三次数学危机58891.docx

《三次数学危机58891.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三次数学危机58891.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学悖论与三次数学危机“古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”N布尔巴基什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。希帕索斯悖论与第一

2、次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又

3、获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥拉斯毕达哥哥拉斯是是公元前前五世纪纪古希腊腊的著名名数学家家与哲学学家。他他曾创立立了一个个合政治治、学术术、宗教教三位一一体的神神秘主义义派别：毕达哥哥拉斯学学派。由由毕达哥哥拉斯提提出的著著名命题题“万物物皆数”是是该学派派的哲学学基石。而而“一切切数均可可表成整整数或整整数之比比”则是是这一学学派的数数学信仰仰。然而而，具有有戏剧性性的是由由毕达哥哥拉斯建建立的毕毕达哥拉拉斯定理理却成了了毕达哥哥拉斯学学派数学学信仰的的“掘墓墓人”。毕毕达哥拉拉斯定理理提出后后，其学学派中的的一个成成员希帕帕索斯考考虑了一一个问题题：边长长为1的的正方形形

4、其对角角线长度度是多少少呢？他他发现这这一长度度既不能能用整数数，也不不能用分分数表示示，而只只能用一一个新数数来表示示。希帕帕索斯的的发现导导致了数数学史上上第一个个无理数数2 的诞生生。小小小2的的出现，却却在当时时的数学学界掀起起了一场场巨大风风暴。它它直接动动摇了毕毕达哥拉拉斯学派派的数学学信仰，使使毕达哥哥拉斯学学派为之之大为恐恐慌。实实际上，这这一伟大大发现不不但是对对毕达哥哥拉斯学学派的致致命打击击。对于于当时所所有古希希腊人的的观念这这都是一一个极大大的冲击击。这一一结论的的悖论性性表现在在它与常常识的冲冲突上：任何量量，在任任何精确确度的范范围内都都可以表表示成有有理数。这这

5、不但在在希腊当当时是人人们普遍遍接受的的信仰，就就是在今今天，测测量技术术已经高高度发展展时，这这个断言言也毫无无例外是是正确的的！可是是为我们们的经验验所确信信的，完完全符合合常识的的论断居居然被小小小的2的存存在而推推翻了！这应该该是多么么违反常常识，多多么荒谬谬的事！它简直直把以前前所知道道的事情情根本推推翻了。更更糟糕的的是，面面对这一一荒谬人人们竟然然毫无办办法。这这就在当当时直接接导致了了人们认认识上的的危机，从从而导致致了西方方数学史史上一场场大的风风波，史史称“第第一次数数学危机机”。欧多克索斯斯二百年年后，大大约在公公元前3370年年，才华华横溢的的欧多克克索斯建建立起一一套

6、完整整的比例例论。他他本人的的著作已已失传，他他的成果果被保存存在欧几几里德几几何原本本一书书第五篇篇中。欧欧多克索索斯的巧巧妙方法法可以避避开无理理数这一一“逻辑辑上的丑丑闻”，并并保留住住与之相相关的一一些结论论，从而而解决了了由无理理数出现现而引起起的数学学危机。但但欧多克克索斯的的解决方方式，是是借助几几何方法法，通过过避免直直接出现现无理数数而实现现的。这这就生硬硬地把数数和量肢肢解开来来。在这这种解决决方案下下，对无无理数的的使用只只有在几几何中是是允许的的，合法法的，在在代数中中就是非非法的，不不合逻辑辑的。或或者说无无理数只只被当作作是附在在几何量量上的单单纯符号号，而不不被当

7、作作真正的的数。一一直到118世纪纪，当数数学家证证明了基基本常数数如圆周周率是无无理数时时，拥护护无理数数存在的的人才多多起来。到到十九世世纪下半半叶，现现在意义义上的实实数理论论建立起起来后，无无理数本本质被彻彻底搞清清，无理理数在数数学园地地中才真真正扎下下了根。无无理数在在数学中中合法地地位的确确立，一一方面使使人类对对数的认认识从有有理数拓拓展到实实数，另另一方面面也真正正彻底、圆圆满地解解决了第第一次数数学危机机。贝克克莱悖论论与第二二次数学学危机第二二次数学学危机导导源于微微积分工工具的使使用。伴伴随着人人们科学学理论与与实践认认识的提提高，十十七世纪纪几乎在在同一时时期，微微积

8、分这这一锐利利无比的的数学工工具为牛牛顿、莱莱布尼兹兹各自独独立发现现。这一一工具一一问世，就就显示出出它的非非凡威力力。许许许多多疑疑难问题题运用这这一工具具后变得得易如翻翻掌。但但是不管管是牛顿顿，还是是莱布尼尼兹所创创立的微微积分理理论都是是不严格格的。两两人的理理论都建建立在无无穷小分分析之上上，但他他们对作作为基本本概念的的无穷小小量的理理解与运运用却是是混乱的的。因而而，从微微积分诞诞生时就就遭到了了一些人人的反对对与攻击击。其中中攻击最最猛烈的的是英国国大主教教贝克莱莱。贝克莱主教教17334年，贝贝克莱以以“渺小小的哲学学家”之之名出版版了一本本标题很很长的书书分析析学家；或一

9、篇篇致一位位不信神神数学家家的论文文，其中中审查一一下近代代分析学学的对象象、原则则及论断断是不是是比宗教教的神秘秘、信仰仰的要点点有更清清晰的表表达，或或更明显显的推理理。在在这本书书中，贝贝克莱对对牛顿的的理论进进行了攻攻击。例例如他指指责牛顿顿，为计计算比如如说 xx2 的导导数，先先将 xx取一一个不为为0的增增量 x ，由由 (x + x)2 - x2 ，得得到 22xx + (xx2) ，后后再被 x 除，得得到 22x + x ，最最后突然然令 x = 0 ，求求得导数数为 22x 。这这是“依依靠双重重错误得得到了不不科学却却正确的的结果”。因因为无穷穷小量在在牛顿的的理论中中

10、一会儿儿说是零零，一会会儿又说说不是零零。因此此，贝克克莱嘲笑笑无穷小小量是“已已死量的的幽灵”。贝贝克莱的的攻击虽虽说出自自维护神神学的目目的，但但却真正正抓住了了牛顿理理论中的的缺陷，是是切中要要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。牛顿与莱布布尼兹针对贝贝克莱的的攻击，牛牛顿与莱莱布尼兹兹都曾试试图通过过完善自自己的理理论来解解决，但但都没有有获得完

11、完全成功功。这使使数学家家们陷入入了尴尬尬境地。一一方面微微积分在在应用中中大获成成功，另另一方面面其自身身却存在在着逻辑辑矛盾，即即贝克莱莱悖论。这这种情况况下对微微积分的的取舍上上到底何何去何从从呢？“向向前进，向向前进，你你就会获获得信念念！”达达朗贝尔尔吹起奋奋勇向前前的号角角，在此此号角的的鼓舞下下，十八八世纪的的数学家家们开始始不顾基基础的不不严格，论论证的不不严密，而而是更多多依赖于于直观去去开创新新的数学学领地。于于是一套套套新方方法、新新结论以以及新分分支纷纷纷涌现出出来。经经过一个个多世纪纪的漫漫漫征程，几几代数学学家，包包括达朗朗贝尔、拉拉格朗日日、贝努努力家族族、拉普普

12、拉斯以以及集众众家之大大成的欧欧拉等人人的努力力，数量量惊人前前所未有有的处女女地被开开垦出来来，微积积分理论论获得了了空前丰丰富。118世纪纪有时甚甚至被称称为“分分析的世世纪”。然然而，与与此同时时十八世世纪粗糙糙的，不不严密的的工作也也导致谬谬误越来来越多的的局面，不不谐和音音的刺耳耳开始震震动了数数学家们们的神经经。下面面仅举一一无穷级级数为例例。无穷级级数S1111111到底等等于什么么？当时人人们认为为一方面面S（111）（11）0；另一方方面，SS1（11）（11）1，那那么岂非非011？这一一矛盾竟竟使傅立立叶那样样的数学学家困惑惑不解，甚甚至连被被后人称称之为数数学家之之英雄

13、的的欧拉在在此也犯犯下难以以饶恕的的错误。他他在得到到1 + xx + x2 + x3 + . = 11/(11- xx) 后，令令 x = 1，得得出S1111111122！由此一一例，即即不难看看出当时时数学中中出现的的混乱局局面了。问问题的严严重性在在于当时时分析中中任何一一个比较较细致的的问题，如如级数、积积分的收收敛性、微微分积分分的换序序、高阶阶微分的的使用以以及微分分方程解解的存在在性都几乎乎无人过过问。尤尤其到十十九世纪纪初，傅傅立叶理理论直接接导致了了数学逻逻辑基础础问题的的彻底暴暴露。这这样，消消除不谐谐和音，把把分析重重新建立立在逻辑辑基础之之上就成成为数学学家们迫迫在眉

14、睫睫的任务务。到十十九世纪纪，批判判、系统统化和严严密论证证的必要要时期降降临了。柯西使分析析基础严严密化的的工作由由法国著著名数学学家柯西西迈出了了第一大大步。柯柯西于118211年开始始出版了了几本具具有划时时代意义义的书与与论文。其其中给出出了分析析学一系系列基本本概念的的严格定定义。如如他开始始用不等等式来刻刻画极限限，使无无穷的运运算化为为一系列列不等式式的推导导。这就就是所谓谓极限概概念的“算算术化”。后后来，德德国数学学家魏尔尔斯特拉拉斯给出出更为完完善的我我们目前前所使用用的“- ”方法法。另外外，在柯柯西的努努力下，连连续、导导数、微微分、积积分、无无穷级数数的和等等概念也也

15、建立在在了较坚坚实的基基础上。不不过，在在当时情情况下，由由于实数数的严格格理论未未建立起起来，所所以柯西西的极限限理论还还不可能能完善。柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积

16、分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。罗素悖论与与第三次次数学危危机十九世世纪下半半叶，康康托尔创创立了著著名的集集合论，在在集合论论刚产生生时，曾曾遭到许许多人的的猛烈攻攻击。但但不久这这一开创创性成果果就为广广大数学学家所接接受了，并并且获得得广泛而而高度的的赞誉。数数学家们们发现，从从自然数数与康托托尔集合合论出发发可建立立起整个个数学大大厦。因因而集合合论成为为现代数数学的基基石。“一一切数学

17、学成果可可建立在在集合论论基础上上”这一一发现使使数学家家们为之之陶醉。119000年，国国际数学学家大会会上，法法国著名名数学家家庞加莱莱就曾兴兴高采烈烈地宣称称：“借借助集合合论概念念，我们们可以建建造整个个数学大大厦今天，我我们可以以说绝对对的严格格性已经经达到了了”康托尔可是，好好景不长长。19903年年，一个个震惊数数学界的的消息传传出：集集合论是是有漏洞洞的！这这就是英英国数学学家罗素素提出的的著名的的罗素悖悖论。罗素素构造了了一个集集合S：S由一一切不是是自身元元素的集集合所组组成。然然后罗素素问：SS是否属属于S呢呢？根据据排中律律，一个个元素或或者属于于某个集集合，或或者不属

18、属于某个个集合。因因此，对对于一个个给定的的集合，问问是否属属于它自自己是有有意义的的。但对对这个看看似合理理的问题题的回答答却会陷陷入两难难境地。如如果S属属于S，根根据S的的定义，SS就不属属于S；反之，如如果S不不属于SS，同样样根据定定义，SS就属于于S。无无论如何何都是矛矛盾的。罗素其实，在在罗素之之前集合合论中就就已经发发现了悖悖论。如如18997年，布布拉利和和福尔蒂蒂提出了了最大序序数悖论论。18899年年，康托托尔自己己发现了了最大基基数悖论论。但是是，由于于这两个个悖论都都涉及集集合中的的许多复复杂理论论，所以以只是在在数学界界揭起了了一点小小涟漪，未未能引起起大的注注意。

19、罗罗素悖论论则不同同。它非非常浅显显易懂，而而且所涉涉及的只只是集合合论中最最基本的的东西。所所以，罗罗素悖论论一提出出就在当当时的数数学界与与逻辑学学界内引引起了极极大震动动。如GG.弗雷雷格在收收到罗素素介绍这这一悖论论的信后后伤心地地说：“一一个科学学家所遇遇到的最最不合心心意的事事莫过于于是在他他的工作作即将结结束时，其其基础崩崩溃了。罗罗素先生生的一封封信正好好把我置置于这个个境地。”戴戴德金也也因此推推迟了他他的什什么是数数的本质质和作用用一文文的再版版。可以以说，这这一悖论论就象在在平静的的数学水水面上投投下了一一块巨石石，而它它所引起起的巨大大反响则则导致了了第三次次数学危危机

20、。危机机产生后后，数学学家纷纷纷提出自自己的解解决方案案。人们们希望能能够通过过对康托托尔的集集合论进进行改造造，通过过对集合合定义加加以限制制来排除除悖论，这这就需要要建立新新的原则则。“这这些原则则必须足足够狭窄窄，以保保证排除除一切矛矛盾；另另一方面面又必须须充分广广阔，使使康托尔尔集合论论中一切切有价值值的内容容得以保保存下来来。”119088年，策策梅罗在在自已这这一原则则基础上上提出第第一个公公理化集集合论体体系，后后来经其其他数学学家改进进，称为为ZF系系统。这这一公理理化集合合系统很很大程度度上弥补补了康托托尔朴素素集合论论的缺陷陷。除ZZF系统统外，集集合论的的公理系系统还有

21、有多种，如如诺伊曼曼等人提提出的NNBG系系统等。公公理化集集合系统统的建立立，成功功排除了了集合论论中出现现的悖论论，从而而比较圆圆满地解解决了第第三次数数学危机机。但在在另一方方面，罗罗素悖论论对数学学而言有有着更为为深刻的的影响。它它使得数数学基础础问题第第一次以以最迫切切的需要要的姿态态摆到数数学家面面前，导导致了数数学家对对数学基基础的研研究。而而这方面面的进一一步发展展又极其其深刻地地影响了了整个数数学。如如围绕着着数学基基础之争争，形成成了现代代数学史史上著名名的三大大数学流流派，而而各派的的工作又又都促进进了数学学的大发发展等等等。以上简简单介绍绍了数学学史上由由于数学学悖论而

22、而导致的的三次数数学危机机与度过过，从中中我们不不难看到到数学悖悖论在推推动数学学发展中中的巨大大作用。有有人说：“提出出问题就就是解决决问题的的一半”，而而数学悖悖论提出出的正是是让数学学家无法法回避的的问题。它它对数学学家说：“解决决我，不不然我将将吞掉你你的体系系！”正正如希尔尔伯特在在论无无限一一文中所所指出的的那样：“必须须承认，在在这些悖悖论面前前，我们们目前所所处的情情况是不不能长期期忍受下下去的。人人们试想想：在数数学这个个号称可可靠性和和真理性性的模范范里，每每一个人人所学的的、教的的和应用用的那些些概念结结构和推推理方法法竟会导导致不合合理的结结果。如如果甚至至于数学学思考也也失灵的的话，那那么应该该到哪里里去寻找找可靠性性和真理理性呢？”悖论论的出现现逼迫数数学家投投入最大大的热情情去解决决它。而而在解决决悖论的的过程中中，各种种理论应应运而生生了：第第一次数数学危机机促成了了公理几几何与逻逻辑的诞诞生；第第二次数数学危机机促成了了分析基基础理论论的完善善与集合合论的创创立；第第三次数数学危机机促成了了数理逻逻辑的发发展与一一批现代代数学的的产生。数数学由此此获得了了蓬勃发发展，这这或许就就是数学学悖论重重要意义义之所在在吧。