2019版高中数学 第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、13 31.11.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程x210 的根，即 ii1，方程x210 有解，同时得到一些新数梳理 (1)复数定义：把集合 C Cabi|a，bR R中的数，即形如abi(a，bR R)的数

2、叫做复数，其中i 叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR R)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 C C 表示知识点二 两个复数相等的充要条件在复数集 C Cabi|a，bR R中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR R)，我们规定：abi 与cdi 相等的充要条件是ac且bd.2知识点三 复数的分类(1)复数(abi，a，bR R)Error!(2)集合表示：1若a，b为实数，则zabi 为虚数( )2复数zbi 是纯虚数( )3若两个复数的实部的差和虚部的差都

3、等于 0，那么这两个复数相等( )类型一 复数的概念例 1 (1)给出下列几个命题：若zC C，则z20；2i1 虚部是 2i；2i 的实部是 0；若实数a与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3(2)已知复数za2(2b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数a，b的值分别是_考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2)，52解析 (1)令ziC C，则 i212a3，即a22a30，解得a3 或a3 或a1，则实数x的值是_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由题意知Error!得x2

4、.1对于复数zabi(a，bR R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1设a，bR R， “a0”是“复数abi 是纯虚数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件7D既不充分也不必要条件考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 因为a，bR R，当“a0”时“复数abi 不一定是纯虚数，也可能b0，即abi0R R” 而当“复数abi 是纯虚数” ，则“a0”一定成立所以a，bR R， “a0”是“复数abi 是纯虚数”的必要不充分条件2以2i 的虚部为实部，以i2i2的

5、实部为虚部的新复数是( )55A22i Bi55C2i D.i55考点 复数的概念题点 求复数的实部和虚部答案 A解析 设所求新复数zabi(a，bR R)，由题意知复数2i 的虚部为 2，复数i2i2i2(1)2i 的实部为55552，则所求的z22i.故选 A.3若(xy)ix1(x，yR R)，则 2xy的值为( )A. B2 C0 D11 2考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得Error!xy0.2xy201.4下列命题中：若x，yC C，则xyi1i 的充要条件是xy1；纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；若(z1z2)2(z2z

6、3)20，则z1z2z3.正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3考点 复数的概念8题点 复数的概念及分类答案 A解析 取xi，yi，则xyi1i，但不满足xy1，故错；错，故选 A.5若 sin 21i(cos 1)是纯虚数，则的值为( )2A2k(kZ Z) B2k(kZ Z) 4 4C2k(kZ Z) D. (kZ Z) 4k 2 4考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，得Error!解得Error!(kZ Z)，2k，kZ Z. 46若复数zi 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan的值为(cos 4 5) (sin 3 5)( 4)( )A7 B1 7C7

7、 D7 或1 7考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 C解析 复数zi 是纯虚数，(cos 4 5) (sin 3 5)cos 0，sin 0，4 53 5sin ，tan ，3 53 4则 tan7.( 4)tan 1 1tan 3411347已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR R)有实数根n，且zmni，则复数z等于( )A3i B3iC3i D3i9考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知n2(m2i)n22i0，即Error!解得Error!z3i，故选 B.二、填空题8设mR R，m2m2(m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则m_.考

8、点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由Error!即m2.9已知z1(m2m1)(m2m4)i，mR R，z232i.则m1 是z1z2的_条件考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当z1z2时，必有m2m13，m2m42，解得m2 或m1，显然m1是z1z2的充分不必要条件10已知复数zm2(1i)m(mi)(mR R)，若z是实数，则m的值为_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 0 或 1解析 zm2m2im2mi(m2m)i，所以m2m0，所以m0 或 1.11复数z(a22a3)(|a2|1)i 不是纯虚数，则实数a的取值范围是_考点

9、复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 (，1)(1，)解析 若复数z(a22a3)(|a2|1)i 是纯虚数，则a22a30，|a2|10，解得a1，当a1 时，复数z(a22a3)(|a2|1)i 不是纯虚数1012已知 log1 2(mn)(m23m)i1，且nN N*，则mn_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由，得m0 或m3.当m0 时，由1 2log(mn)1，得 0n2，n1 或n2.当m3 时，由1 2log(mn)1，得 0n32，3n1，即n无自然数解m，n的值分别为m0，n1 或m0，n2.故mn的值为 1 或 2.

10、三、解答题13实数m为何值时，复数z(m22m3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚mm2m1数考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得mm2m1m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1 且mm2m1m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，mm2m1且m22m30，解得m0 或m2.四、探究与拓展14定义运算adbc，如果(xy)(x3)i，求实数x，y的值|a b c d|3x2y i y 1|考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由定义运算adbc，|a b c d|11得3x2yyi，|3x2y i y 1|故有(xy)(x3)i3x2yyi.因为x，y为实数，所以Error!得Error!得x1，y2.15已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MNM，且MN，求整数a，b的值考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得(a3)(b21)i3i，或 8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由，得a3，b2，由，得a3，b2，中，a，b无整数解，不符合题意综上，a3，b2 或 a3，b2 或 a3，b2.