“双赢”概念的理理论基础。因因此说纳什什的数学研研究不仅将将改变经济济学的面貌貌，而且将将影响整个个社会科学学的未来，大大概不会过过分。又如如当前国际际金融市场场普遍使用用的期权定定价公式布莱克克斯科尔斯斯公式，实实际上是根根据高度抽抽象的数学学工具(随随机微分方方程)导出出的数学公公式，这一一公式被誉誉为“华尔街第第二次革命命”的起点，它它表明了抽抽象的数学学怎样可以以与人们的的社会经济济利益息息息相关。难难怪在四方方国家读经经济学位，学学习数学知知识的深度度和广度往往往比其它它学科都要要高。 现现代数学不不仅影响着着人们的经经济活动，而而且正在影影响着人们们的文化生

40、生活。数学学通过计算算机，正在在提供新的的艺术创作作手段和艺艺术产品，给给人们带来来全新的艺艺术享受。想想一想数码码音像、三三维动画，还还有那精美美绝伦的分分形绘画等等。数数学与艺术术相结合，正正在走进千千家万户。 还还是在上个个世纪的前前半叶，著著名社会活活动家WF怀特曾这这样写道：“数学化的的社会科学学将成为未未来文明的的控制因素素”。今日的的社会科学学离怀特预预言的目标标相距还远远，但200世纪应用用数学的发发展历程表表明，这方方面的前景景是光明的的。 现现代数学对对生产技术术的应用变变得越来越越直接。以以前数学工工具直接应应用于生产产技术的事事例虽有发发生，但数数学与生产产技术的关关系

41、基本上上是间接的的，往往是是先应用于于其他科学学(如力学学、物理学学、天文学学)，再由由这些科学学提供技术术进步的基基础。200世纪下半半叶以来，数数学与生产产技术的相相互作用正正在加强，数数学提供的的工具直接接推动技术术革新的频频率正在加加快，并在在许多情况况下产生出出巨大的经经济效益。 众所周知，数数学是历次次产业革命命的重要推推动因素。如如果说数学学间接地引引导了前两两次产业革革命(以微微积分为基基础的177、18世世纪科学的的高涨成为为以蒸汽机机等为主导导技术的第第一次产业业革命的先先导；与数数学分析的的进步密不不可分的119世纪数数学物理的的发展为以以发电机、无无线电通信信等为主体体

42、技术的第第二次产业业革命奠定定了理论基基础)，那那么它在220世纪发发生的第三三次产业革革命中则更更多地站到到了前台。例例如，如果果没有数学学家的参与与，就不可可能有现代代计算机技技术与庞大大的计算机机产业。数数学家对电电子计算机机的发明和和发展有不不可磨灭的的贡献。冯冯诺依曼是是第一台通通用电子计计算机(EENIACC)的主要要研制者之之一，他的的程序内存存思想至今今仍是现代代计算机的的主要设计计理念。英英国数学家家图灵的“理想计算算机”(“图灵机”)提供了了通用数字字计算机的的理论模型型。图灵本本人也是早早期电子计计算机研制制的元勋。值值得注意的的是，“图灵机”的提出完完全是为了了解决与数

43、数学基础有有关的一个个纯理论问问题(可判判定性问题题)。 除除了计算机机技术，数数值模拟已已成为航空空、航天设设计的有效效工具，类类似的数值值模拟方法法正在被应应用于包括括核工业在在内的许多多技术部门门，以代替替耗资巨大大的试验；19800年以来，小小波分析直直接应用于于通信、石石油勘探、图图像压缩等等技术领域域；现代医医学仪器工工业也离不不开数学(如CT扫扫描仪的研研制，就是是以现代数数学中所谓谓“拉东积分分”理论为基基础，有关关的科学家家因此荣获获了诺贝尔尔医学生理理学奖)，等等等。这样样的例子举举不胜举。 现现代数学正正在通过向向人类几乎乎所有的知知识领域空空前广泛地地渗透而影影响着人们

44、们的生活方方式物质的和和精神的生生活方式。 数数学的抽象象性与广泛泛应用性的的基本特征征，决定了了它的科学学地位与文文化价值。高高斯曾同时时将数学比比作科学的的“皇后”和“仆人”，这确是是恰当的评评价。数学学的抽象智智力成果，以以其逻辑的的威力和算算法的精密密将永远是是这门科学学的光荣所所在。但抽抽象的数学学语言与数数学结构，如如果不能服服务于其他他科学技术术领域，也也不可能享享有如此的的尊荣。正正确认识数数学这两方方面的特征征及相互关关系，对于于推动数学学科学的健健康发展至至关重要。 四、数学对对人类文明明和科技进进步的影响响其实上面对对数学广泛泛应用性的的描述中，我我们可以体体会到数学学对

45、人类文文明和科技技进步的影影响，但下下面我们就就19、220世纪里里数学在科科学中的作作用和影响响作进一步步的概述。“数学：科科学的王后和仆人”是已故故美国科学学院院士贝贝尔于19951年写写的一本书书的书名，该该书主要是是为数学圈圈子以外的的人写的，介介绍纯粹数数学和应用用数学的各各个方面，更更着重在说说明数学科科学的突出出重要性。这这本书实际际上是他11931年年写的科科学的女王王和19937年写写的科学学的女仆这这两本通俗俗数学读物物的合一修修订扩大版版。 按按常理，女女王是高雅雅、权威和和至尊至贵贵的，是阳阳春白雪，在在科学中只只有纯粹数数学才具有有这样的特特点。简洁洁明了的数数学定理

46、一一经证明就就是永恒的的真理，极极其优美而而且无懈可可击。另一一方面，科科学和工程程的各个分分支都在不不同程度上上大量使用用数学，享享受着数学学的贡献。这这时数学科科学就是仆仆人，英文文书名中sservaant这个个字在英文文里有“供人们利利用之物，有有用的服务务工具”的意思。 首首先，我们们来回顾一一下形成我我们现在这这个飞速发发展的信息息社会的所所有重大科科学理论在在发展和完完善过程中中数学所起起到的不可可或缺的作作用。 220世纪最最大的科学学成就莫过过于爱因斯斯坦的狭义义和广义相相对论了，但但是如果没没有黎曼于于18544年发明的的黎曼几何何，以及凯凯莱，西勒勒维斯特和和诺特等数数学家

47、发展展的不变量量理论，爱爱因斯坦的的广义相对对论和引力力理论就不不可能有如如此完善的的数学表述述。爱因斯斯坦自己也也不止一次次地说过这这一点。例例如，19912年夏夏他已经概概括出新的的引力理论论的基本物物理原理，但但是为了实实现广义相相对论的目目标，还必必须寻求理理论的数学学结构，爱爱因斯坦为为此花了33年的时间间，最后，在在数学家MM格拉斯曼曼的介绍下下掌握了发发展相对论论引力学说说所必需的的数学工具具以黎曼几几何为基础础的绝对微微分学，也也就是爱因因斯坦后来来所称的张张量分析。在在19155年11月月25日发发表的一篇篇论文中，爱爱因斯坦终终于导出了了广义协变变的引力场场方程，在在该文中

48、他他说：“由于这组组方程，广广义相对论论作为一种种逻辑结构构终于大功功告成！”广义相对对论的数学学表达第一一次揭示了了非欧几何何的现实意意义，成为为历史上数数学应用最最伟大的例例子之一。他他还说过“事实上，我我是通过她她(诺特)才能在这这一领域内内有所作为为的。” 如如果没有凯凯莱在18858年发发展的矩阵阵数学及其其后继者的的进一步发发展，海森森伯和狄拉拉克就无法法开创现代代物理学量量子力学方方面的革命命性工作。狄狄拉克甚至至说，创建建物理理论论时，“不要相信信所有的物物理概念”，但是要要“相信数学学方案，甚甚至表面上上看去，它它与物理学学并无联系系。” 整整个电磁场场的理论是是由马克斯斯威尔方程程组表述的的，但是“虽然场的的理论起源源应归功于于英国物理理学家法拉拉第，但法法拉第不是是数学家，他他没能发展展这个概念念。经过马马克斯威尔尔之手，电电场理论得得到了精确确的描述，成成为以后所所有场论的的模式。” 整整个流体运运动的理论论是由纳维维托克斯方