2019学年高中数学 4.4.4 平摆线与圆的渐开线学案 苏教版选修4-4.doc

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1、14.4.44.4.4 平摆线与圆的渐开线平摆线与圆的渐开线1了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程2在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位3体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性基础初探1平摆线(1)如图 447 所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OBr.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线图 447(2)以定直线为x轴，点O为原点建立直角坐标系，则定点P(x，

2、y)的参数方程为Error!(为参数)2圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆思考探究1用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】 用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的2半径，而参数是指绳子外端运动时，

3、半径OB相对于Ox转过的角度，如图，其中的AOB即是角.显然点P由参数惟一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_摆线已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程【自主解答】 根据圆的摆线的参数方程的表达式Error!(为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式令r(1cos )0 可得 cos

4、1，所以2k(kZ Z)代入可得xr(2ksin 2k)1.所以r.1 2k又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.所以，应有k0 且kZ Z，即kN N.所以，所求摆线的参数方程是Error!(其中为参数，kN N)再练一题1已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方3程【解】 令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得 cos 1，所以2k(kZ Z)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kN N)1 k易知，当k1 时，r取最大值为.1 代入即可得圆的平摆线的参数方程为Error!(为参数)

5、.圆的渐开线已知圆的渐开线的参数方程Error!(为参数)求出该渐开线的基圆的方程，当参数取时，求对应曲线上点的坐标 2【思路探究】 由圆的渐开线的参数方程形式可得r3，把代入即得对应的坐 2标【自主解答】 Error!，半径为 3. 此渐开线的基圆方程为x2y29.把代入参数方程得 2 Error! 即Error!曲线上点的坐标为(，3)3 2圆的渐开线参数方程Error!其中为参数再练一题2已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离 3 2【导学号：98990038】【解】 根据条件可知圆的半径是 1，4所以对应的渐开线参数方程是

6、Error!(为参数)，分别把和代入， 3 2可得A、B两点的坐标分别为A(，)，B(，1)3 363 36 2那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为AB3 36223 3612.1 6136 32636 372即A、B两点之间的距离为.1 6136 32636 3721若某圆的渐开线方程是Error!(为参数)，则此圆的方程是_，对应0的点的坐标是_，对应的点是_ 2【解析】 圆的方程为x2y21，0 的点的坐标是(1,0)，对应的点的坐 2标是(，1) 2【答案】 x2y21 (1,0) (，1) 22摆线Error!(02)与直线y1 交点的直角坐标为_【导学号：989900

7、39】【解析】 当y1 时，有 2(1cos )1，cos ，又02，或，1 2 35 3当时，x；当时，x. 32 335 310 33【答案】 (，1)，(，1)2 33310 33如图 448，ABCD是边长为 1 的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线” ，其中弧AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是_5图 448【解析】 2 ，相加得 5.【答案】 54已知一个圆的参数方程为Error!(为参数)那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为_ 2(3 2，2)【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的平摆线的参数方程为Error!(为参数)，把代入参数方程中可得Error! 2即A(3(1)，3)， 2AB.32132232210【答案】 10我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_