2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第三章 函数及其图象 第12讲 二次函数精练.doc

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1、1第第 1212 讲讲 二次函数二次函数A A 组组 基础题组基础题组一、选择题一、选择题1.(2018 陕西)对于抛物线 y=ax2+(2a-1)x+a-3,当 x=1 时,y0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2018 威海)抛物线 y=ax2+bx+c(a0)如图所示,下列结论错误的是( )A.abc4ac D.2a+b03.(2017 甘肃兰州)将抛物线 y=3x2-3 向右平移 3 个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-64.如图,一次函数 y1=

2、kx+n(k0)与二次函数 y2=ax2+bx+c(a0)的图象相交于 A(-1,5),B(9,2)两点,则关于 x 的不等式 kx+nax2+bx+c 的解集为( )A.-1x9B.-1x1)的图象与 x 轴交点的判断,正确的是( )3A.没有交点B.有一个交点,且它位于 y 轴右侧C.有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧2.(2018 枣庄)下图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,且过点 A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线 x=1,下列结论正确的是( )A.b20C.2a-b=0D.a-b+c=03.(2018 潍坊)已知二次函数

3、y=-(x-h)2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2x5 时,与其对应的函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为( )A.3 或 6 B.1 或 6 C.1 或 3 D.4 或 64.(2018 菏泽)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一次函数 y=bx+a 与反比例函数 y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) + + 二、填空题二、填空题5.(2017 青岛)若抛物线 y=x2-6x+m 与 x 轴没有交点,则 m 的取值范围是 . 6.(2018 淄博)已知抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),将这条抛物线

4、向右平移 m(m0)个单位,平移后的抛物线与 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧),若B,C 是线段 AD 的三等分点,则 m 的值为 . 三、解答题7.(2017 广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x2+ax+b 交 x 轴于 A(1,0),B(3,0)两点,点P 是抛物线上在第一象限内的一点,直线 BP 与 y 轴相交于点 C.4(1)求抛物线 y=-x2+ax+b 的解析式;(2)当点 P 是线段 BC 的中点时,求点 P 的坐标;(3)在(2)的条件下,求 sinOCB 的值.8.(2018 陕西)已知抛物线 L:y=x2+x-6 与 x 轴相交于 A、B

5、两点(点 A 在点 B 的左侧),并与y 轴相交于点 C.(1)求 A、B、C 三点的坐标,并求ABC 的面积;(2)将抛物线 L 向左或向右平移,得到抛物线 L,且 L与 x 轴相交于 A、B两点(点 A在点B的左侧),并与 y 轴相交于点 C,要使ABC和ABC 的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练二次函数的综合应用培优训练一、选择题一、选择题1.向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 千米,且时间与高度的关系为 y=ax2+bx.若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的 ( )A.第 9.5 秒B.第 10

6、 秒C.第 10.5 秒 D.第 11 秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)的关系式是 h=- t2+12t+30,若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆3 2需要的时间为( )A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s53.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分如图所示,x=-1 是对称轴,下列结论: y2;将抛物线沿 x 轴向(32,2)右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为 y=a(x2-9).其中正确的是( )A.B.C.D.二、填空题二、填空题4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物

7、分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度 t/-4-2014植物高度增长量 l/mm4149494625科学家经过猜想并推测出 l 与 t 之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 . 5.如图,直线 y=mx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 A(-1,p),B(4,q)两点,则关于 x 的不等式mx+nax2+bx+c 的解集是 . 三、解答题三、解答题6.旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数.发现每天的运营规律如下:当

8、 x 不超过 100元时,观光车能全部租出;当 x 超过 100 元时,每辆车的日租金每增加 5 元,租出去的观光车就会减少 1 辆.已知所有观光车每天的管理费是 1 100 元.6(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是 200 元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是 400 元/台时,可售出 200 台,且售价每降低 10 元

9、/台,就可多售出 50 台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台,代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务.(1)试确定月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式;(2)求售价 x 的范围;(3)当售价 x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w(元)最大?最大利润是多少?8.如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a0)相交于 A和 B(4,m)两点,点 P 是线段(1 2,5 2)AB 上异于 A、B 的动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P 点,

10、使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.79.如图,直线 y=-x+3 与 x 轴,y 轴分别交于 B(3,0),C(0,3)两点,抛物线 y=ax2+bx+c 过A(1,0),B,C 三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方的一个动点,过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N,求线段 MN的最大值;(3)在(2)的条件下,当 MN 取得最大值时,在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P,使PBN 是以BN 为腰的等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在矩形 OABC 中,点 O 为原点,点

11、A 的坐标为(0,8),点 C 的坐标为(6,0).抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A、C,与 AB 交于点 D.4 9(1)求抛物线的函数解析式;(2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合),点 Q 为线段 AC 上一个动点,AQ=CP,连接 PQ,设 CP=m,CPQ 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数表达式;当 S 最大时,在抛物线 y=- x2+bx+c 的对称轴 l 上是否存在点 F,使DFQ 为直角三角形,4 9若存在,请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.811.如图 1,平面直角坐标系中,二次函数 y=- x2+bx+c 的图象与

12、坐标轴分别交于点 A、B、C,其1 4中点 A(0,8),OB= OA.1 2(1)求二次函数的表达式;(2)若 OD=OB,点 F 为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E 为 DF 的中点.当CEF 的面积最大时,求出点 E 的坐标;如图 2,将CEF 绕点 E 旋转 180,C 点落在 M 处,若 M 点恰好在该抛物线上,求出此时CEF 的面积.12.如图,直线 y=-x+2 与 x 轴交于 B 点,与 y 轴交于 C 点,A 点坐标为(-1,0).9(1)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(2)在直线 BC 上方的抛物线上有一点 D,过 D 作 DEBC 于 E,作 DFy 轴交

13、 BC 于 F,求DEF周长的最大值;(3)在满足第(2)问的条件下,在线段 BD 上是否存在一点 P,使DFP=DBC.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C.抛物线1 2y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=- 且经过 A、C 两点,与 x 轴的另一交点为点 B.3 2(1)求二次函数 y=ax2+bx+c 的表达式;(2)若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点,连接 PA,PC,BC.求四边形 PABC 面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标;(3)抛物线上是否存在点 M,过点 M

14、 作 MN 垂直 x 轴于点 N,使得以点 A,M,N 为顶点的三角形与ABC 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.第第 1212 讲讲 二次函数二次函数A A 组组 基础题组基础题组一、选择题一、选择题101.C 当 x=1 时,y=a+2a-1+a-30,解得 a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-0, 2b0,由抛物线与 y 轴的交点可知:c0,abc2,4 - 2 4a4ac,故 C 正确;D.对称轴 x=-1,=(-2a)2-4a=4a(a-1)0,ax2-2ax+1=0 有两个不相等的实数根,即函数图象与 x 轴有两个交点,x=0,故选 D.2 -4( - 1)2

15、2.D 抛物线与 x 轴有两个交点,b2-4ac0,即 b24ac,所以 A 选项错误;抛物线开口向上,a0,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,c5.当 h5,2x5 时,y 随 x 的增大而增大,故当 x=5 时,y 有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知 h=1 或 6.故选 B.4.B 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,a0,该抛物线对称轴位于 y 轴的右侧,a、b 异号,即 b9解析 抛物线 y=x2-6x+m 与 x 轴没有交点,9.6.答案 2解析 如图,B,C 是线段 AD 的三等分点,14AC=BC=BD,由题意得:AC=

16、BD=m,当 y=0 时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,A(-3,0),B(1,0),AB=3+1=4,AC=BC=2,m=2,故答案为 2.三、解答题三、解答题7.解析 (1)把 A(1,0),B(3,0)代入抛物线 y=-x2+ax+b,得解得0 = - 1 + + , 0 = - 9 + 3 + ,? = 4, = - 3.?抛物线的解析式为 y=-x2+4x-3.(2)当点 P 是线段 BC 的中点时,易得点 P 的横坐标为 ,3 2当 x= 时,y= ,3 23 4所以点 P 的坐标为.(3 2,3 4)(3)由(2)得点 C 的坐标为,(0,3

17、 2)OC= ,又 OB=3,3 215BC=.2+ 23 52sinOCB=. 33 522 558.解析 (1)令 y=0,得 x2+x-6=0,解得 x=-3 或 x=2,A(-3,0),B(2,0).AB=5,令 x=0,得 y=-6,C(0,-6),OC=6,SABC= ABOC= 56=15.1 21 2(2)由题意得 AB=AB=5.要使 SABC=SABC,只要抛物线 L与 y 轴的交点为 C(0,-6)或 C(0,6)即可.设所求抛物线 L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.抛物线 L与抛物线 L 的顶点的纵坐标相同,=,=,24 - 24- 24 - 1 4- 24

18、- 2 4- 24 - 1 4解得 m=7,n=1(n=1 舍去).抛物线 L的函数表达式为 y=x2+7x+6,y=x2-7x+6 或 y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练二次函数的综合应用培优训练一、选择题一、选择题1.C 当 x=7 时,y=49a+7b;当 x=14 时,y=196a+14b.根据题意得 49a+7b=196a+14b,b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,16得当 x=-=10.5 时,y 最大,即高度最高. 2故选 C.2.B 礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,高度 h 取最大值时,t=-, 2即 t=-=4.122 (

19、-3 2)故选 B.3.D 二次函数的图象开口向下,a0, y2,故正确;设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2+k,17将抛物线沿 x 轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式 y=ax2+k,c=-8a,a+k=-8a,k=-9a,将抛物线沿 x 轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为 y=ax2-9a,即 y=a(x2-9),故正确.正确结论为.故选 D.二、填空题二、填空题4.答案 -1解析 设 l=at2+bt+c(a0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组 = 49, + + = 46, 16 + 4 + = 25,?解得 = - 1, = - 2, =

20、49,?所以 l 与 t 之间的二次函数解析式为 l=-t2-2t+49,当 t=-=-1 时,l 有最大值 50, 2即最适合这种植物生长的温度是-1 .5.答案 x4解析 由题图可知,当 x4 时,直线 y=mx+n 的图象在抛物线 y=ax2+bx+c 的上方,不等式 mx+nax2+bx+c 的解集为 x4.三、解答题三、解答题6.解析 (1)由题意知,若观光车能全部租出,则 00,解得 x22,x 是 5 的倍数,每辆车的日租金至少应为 25 元.(2)设每天的净收入为 y 元,当 0100 时,y2=x-1 100(50 - - 100 5)=50x- x2+20x-1 1001

21、5=- x2+70x-1 1001 5=- (x-175)2+5 025,1 5当 x=175 时,y2的最大值为 5 025,5 0253 900,故当每辆车的日租金为 175 元时,每天的净收入最多,是 5 025 元.7.解析 (1)根据题中条件售价每降低 10 元/台,月销售量就可多售出 50 台,则月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式为 y=200+50,化简得 y=-400 - 105x+2 200.(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台,代理销售商每月要完成不低于450 台的销售任务,则 300, - 5 + 2 200 450,?解得

22、300x350.所以售价 x 的范围为 300x350.(3)w=(x-200)(-5x+2 200),整理得 w=-5(x-320)2+72 000.x=320 在 300x350 内,当 x=320 时,w 有最大值,为 72 000,即售价定为 320 元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大,最大利润是72 000 元.198.解析 (1)B(4,m)在直线 y=x+2 上,m=6,即 B(4,6),A和 B(4,6)在抛物线 y=ax2+bx+6 上,(1 2,5 2)(12)2+1 2 + 6 =5 2, 16 + 4 + 6 = 6,?解得 = 2, = - 8

23、,?抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6.(2)存在.设动点 P 的坐标为(n,n+2),点 C 的坐标为(n,2n2-8n+6),PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+,( -9 4)249 8-20,抛物线开口向下,有最大值,当 n= 时,线段 PC 的长有最大值.9 449 89.解析 (1)由题意将点 A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线 y=ax2+bx+c 中,得解得 + + = 0, 9 + 3 + = 0, = 3,? = 1, = - 4, = 3,?抛物线的解析式为 y=x2-4x+3.(2)设点 M 的坐标为(m,m2-4m+3

24、),MNy 轴,点 N 的坐标为(m,-m+3).A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点 M 是抛物线在 x 轴下方的一个动点.1m3.线段 MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-+ ,( -3 2)29 420当 m= 时,线段 MN 取最大值,最大值为 .3 29 4(3)假设存在.设点 P 的坐标为(2,n).当 m= 时,点 N 的坐标为,3 2(3 2,3 2)PB=,(2 - 3)2+ ( - 0)21 + 2PN=,(2 -3 2)2+( -3 2)2BN=.(3 -3 2)2+(0 -3 2)23 22PBN 以 BN 为腰的等腰三角形,分二种情况:当 PB=B

25、N,即=时,1 + 23 22解得 n=,142此时点 P 的坐标为或.(2, -142) (2,142)当 PN=BN,即=时,(2 -3 2)2+( -3 2)23 22解得 n=,3 172此时点 P 的坐标为或.(2,3 -172) (2,3 + 172)综上可知:在抛物线的对称轴 l 上存在点 P,使PBN 是以 BN 为腰的等腰三角形,点 P 的坐标为或或或.(2, -142) (2,142) (2,3 -172) (2,3 + 172)10.解析 (1)将 A、C 两点坐标代入抛物线解析式,得21 = 8,-4 9 36 + 6 + = 0,?解得 =4 3, = 8,?抛物线的

26、解析式为 y=- x2+ x+8.4 94 3(2)OA=8,OC=6,AC=10,2+ 2过点 Q 作 QEBC 与 E 点,则 sinACB= , 3 5= , 10 - 3 5QE= (10-m),3 5S= CPQE= m (10-m)=-m2+3m.1 21 23 53 10S= CPQE= m (10-m)=-m2+3m=-(m-5)2+,1 21 23 53 103 1015 2当 m=5 时,S 取最大值;在抛物线对称轴 l 上存在点 F,使DFQ 为直角三角形,抛物线 y=- x2+ x+8 的对称轴为 x= ,D 的坐标为(3,8),4 94 33 2Q 的坐标为(3,4)

27、,22当FDQ=90时,F1,(3 2,8)当FQD=90时,则 F2,(3 2,4)当DFQ=90时,设 F,(3 2,)则 FD2+FQ2=DQ2,即 +(8-n)2+ +(n-4)2=16,9 49 4解得 n=6,72F3,F4,(3 2,6 +72) (3 2,6 -72)满足条件的点 F 共有四个,分别为F1,F2,(3 2,8) (3 2,4)F3,F4,6-.(3 2,6 +72)3 27211.解析 (1)OA=8,OB= OA=4,1 2B(4,0),y=- x2+bx+c 的图象过点 A(0,8),B(4,0),1 4-1 4 42+ 4 + = 0, = 8,?解得 =

28、 - 1, = 8,?23二次函数的表达式为 y=- x2-x+8.1 4(2)当 y=0 时,- x2-x+8=0,1 4解得 x1=4,x2=-8,C 点坐标为(-8,0),D 点坐标为(0,4),设直线 CD 的解析为 y=kx+d(k0),故- 8 + = 0, = 4,?解得 =1 2, = 4,?故直线 DC 的解析为 y= x+4.1 2如图,过点 F 作 y 轴的平行线交 DC 于点 P,设 F 点坐标为,则 P 点坐标为,(, -1 42- + 8)(,1 2 + 4)则 FP=- m2- m+4,1 43 2SFCD= FPOC= - m2- m+4 8=-m2-6m+16

29、,1 21 21 43 2E 为 FD 中点,= =- m2-3m+8=- (m+3)2+, 1 2 1 21 225 2当 m=-3 时,有最大值, 24- m2-m+8=- 9+3+8=,1 41 435 4E 点纵坐标为 =,1 2(35 4+ 4)51 8F,(- 3,354)E.(-3 2,51 8)F 点坐标为,(, -1 42- + 8)C 点坐标为(-8,0),D 点坐标为(0,4),M,( + 8, -1 42- + 12)又M 点在抛物线上,- (m+8)2-(m+8)+8=- m2-m+12,1 41 4解得 m=-7,故=- m2-3m+8= . 1 29 212.解析

30、 (1)直线 y=-x+2 与 x 轴交于 B(2,0),与 y 轴交于 C(0,2),设过 A、B、C 的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0),把 A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,解得 a=-1,b=1,c=2,抛物线的解析式为 y=-x2+x+2.(2)设 D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以 x=1 时,DF最大=1,OB=OC,OBC 为等腰直角三角形,DEBC,DFy 轴,25DFE=OCB=45,DEF 为等腰直角三角形,DEF 周长的最大值为 1+.2(3)存在.如图,当DEF 周

31、长最大时,D(1,2),F(1,1).延长 DF 交 x 轴于 H,作 PMDF 于 M,则 DB=,DH=2,OH=1,5当DFP=DBC 时,DFPDBF,=, DP=,55= , 1 5PM= ,DM= ,1 52 5P 点的横坐标为 OH+PM=1+ = ,1 56 5P 点的纵坐标为 DH-DM=2- = ,2 58 5P.(6 5,8 5)13.解析 (1)对于 y= x+2,当 x=0 时,y=2,当 y=0 时,x=-4,C(0,2),A(-4,0),1 2由抛物线的对称性可知:点 A 与点 B 关于 x=- 对称,点 B 的坐标为(1,0).3 226抛物线 y=ax2+bx

32、+c 过 A(-4,0),B(1,0),可设抛物线解析式为 y=a(x+4)(x-1),又抛物线过点 C(0,2),2=-4a,a=- ,1 2y=- x2- x+2.1 23 2(2)设 P.(, -1 22-3 2 + 2)过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q,Q,(,1 2 + 2)PQ=- m2- m+2-1 23 2(1 2 + 2)=- m2-2m,1 2= PQ(xC-xA)= PQ4 1 21 2=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,当 m=-2 时,PAC 的面积有最大值 4,易知 SACB= OCAB1 2= 251 2=5.27则四边形 PABC 面积的最大值

33、是 9,此时 P(-2,3).(3)存在.在 RtAOC 中,tanCAO= ,1 2在 RtBOC 中,tanBCO= ,1 2CAO=BCO,BCO+OBC=90,CAO+OBC=90,ACB=90,ABCACOCBO,如下图:当 M 点与 C 点重合,即 M(0,2)时,MANBAC;根据抛物线的对称性,当 M(-3,2)时,MANABC;当点 M 在第四象限时,设 M n,- n2- n+2 ,则 N(n,0),1232MN= n2+ n-2,AN=n+4,1 23 2当= 时,MN= AN,即 n2+ n-2= (n+4), 1 21 21 23 21 2整理得 n2+2n-8=0,解得 n1=-4(舍),n2=2,M(2,-3);当= 时,MN=2AN,即 n2+ n-2=2(n+4), 2 11 23 2整理得 n2-n-20=0,28解得 n1=-4(舍),n2=5,M(5,-18).综上所述,存在 M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似.