环境规划与管理的数学基础12858.docx

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1、第四章环境规划与管理的数学基础第一节环境境数据处理理方法一、数据的的表示方法法1、列表法法例：研究电电阻的阻值值与温度的的关系时，测测试结果如如下：测量序号温度t/电阻R/1105104222941092342711324600118057501224691012672、图示法法n 图示法的第第一步就是是按列表法法的要求列列出因变量量y与自变量量x相对应的的yi与xi数据表格格。n 作曲线图时时必须依据据一定的法法则，只有有遵守这些些法则，才才能得到与与实验点位位置偏差最最小而光滑滑的曲线图图形。n 坐标纸的选选择-常用的的坐标系为为直角坐标标系，包括括笛卡尔坐坐标系（又又称普通直直角坐标系系

2、）、半对对数坐标系系和对数坐坐标系。 半对数坐标标系 半对数坐标的标度法 一个轴是分分度均匀的的普通坐标标轴，另一一个轴是分分度不均匀匀的对数坐坐标轴。 右图中的横横坐标轴（x轴）是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。3、插值法法计算数值值（1）作图图插值法例：用分光光光度计法法测定溶液液中铁的含含量,测得标准准曲线数据据如下：Fe （g/mLL） 22 4 6 8 100 12吸光度（AA） 00.0977 0.200 0.304 0.408 0.510 0.613测得未知液液的吸光度度

3、为0.4413，试试求未知液液中铁的含含量。在图的纵坐坐标上0.413处处找到直线线上对应点点，读出其其对应的横横坐标即为为未知液中中铁的含量量 8.1122（2）比例例法（3）牛顿顿内插公式式一般的非线线性函数都都可以展开开为多项式式（二）数据据特征n 数据特征是是对环境总总体状况进进行估计判判断的基础础，是认识识数据理论论特性的基基本出发点点，通常可可分为以下下三类：n 位置特征数数:表示数据据集中趋势势或刻画频频数分布图图中心位置置的特征数数；n 离散特征数数:用来描述述数据分散散程度；n 分布形态特特征数:刻划了根根据所获数数据绘制的的分布曲线线图的形态态。1. 位置置特征数（1）算术

4、术平均数：式中：x11, x22, , xnn为样本个个体数据，n为样本个数（2）加权权平均数如果样本个个体数据xx1, x2, , xn取值因频频数不同或或对总体重重要性有所所差别，则则常采取加加权平均方方法。式中：wii是个体数数据出现频频数，或是是因该个体体对样本贡贡献不同而而取的不同同的数值。（5）中位位数n 环境数据有有时显得比比较分散，甚甚至个别的的数据离群群偏远，难难以判断去去留，这时时往往用到到中位数。n 样本数据依依次排列（从从大到小或或者从小到到大）居中中间位置的的数即为中中位数，若若数据个数数为偶数，则则中位数为为正中两个个数的平均均值。n 只有当数据据的分布呈呈正态分布

5、布时，中位位数才代表表这组数据据的中心趋趋向，近似似于真值。1. 位置置特征数n 环境统计中中常常用到到几何平均均数。不同的平均均值都有各各自适用场场合，选择择的平均数数指标应能能反映数据据典型水平平，并非随随意采用。几何平均直径：2. 离散散特征数3. 分布布形态特征征数二、异常数数据的剔除除n 在处理实验验数据的时时候，我们们常常会遇遇到个别数数据偏离预预期或大量量统计数据据结果的情情况，如果果我们把这这些数据和和正常数据据放在一起起进行统计计，可能会会影响实验验结果的正正确性，如如果把这些些数据简单单地剔除，又又可能忽略略了重要的的实验信息息。这里重重要的问题题是如何判判断异常数数据，然

6、后后将其剔除除。判断和和剔除异常常数据是数数据处理中中的一项重重要任务，目目前的一些些方法还不不是十分完完善，有待待进一步研研究和探索索。n 目前人们对对异常数据据的判别与与剔除主要要采用物理理判别法和和统计判别别法两种方方法。n 物理判别法法就是根据据人们对客客观事物已已有的认识识，判别由由于外界干干扰、人为为误差等原原因造成实实测数据偏偏离正常结结果，在实实验过程中中随时判断断，随时剔剔除。n 统计判别法法是给定一一个置信概概率，并确确定一个置置信限，凡凡超过此限限的误差，就就认为它不不属于随机机误差范围围，将其视视为异常数数据剔除。n 剔除异常数数据实质上上是区别异异常数据由由偶然误差差

7、还是系统统误差造成成的问题。n 若是人为因因素的偶然然误差就应应剔除，如如果没有足足够的理由由证实是偶偶然过失造造成的时候候，应对数数据进行统统计处理，采采用一定的的检验方法法来决定取取舍。n 本节着重介介绍统计判判别法。1.拉依达达准则若可疑数据据xp与样本本数据之算算术平均值值的偏差的的绝对值大大于3倍（2倍）的标标准偏差，即即：则应将xpp从该组数数据中剔除除，至于选选择3s还是2s与显著著性水平有关，显显著性水平平表示的是是检验出错错的几率为为，或检验验的可置信信度为1。3s相当于于显著水平平0.001，2s相当于于显著水平平0.005。2. 格拉拉布斯准则则用格拉布斯斯准则检验验可疑

8、数据据xp时，选取取一定的显显著性水平平，若：则应将xpp从该组数数据中剔除除，称为格格拉布斯检检验临界值值，可查相相关表格得得到。以上准则是是以数据按按正态分布布为前提的的，当偏离离正态分布布, 特别是是测量次数数很少时，则则判断的可可靠性就差差。因此，对对粗大误差差除用剔除除准则外，更更重要的是是要提高工工作人员的的技术水平平和工作责责任心。另另外, 要保证证测量条件件稳定，防防止因环境境条件剧烈烈变化而产产生的突变变影响。3.狄克逊逊（dixxon）法法n 狄克逊研究究了n次测量结结果，按其其数值大小小排列成如如下次序：n 当xi服从从正态分布布时n 用不同的公公式求得ff 值，再再经过

9、查表表，得到相相应的临界界值，进行行比较,若计算值值f(nn，)视为异常常值，舍弃弃；再对剩剩余数值进进行检验，直直到没有异异常值为止止。狄克逊逊通过模拟拟实验认为为：n7，使用f10；8n10，用f11；11n13，用f21；n14，用f22效果好好。例题n 用狄克逊法法判断下列列测试数据据(40.02，40.115，40.220，40.113，40.116)中的的40.002是否应应舍弃？n 解：将数据据排列，取取 =0.05 n 40.022 440.133 440.155 440.166 440.200n ，0.61110.6442n 所以40.02应保保留。三、数据的的误差分析析（一

10、）几种种误差的基基本概念例题: 滴定的体体积误差V绝对误差相对误差20.000 mL0.02 mL0.1%2.00 mL0.02 mL1.0%（二）误差差的来源及及分类1. 随机机误差随机误差是是在一定条条件下以不不可预知的的规律变化化着的误差差。这些偶偶然因素是是操作者无无法严格控控制的，故故无法完全全避免随机机误差。但但它的出现现一般具有有统计规律律，大多服服从正态分分布。2. 系统统误差系统误差是是指由某个个或某些不不确定的因因素所引起起的误差。当当条件一旦旦确定，系系统误差就就是一个客客观上的恒恒定值，它它不能通过过多次测量量取平均值值的方法来来消除，只只能根据仪仪器的性能能、环境条条

11、件或个人人偏差等进进行校正，使使之降低。3. 过失失误差过失误差是是由于操作作人员不仔仔细、操作作不正确等等原因引起起的，它是是可以完全全避免的。（三）误差差分析n 误差可能是是由于随机机误差或系系统误差单单独造成的的，还可能能是两者的的叠加。误误差分析中中，常采用用精密度、正正确度和准准确度来表表示误差的的性质。n 精密度反映映了随机误误差大小的的程度，是是指在相同同条件下，对对被测对象象进行多次次反复测量量，测量值值之间的一一致(符合)程度。n 正确度指测测量值与其其“真值”的接近程程度。n 对于一组数数据来说，精精密度高并并不意味着着正确度也也高；反之之，精密度度不好，但但当测量次次数相

12、当多多时，有时时也会得到到好的正确确度。n 准确度指被被测对象测测量值之间间的一致程程度以及与与其“真值”的接近程程度。准确度、正正确度和精精密度的关关系四、数据的的标准化处处理n 在大批的环环境统计数数据中，当当数据的物物理量不同同、单位或或量值差别别较大时，常常常会给下下一步分析析带来困难难，这时就就有必要对对数据进行行标准化处处理，从而而提高计算算的精度。n 环境管理与与规划中，常常采用下面面的公式进进行标准化化处理：第二节最优优化分析方方法一、线性规规划在环境规划划管理中，线线性规划常常常用来解解决两类优优化问题：一是如何何优化资源源配置使产产值最大或或利润最高高，二是如如何统筹安安排

13、以便消消耗最少的的资源或排排放最少的的污染物。一般线性规规划问题的的求解，最最常用的算算法是单纯纯形法。二、非线性性规划在环境规划划与管理中中，某些问问题的决策策模型可能能会出现下下面的情况况：目标函数数非线性，约约束条件为为线性；目标函数数为线性，约约束条件非非线性；目标函数数与约束条条件均为非非线性函数数。上述情情况均属于于非线性规规划问题，其其数学模型型的一般形形式是：n 数值求解非非线性规划划的算法大大体分为两两类：n 一是采用逐逐步线性逼逼近的思想想，通过一一系列非线线性函数线线性化的过过程，利用用线性规划划获得非线线性规划的的近似最优优解；n 二是采用直直接搜索的的思想，根根据部分

14、可可行解或非非线性函数数在局部范范围内的某某些特性，确确定迭代程程序，通过过不断改进进目标值的的搜索计算算，获得最最优或满足足需要的局局部最优解解。三、动态规规划n 在环境规划划管理中，经经常遇到多多阶段最优优化问题，即即各个阶段段相互联系系，任一阶阶段的决策策选择不仅仅取决于前前一阶段的的决策结果果，而且影影响到下一一阶段活动动的决策，从从而影响到到整个决策策过程的优优化问题。这这类问题通通常采用动动态规划方方法求解。n 基本原理为为：作为多多阶段决策策问题，其其整个过程程的最优策策略应具有有这样的性性质，即无无论过去的的状态和决决策如何，对对前面的决决策所形成成的状态而而言，其后后一系列决

15、决策必须构构成最优决决策。n 可以把多阶阶段决策问问题分解成成许多相互互联系的小小问题，从从而把一个个大的决策策过程分解解成一系列列前后有序序的子决策策过程，分分阶段实现现决策的“最优化”，进而实实现“总体最优优化”方案。为为使最后决决策方案获获得最优决决策效果，动动态规划求求解可用下下列递推关关系式表示示：第三节常用用决策分析析方法n 决策是指通通过对解决决问题备选选方案的比比较，从中中选出最好好的方案。n 决策贯穿于于环境管理理与规划的的各个方面面，是管理理与规划的的核心。决策技术n 技术经济分分析中的决决策，是指指对多方案案进行评价价与择优，从从而选定一一个最满意意的方案。n 决策的分类

16、类n 按决策的条条件n 确定型n 非确定型n 风险型n 按决策的对对象n 宏观n 微观n 按决策在企企业组织中中的地位分分类n 高层决策n 中层决策n 基层决策决策树法n 决策树技术术的含义n 是把方案的的一系列因因素按它们们的相互关关系用树状状结构表示示出来，再再按一定程程序进行优优选和决策策的技术方方法。n 决策树技术术的优点n 便于有次序序、有步骤骤、直观而而又周密地地考虑问题题；n 便于集体讨讨论和决策策；n 便于处理复复杂问题的的决策。决策树图形形n 适用对象n 多阶段决策策、前一阶阶段的决策策影响后续续阶段的结结构和决策策的项目。n 方法n 用决策树的的形式列出出决策问题题的逻辑结

17、结构。n 从决策树的的末端向决决策点倒退退，计算出出不同决策策方案下的的期望值，将将未占优的的方案去掉掉，直到得得出初始的的决策方案案。运用决策树树技术的步步骤（1）绘制制决策树图图；（2）预计计可能事件件（可能出出现的自然然状态）及及其发生的的概率；（3）计算算各策略方方案的损益益期望值；（4）比较较各策略方方案的损益益期望值，进进行择优决决策。若决策目标标是效益，应应取期望值值大的方案案；若决策策目标是费费用或损失失，应取期期望值小的的方案。决策树例题题（参考书书目：环境境管理学-杨贤智编编著）有一石油化化工企业，对对一批废油油渣进行综综合利用。它它可以先作作实验，然然后决定是是否综合利利

18、用；也可可以不作实实验，只凭凭经验决定定是否综合合利用。作作实验的费费用每次为为30000元，综合合利用费每每次为100000元元。若做出出产品，可可收入400000元元；作不出出产品，没没有收入。各各种不同情情况下的产产品成功概概率均已估估计出来，都都标在图11上。试问问欲使收益益期期望值值为最大，企企业应如何何作出决策策。根据图中给给出之数据据求解。决决策树采用用逆顺序计计算法。1 计算事件点点、的期望值值4000000.85500.1553400004000000.10000.900400004000000.55500.455220000原决策树根根据以上算算出的期望望值可简化化为（图2

19、2a）：2.在决策策点2、3、4作出决策策2 按maax（340000100000），0240000，决定定综合利用用。3按maxx（40000100000），00，决定不不综合利用用。4按maxx（220000100000），0120000，决定定综合利用用。决策树继续续简化为（图图2b）：3.计算状状态点的期望值值：2400000.600.41440004.在决策策1作出决策策。5.最后得得出整个问问题的决策策序列为：不作实验验、直接综综合利用，收收入期望值值为120000元。二、决策矩矩阵n 决策矩阵又又称为损益益矩阵，它它是利用损损益的期望望值进行决决策，常用用于有限条条件下资源源分配

20、的最最优化决策策问题。三、多目标标决策方法法n 在环境管理理与规划问问题中,同时存在在着多个目目标，每个个目标都要要求达到其其最优值，并并且各目标标之间往往往存在着冲冲突和矛盾盾，这类问问题就是多多目标决策策问题。解解决这类决决策问题的的方法就是是多目标决决策方法。第四节环境境数学模型型一、数学模模型概述n 环境数学模模型是应用用数学语言言和方法来来描述环境境污染过程程中的物理理、化学、生生物化学、生生物生态以以及社会等等方面的内内在规律和和相互关系系的数学方方程。n 它是建立在在对环境系系统进行反反复的观察察研究，通通过实验或或现场监测测，取得大大量的有关关信息和数数据，进而而对所研究究的系

21、统行行为动态、过过程本质和和变化规律律有了较深深刻认识的的基础上，经经过简化和和数学演绎绎而得出的的一些数学学表达式，这这些表达式式描述了环环境系统中中各变量及及其参数间间的关系。一、数学模模型概述n 环境数学模模型主要应应用于环境境规划与管管理、环境境影响评价价和环境质质量预测几几个方面，其其类型主要要包括大气气扩散模型型、水文与与水动力模模型、水质质模型、土土壤侵蚀模模型、沉积积物迁移模模型和物种种栖息地模模型等，每每一类模型型又可按模模型的空间间维数、时时间相关性性、数学方方程特征等等来进行分分类.二、模型建建立建立数学模模型的步骤骤(一)建模模准备n 了解问题的的实际背景景，明确建建模

22、目的，搜搜集必需的的各种信息息，尽量弄弄清对象的的特征。(二)模型型假设n 根据对象的的特征和建建模目的，对对问题进行行必要的、合合理的简化化，用精确确的语言作作出假设，是是建模至关关重要的一一步，建模模者能充分分发挥想象象力、洞察察力和判断断力，善于于辨别主次次，而且为为了使处理理方法简单单，应尽量量使问题线线性化、均均匀化。二、模型建建立建立模型的的方法1、图解法法n 采用点和线线组成的用用以描述系系统的图形形称为图模模型，可用用于描述自自然界和人人类社会中中大量事物物和实物之之间的关系系。n 图模型形象象、直观，对对决策者了了解系统结结构和功能能之间的关关系很有帮帮助。但图图解建模法法作

23、为一种种描述性方方法，往往往精确度较较差，而且且受人的视视觉影响而而局限于三三维空间中中，因此它它通常作为为建立系统统方程式模模型的辅助助分析工具具来用。2、质量平平衡法n 根据质量平平衡原则建建立微分方方程是最常常用的建立立白箱模型型的方法。n 应用质量平平衡方法必必须知道物物质流的方方向和通量量，污染物物质反应的的方式和速速度，以及及各种污染染物之间的的相关关系系和关联作作用。n 环境数学模模型中很多多都是在质质量平衡的的基础上建建立的。值值得注意的的是，几乎乎每一个利利用质量平平衡原则建建立的模型型中都包含含了一个或或多个待定定参数，它它们一般很很难由过程程的机理确确定，且数数值又随时时

24、间、空间间变化，因因此需要借借助于大量量的观测数数据最终确确定参数。3、概率统统计法n 回归分析法法建立在对对客观事物物进行大量量试验和观观察的基础础上，是一一种用来寻寻找隐藏在在某些现象象中的规律律性的数理理统计方法法。n 回归分析法法就是通过过分析因素素之间的因因果关系和和影响程度度进行预测测，用过去去和现在的的环境监测测数据确定定函数关系系式，按最最小二乘法法原则确定定函数式中中的参数值值，进而建建立回归预预测模型，用用于预测环环境要素特特征发展变变化的规律律。3、概率统统计法n 根据变量之之间函数形形式的不同同，回归分分析分为线线形回归和和非线性回回归；根据据自变量个个数的多少少，可分

25、为为一元回归归和多元回回归。n 根据数据处处理方法的的不同，时时间序列预预测方法主主要分为移移动平均法法、加权滑滑动平均法法和指数平平均法。三、模型参参数的估值值方法由于环境系系统中的模模型基本上上都是灰箱箱模型，其其中至少存存在着一个个待定参数数，因此参参数的估计计是建立环环境数学模模型非常重重要的一项项工作。下下面介绍几几种主要的的估值方法法。（一）图解解法凡是给定的的公式或数数据可以直直接描述成成一条直线线，或经过过一定处理理后可以转转化为直线线时，常常常采用图解解法估计参参数。作图图时，将自自变量x和因变量量y标注在直直角坐标系系中，确定定每一个数数据点位，把把所有的点点位连接起起来，

26、形成成一条直线线，其数学学表达式为为：Y=b + ax（4-211）式中：a是是直线的斜斜率，b是直线在在y轴上的截截距。（二）经验验公式法根据长时期期的实际经经验，人们们提出了许许多经验公公式来估计计数学模型型中的相关关参数。应应注意的是是，使用经经验公式要要求该系统统条件与建建立经验公公式的条件件一致或相相近，否则则就会出现现很大偏差差。（三）线性性回归法此法适用于于自变量xxi(i=1,22,n)与因变量量y呈一次线线性关系的的情况。线线性回归分分析有两个个基本假设设：一是所所有的自变变量的值xxij(j=1,22,m)均不存在在误差，因因变量的值值含有测量量误差；二二是与各测测量值拟合

27、合得最好的的线性方程程：y=a1x1+a2x2+aixii+anxxn+b是能使各点点到直线的的竖向偏差差的平方和和最小的直线线。根据极极值存在的的条件，分分别对Z做ai、b的一阶偏偏导，使：由此可以求求得偏差平平方和Z最小时的的参数值aai(i=1,22,n)、b。四、模型的的检验n 数学模型只只能近似地地反映实际际问题中的的关系和规规律，到底底反映得好好不好，还还需要接受受检验，如如果数学模模型建立得得不好，没没有正确地地描述所给给的实际问问题，数学学解答再正正确也是没没有用的。因因此，在得得出数学解解答之后还还要让所得得的结论接接受实际的的检验，检检验其是否否合理和是是否可行等等。n 所

28、谓检验就就是用独立立于确定参参数时所用用数据的新新观测数据据与模型的的计算值相相比较，进进行误差分分析，进行行数据稳定定性分析，如如果不符合合实际，还还应设法找找出原因，修修改原来的的模型，重重新求解和和检验，直直到比较合合理可行，才才能算是得得到了一个个解答。但但是，十全全十美的答答案是没有有的，已得得到的解答答仍有改进进的余地，可可以根据实实际情况，或或者继续研研究和改进进；或者暂暂时告一段段落，待将将来有新的的情况和要要求后再作作改进。n 检验包括两两部分，一一是检验模模型的计算算结果和实实际观测数数据之间的的吻合程度度，二是对对模型进行行灵敏度分分析。其中中灵敏度分分析用来估估计模型计

29、计算结果的的偏差，本本节仅介绍绍模型的吻吻合度检验验方法。四、模型的的检验（1）相关关系数法n 相关系数法法假设观测测值和计算算值存在一一定的线性性关系：习题1. 计算算下面数据据的各种平平均值、标标准差、算算术平均误误差和级差差。0.83，0.766，0.899，0.733，0.922，0.811，0.922，0.755，0.888，0.799，0.900，0.8442. 对某某合金中铜铜的含量进进行测定，不不同的人员员测定的数数据为：556.911，57.113，57.221，57.336，57.441，58.449，58.556，59.111，59.776，60.331，试用用格拉布斯斯准则检验验是否有应应舍去的数数据。3. 有一一组三因子子数据：xx1=(1, 3, 4, 55)，x2=(0.2, 00.3, 0.4)，x3=(322, 355, 366)，试对对它们进行行标准化处处理。