2019版高中数学 第二章 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、12 22.12.1 综合法和分析法综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案 利用已知条件a0，b0 和重要不等式，最后推导出所要证明的结论梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所

2、要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)综合法的框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b0，求证：.ab 2ab证明：要证，ab 2ab只需证ab2，ab只需证ab20，ab只需证()20，ab因为()20 显然成立，所以原不等式成立ab答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条

3、件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法2(2)分析法的框图表示QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件1综合法是执果索因的逆推证法( )2分析法就是从结论推向已知( )3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )类型一 综合法的应用例 1 在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2ccos2b.C 2A 23 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边a1cos C2c1cos A2 (ac) (acos Cccos A)1 21 2 (ac)1 21 2(aa2b2c2 2

4、abcb2c2a22bc) (ac)b1 21 2acb 2b b右边，b 23 2所以acos2ccos2b.C 2A 23 23反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练 1 已知a，b，c为不全相等的正实数求证：3.bca acab babc c考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为bca acab babc c 3，b aa bc bb ca cc a又a，b，c为不全相等的正实数，而 2， 2， 2，b aa bc bb ca cc a且上述三式等号不能同时成立，所以 3633，b aa bc bb ca cc a即3.bca acab babc c类型二 分析法的

5、应用例 2 设a，b为实数，求证：(ab)a2b222考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 当ab0 时，0，a2b2(ab)成立a2b222当ab0 时，用分析法证明如下：要证(ab)，a2b2224只需证()22，a2b222ab即证a2b2 (a2b22ab)，即证a2b22ab.1 2a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立a2b222综上所述，不等式得证反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推

6、的它的常见书写表达式是“要证只需”或“” 跟踪训练 2 已知非零向量a a，b b，且a ab b，求证：.|a a|b b| |a ab b|2考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 a ab ba ab b0，要证，|a a|b b| |a ab b|2只需证|a a|b b|a ab b|，2只需证|a a|22|a a|b b|b b|22(a a22a ab bb b2)，只需证|a a|22|a a|b b|b b|22a a22b b2，只需证|a a|2|b b|22|a a|b b|0，即证(|a a|b b|)20，上式显然成立，故原不等式得证类型三 分析法与综合

7、法的综合应用例 3 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，1 ab1 bc3 abc即证3，abc ababc bc5即证1.c aba bc即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，得b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.所以c2a2acb2成立，命题得证引申探究 本例改为求证.ab 1abc 1c证明 要证，ab 1

8、abc 1c只需证ab(ab)c(1ab)c，即证abc.而abc显然成立，所以.ab 1abc 1c反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练 3 已知a，b，c是不全相等的正数，且 0abc，ab 2bc 2ac 2由公式0，0，0.ab 2abbc 2bcac 2ac又a，b，c是不全相等的正数，6abc.ab 2bc 2ac 2a2b2c2即abc成立ab 2bc 2ac 2logxlogxlogx2a，x2x(x1)0，cba.1 1x11x21xx2 1x3要证

9、b0 时，才有a2b2，只需证1，xy0，则( )8Ax0，y0 Bx0，y0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 A解析 由Error!得Error!2要证a2b21a2b20，只需证( )A2ab1a2b20Ba2b210a4b4 2C.1a2b20ab22D(a21)(b21)0考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 D解析 要证a2b21a2b20，只需证a2b2(a2b2)10，即证(a21)(b21)0.3在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是( )Ab2c2a2 Bb2c2a2Cb2c2a2 Db2c2B是 sin Asin B

10、的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题9答案 C解析 由正弦定理得2R(R为ABC的外接圆半径)，a sin Ab sin B又A，B为三角形的内角，sin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.5设a，b0，且ab，ab2，则必有( )A1ab Babab，a2b2 2又因为ab22，ab故ab1，a2b2 2ab22ab2即1ab.a2b2 26若a，b，c，则( )ln 2 2ln 3 3ln 5 5Aa0，f(x)单调递增；当xe 时，f(x)ac.ln 4 47设

11、f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f(x)单调递减若x1x20，则f(x1)f(x2)的值( )10A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 A解析 由f(x)是定义在R R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)单调递减，可知f(x)是 R R 上的减函数由x1x20，可知x1x2，所以f(x1)0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 综合法9如果abab，则正数a，b应满足的条件是_abba考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 ab解析

12、 ab(ab)abbaa()b()()(ab)abbaab()2()abab只要ab，就有abab.abba10设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_27362考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 acb解析 a2c22(84)46330，a0，c0，ac.4836c0，b0， 1，c b6 27 37 36 2cb.acb.1111比较大小：设a0，b0，则 lg(1)_ lg(1a)lg(1b)ab1 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 解析 (1)2(1a)(1b)ab2(ab)0，ab(1)2(1a)(1b)，ab则 lg(1)2lg(1a)(1b

13、)，ab即 lg(1) lg(1a)lg(1b)ab1 212.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可三、解答题13已知a0，求证：a 2.a21 a221 a考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证a 2，a21 a221 a只需证2

14、a .a21 a21 a2因为a0，12所以只需证22，(a21 a22)(a1 a 2)即a244a2222，1 a2a21 a21 a22(a1 a)从而只需证 2 ，a21 a22(a1 a)只需要证 42，(a21 a2)(a221 a2)即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1 a2四、探究与拓展14若不等式(1)na2 ，1 n而2 2，所以a2.1 n综上可得，2a .3 215在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A，B，C成等差数列，得 2BAC.由于A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B. 3由a，b，c成等比数列，得b2ac，13由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得ABC， 3所以ABC 为等边三角形