2019版高中数学 第二章 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、12 22.22.2 反证法反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 ”思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案 运用了反证法思想梳理 (1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证

2、明方法叫做反证法(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等1反证法属于间接证明问题的方法( )2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理( )3反证法的实质是否定结论导出矛盾( )类型一 用反证法证明否定性命题例 1 已知a，b，c，dR R，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，2即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，a

3、d0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1 矛盾，故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练 1 已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：， ，不成等abc差数列考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设， ，成等差数列，abc则 2，bac4bac2.aca，b，c成等比数列，b2ac，由得b，代入式，ac得ac2()20，acacac，从而a

4、bc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故， ，不成等差数列abc类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例 2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于 1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于 1.因为a，b，c(0,2)，所以 2a0,2b0,2c0.3所以1.2ab22ab同理1，2bc22bc1.2ca22ca三式相加，得3，2ab22bc22ca2即 33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于 1.引申探究 已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)

5、a不能都大于 .1 4证明 假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于 .1 4a，b，c都是小于 1 的正数，1a,1b,1c都是正数 .1ab21ab1 41 2同理， ， .1bc21 21ca21 2三式相加，得 ，1ab21bc21ca23 2即 ，显然不成立3 23 2(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 .1 4反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多” “至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个

6、至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1 个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1 个p且q綈p或綈q4跟踪训练 2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以 2a22b22c22ab2bc2

7、ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三 用反证法证明唯一性命题例 3 求证：方程 2x3 有且只有一个根考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 2x3，xlog23.这说明方程 2x3 有根下面用反证法证明方程 2x3 的根是唯一的假设方程 2x3 至少有两个根b1，b2(b1b2)，则12b3, 22b3，两式相除得122bb1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证

8、明结论是以“有且只有” “只有一个” “唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性” ，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练 3 若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0 在区间a，b上至多有一个实根考点 反证法及应用题点 反证法的应用5证明 假设方程f(x)0 在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为 ，不妨设b”的反面是“ay或x2，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选 D.7设a，b，c都是正数，则三个数a ，b ，c ( )1 b1 c1 aA都大于 2B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2D至少有一个不大于

9、2考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 C解析 假设a 2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 10某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 甲解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判断偷珠宝

10、的人是甲11若下列两个方程x2(a2)xa20，x2ax2a0 中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 (，82，)解析 若两方程均无实根，则1(a2)24a2(3a2)(a2) .2 32a28aa(a8)0.这与abc0 矛盾，假设不成立，故a，b，c中至少有一个是大于 0 的13已知f(x)ax(a1)，求证：方程f(x)0 没有负数根x2 x1考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设x0是f(x)0 的负数根，则x00 且x01，且ax0，x02 x010ax01，01，x02 x01解得 x02，这与x00 矛盾，1 2故方程f(

11、x)0 没有负数根四、探究与拓展14若a，b，c，d都是有理数， ，都是无理数，且ab，则a与b，c与d之cdcd间的数量关系为_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 ab，cd解析 假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，cd所以m，两边平方整理得.cdcdcm2 2m左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.1115设an是公比为q的等比数列(1)推导数列an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列考点 反证法及应用题点 反证法的应用(1)解 设数列an的前n项和为Sn，当q1 时，Sna1a1a1na1；当q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，a11qn1q综上所述，SnError!(2)证明 假设an1是等比数列，则对任意的kN N*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，2k1a q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，2 1因为a10，所以 2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列an1不是等比数列