层次分析法建模课件10157.docx

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1、层次分析法法建模课件件层次分析析法（AHHPAnnalyttic Hierrachyy prrocesss）- 多多目标决策策方法70 年代代由美国运运筹学家TTLSattty提出的的，是一种种定性与定定量分析相相结合的多多目标决策策分析方法法论。吸收收利用行为为科学的特特点，是将将决策者的的经验判断断给予量化化，对目标标（因素）结结构复杂而而且缺乏必必要的数据据情况下，採採用此方法法较为实用用，是一种种系统科学学中，常用用的一种系系统分析方方法，因而而成为系统统分析的数数学工具之之一。 传统的常常用的研究究自然科学学和社会科科学的方法法有：机理分析方方法：利用用经典的数数学工具分分析观察的的

2、因果关系系；统计分析方方法：利用用大量观测测数据寻求求统计规律律，用随机机数学方法法描述（自自然现象、社社会现象）现现象的规律律。基本内容容：（1）多多目标决策策问题举例例AHP建建模方法（2）AHHP建模方方法基本步步骤（3）AAHP建模模方法基本本算法（3）AHHP建模方方法理论算算法应用的的若干问题题。 参考书： 1、姜姜启源，数数学模型（第第二版，第第9章；第第三版，第第8章），高高等教育出出版社 22、程理民民等， 运运筹学模型型与方法教教程，（第第10章），清清华大学出出版社 3、运运筹学编编写组，运运筹学（修修订版），第第11章，第第7节，清清华大学出出版社一、问题举举例：A大学

3、毕毕业生就业业选择问题题获得大学毕毕业学位的的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： 能发挥自己己的才干为为国家作出出较好贡献献（即工作作岗位适合合发挥专长长）； 工作收入较较好（待遇遇好）； 生活环境好好（大城市市、气候等等工作条件件等）； 单位名声好好（声誉-Repuutatiion）； 工作环境好好（人际关关系和谐等等） 发展晋升（prromotte, ppromootionn）机会多多（如新单单位或单位位发展有后后劲）等。问题：现在在有多个用用人单位可可供他选择择，因此，他他面临多种种选择和决决策，问题题是他

4、将如如何作出决决策和选择择？或者说说他将用什什么方法将将可供选择择的工作单单位排序？工作选择生活环境工作环境声誉收入发展贡献 可供选择的单位P1 P2 - Pn .假期旅旅游地点选选择暑假有3个个旅游胜地地可供选择择。例如：苏州杭杭州，北戴戴河，桂林，到到底到哪个个地方去旅旅游最好？要作出决决策和选择择。为此，要要把三个旅旅游地的特特点，例如如：景色；费用；居住；环境；旅途条件件等作一些些比较建立一个个决策的准准则，最后后综合评判判确定出一一个可选择择的最优方方案。选择旅游地目标层居住旅途景色费用饮食准则层P1P2P3方案层C资源开开发的综合合判断7种金属可可供开发，开开发后对国国家贡献可可以

5、通过两两两比较得得到，决定定对哪种资资源先开发发，效用最最用。对经济发展、贡献U经济价值战略重要性交通条件要求量风险费开採费金Go铝Al钿Ur磷酸盐铁In铜Co二、问题分分析：例如旅游地地选择问题题：一般说说来，此决决策问题可可按如下步步骤进行：（S1）将将决策解分分解为三个个层次，即即：目标层：（选选择旅游地地）准则层：（景景色、费用用、居住、饮饮食、旅途途等5个准准则）方案层：（有有，三个选择择地点）并用直线连连接各层次次。（S2）互互相比较各各准则对目目标的权重重，各方案案对每一个个准则的权权重。这些些权限重在在人的思维维过程中常常是定性的的。例如：经济济好，身体体好的人：会将景色色好作

6、为第第一选择；中老年人：会将居住住、饮食好好作为第一一选择；经济不好的的人：会把把费用低作作为第一选选择。而层次分析析方法则应应给出确定定权重的定定量分析方方法。（S3）将将方案后对对准则层的的权重，及及准则后对对目标层的的权重进行行综合。（S4）最最终得出方方案层对目目标层的权权重，从而而作出决策策。以上步骤和和方法即是是AHP的的决策分析析方法。三、确定各各层次互相相比较的方方法成对比比较矩阵和和权向量在确定各层层次各因素素之间的权权重时，如如果只是定定性的结果果，则常常常不容易被被别人接受受，因而SSantyy等人提出出：一致矩矩阵法即：1. 不把所有有因素放在在一起比较较，而是两两两相

7、互比比较2. 对此此时採用相相对尺度，以以尽可能减减少性质不不同的诸因因素相互比比较的困难难，提高准准确度。因素比较方方法 成对比较较矩阵法：目的是，要要比较某一一层个因素素对上一层层因素O的的影响（例例如：旅游游决策解中中，比较景景色等5个个准则在选选择旅游地地这个目标标中的重要要性）。採用的方法法是：每次次取两个因因素和比较其对对目标因素素O的影响响，并用表表示，全部部比较的结结果用成对对比较矩阵阵表示，即即： （11）由于上述成成对比较矩矩阵有特点点： 故可称为正正互反矩阵阵：显然，由由 ，即即：，故有有：例如：在旅旅游决策问问题中：= 表示：故：= 表示示：即：景色为为4，居住住为1。

8、= 表示示：即：费用重重要性为77，居住重重要性为11。因此有成对对比较矩阵阵：？问题：稍加分析析就发现上上述成对比比较矩阵的的问题： 即存在有各各元素的不不一致性，例例如：既然：所以应该有有：而不应为矩矩阵中的成对比较较矩阵比较较的次数要要求太，因：个个元素比较较次数为：次，因此，问题题是：如何何改造成对对比较矩阵阵，使由其其能确定诸诸因素对上上层因素OO的权重？对此Saooty提出出了：在成成对比较出出现不一致致情况下，计计算各因素素对因素（上上层因素）OO的权重方方法，并确确定了这种种不一致的的容许误差差范围。为此，先看看成对比较较矩阵的完完全一致性性成对比比较完全一一致性四：一致性性矩

9、阵Def：设设有正互反反成对比较较矩阵： (4)除满足：（i）正互反性：即而且还满足足：（iii）一致性性：即则称满足上上述条件的的正互反对对称矩阵AA为一致性性矩阵，简简称一致阵阵。一致性矩阵阵（一致阵阵）性质：性质1：的的秩Raank(AA)=1有唯一的非非0的最大大特征根为为n性质2：的的任一列（行行）向量都都是对应特特征根的特特征向量：即有(特征征向量、特特征值)：，则向量 满足：即：启发与思考考：既然一一致矩阵有有以上性质质，即n个元素W1, W2, W3 , Wn 构成的的向量是一致矩阵阵的特征向向量，则对对一致矩阵阵来说，可可以把一致致矩阵的特特征向量求求出之后，再再把一致矩矩阵

10、的特征征向量归一一化后得到到的向量，看成是诸诸元素W1, W2, W3 , Wn目标O的权权向量。因因此，可以以用求一致致矩阵的特特征根和特特征向量的的办法，求求出元素WW1, W2, W3 , Wn相对于目目标O的权权向量。解释：一致致矩阵即：件物体，它它们重量分分别为，将将他们两比较重量量，其比值值构成一致致矩阵，若若用重量向向量右乘，则：分析：若重量向量量未知时，则则可由决策策者对物体体之间两两两相比关系系，主观作作出比值的的判断，或或用Dellphi（调调查法）来来确定这些些比值，使使矩阵（不不一定有一一致性）为为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵，并且此（不一致）在不

11、一致的容许范围内，再依据：的特征根或和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，即当离一致性的要求不太远时，的特征根和特征值（向量）与一致矩阵的特征根和特征向量也相差不大的道理：由特征向量求权向量的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。问题：Reemarkk以上讨论的的用求特征征根来求权权向量的方方法和思路路，在理论论上应解决决以下问题题：1 一致阵的性性质1是说说：一致阵阵的最大特特征根为（即即必要条件件），但用用特征根来来求特征向向量时，应应回答充分分条件：即即正互反矩矩阵是否存存在正的最最大特征根根和正的特特征向量？且如果正正互反矩阵阵的最大特特征根时，是否为为一致阵？2 用主观判断断矩

12、阵的特特征根和特特征向量连连续逼近一一致阵的特特征根和特特征向量时时，即： 由 得到：即：是否在理论论上有依据据。3一般情情况下，主主观判断矩矩阵在逼近近于一致阵阵的过程中中，用与接接近的来代代替，即有有，这种近近似的替代代一致性矩矩阵的作法法，就导致致了产生的的偏差估计计问题，即即一致性检检验问题，即即要确定一一种一致性性检验判断断指标，由由此指标来来确定在什什么样的允允许范围内内，主观判判断矩阵是是可以接受受的，否则则，要重新新两两比较较构造主观观判断矩阵阵。此问题题即一致性性检验问题题的内容。以上三个问问题：前两两个问题由由数学严格格比较可获获得（见教教材P3225，定理理1、定理理2）

13、。第第3个问题题：Sattty给出出一致性指指标（Thh1,Thh2介绍如如下：）附：Th1：（教教材P3226，peerronnTh 比隆11970）对于正正矩阵（的所有元元素为正数数）（1）的最最大特征根根是正单根根；（2）对应应正特征向向量（的所有分分量为正数数）（3）其中：为半径径向量，是是对应的归归一化特征征向量证明：（33）可以通通过将化为为标准形证证明Th2：阶阶正互反阵阵A的最大大特征根；当时，是一一致阵五、一致性性检验一致性指标标：1一致性性检验指标标的定义和和确定的定义：当人们对复复杂事件的的各因素，采采用两两比比较时，所所得到的主主观判断矩矩阵，一般般不可直接接保证正互互

14、反矩阵就就是一致正正互反矩阵阵，因而存存在误差（及及误差估计计问题）。这这种误差，必必然导致特特征值和特特征向量之之间的误差差。此时就就导致问题题与问题之间间的差别。（上上述问题中中是主观判判断矩阵的的特征值，是带有偏差的相对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。因此，为了了避免误差差太大，就就要给出衡衡量主观判判断矩阵的的一致性的的判别准则则。因为：当主观判判断矩阵为为一致阵时时就有： 为为一致阵时时有：此时存在唯唯一的非OO特征根（由一致阵阵性质1：Rarkk(4)=1，有唯唯一非O最最大特征根根且）当主观判判断矩阵不不是一致矩矩阵时，此此时一般有有：（TTh2）此时，应有有：即： 所

15、以，可以以取其平均均值作为检检验主观判判断矩阵的的准则，一一致性的指指标，即： 显然：（1） 当时，有：， 为完全全一致性（2） 值越大，主主观判断矩矩阵的完全全一致性越差差，即：偏离离越远(用用特征向量量作为权向向量引起的的误差越大大)（3） 一般，认为为主观判断断矩阵的一致致性可以接接受，否则则应重新进进行两两比比较，构造造主观判断断矩阵。2随机一一致性检验验指标问题：实际际操作时发发现：主观观判断矩阵阵的维数越越大，判断断的一致性性越差，故故应放宽对对高维矩阵阵的一致性性要求。于于是引入修修正值来校校正一致性性检验指标标：即定义义的修正值值表为：的维数1 2 33 4 5 66 7 8

16、90.00 0.00 0.558 0.966 11.12 1.24 1.332 1.411 11.45并定义新的的一致性检检验指标为为：随机一致性性检验指标标的解释释：为确定的不不一致程度度的容许范范围，需要要确定衡量量的一致性性指示的标标准。于是是Sattty又引入入所谓随机机一致性指指标，其定定义和计算算过程为： 对固定的，随随机构造正正互反阵，其其元素从119和11中随机机取值，且且满足与的互反性性，即：，且且. 然后再计算算的一致性性指标，因因此是非常常不一致的的，此时，值相当大. 如此构造相相当多的，再再用它们的的平均值作作为随机一一致性指标标。 Sattyy对于不同同的111)，用

17、11005500个样样本计算出出上表所列列出的随机机一致性指指标作为修修正值表。3 一致性检验验指标的定定义一致性性比率。由随机性检检验指标可可知：当时，这这是因为11, 2阶阶正互反阵阵总是一致致阵。对于的成对对比较阵，将将它的一致致性指标与与同阶（指指相同）的的随机一致致性指标之之比称为一一致性比率率简称一一致性指标标，即有： 一一致性检验验指标的定定义一致性性比率定义： 当：时，认认为主观判判断矩阵的的不一致程程度在容许许范围之内内，可用其其特征向量量作为权向向量。否则则，对主观观判断矩阵阵重新进行行成对比较较，构重新新的主观判判断矩阵。注：上式的的选取是带带有一定主主观信度的的。六、标

18、度比较尺尺度解：在构造正互互反矩阵时时，当比较较两个可能能是有不同同性质的因因素和对于上层层因素O的的影响时，採採用什么样样的相对刻刻度较好，即即的元素的的值在（119）或或（1）或或更多的数数字，Saatty提提出用19尺度最最好，即取取值为19或其互互反数1，心理学学家也提出出：人们区区分信息等等级的极限限解能力为为2。可见见对阶矩阵阵，只需作作出个判断断值即可标度定 义135792，4，66，8，倒数1，因素与因素素相同重要要因素比因素素稍重要因素比因素素较重要因素比因素素非常重要要因素比因素素绝对重要要因素与因素素的重要性性的比较值值介于上述述两个相邻邻等级之间间因素与因素素比较得到到

19、判断值为为的互反数数，注：以上比比较的标度度Sattty曾用过过多种标度度比较层，得得到的结论论认为：119尺度度不仅在较较简单的尺尺度中最好好，而且比比较的结果果并不劣于于较为复杂杂的尺度。SSattyy曾用的比比较尺度为为： 13, 155, 116，, 1111，以以及 ，其中 ，其中 等共27种种比较尺度度，对放在在不同距离离处的光源源亮度进行行比较判断断，并构造造出成对比比较矩阵，计计算出权向向量。同时时把计算出出来的这些些权向量与与按照物理理学中光强强度定律和和其他物理理知识得到到的实际权权向量进行行对比。结结果也发现现19的的比较标度度不仅简单单，而效果果也较好（至至少不比其其他

20、更复杂杂的尺度差差）因而用19的标度度来构造成成对比较矩矩阵的元素素较合适。七、组合权权向量的计计算层次总总排序的权权向量的计计算层次分析法法的基本思思想：（1） 计算出下一一层每个元元素对上一一层每个元元素的权向向量def：层层次总排序序，计算同同一层次所所有元素对对最高层相相对重要性性的排序权权值。当然要先：构造下一一层每个元元素对上一一次每个元元素的成对对比较矩阵阵计算出成成对比较矩矩阵的特征征向量（和和法，根法法，幂法）由特征向向量求出最最大特征根根（由和法法，根法，幂幂法求得）用最大特征征根用方式式 及对成对比比较矩阵进进行一致性性检，并通通过。（2） 并把下层每每个元素对对上层每个

21、个元素的权权向量按列列排成以下下表格形式式：例，假假定：上层层有个元素，且且其层次总总排序权向向量为，下下层有个元素，则则按对 个元素的的单排序权权向量的列列向量为，即即有：层次层总是排序序权重（权权向量、列列向量） 计算出最大大特根（方方法：和法法、根法、幂幂法）一致性检验验一致性检验验比率检验否？注：若下下层元素与与上层元素素无关系时时，取总排排序权向量量各分量的的计算公式式：(3) 对对层次总排排序进行一一致性检验验：从高层层到低层逐逐层进行，如如果如果层次某某些元素对对单的排序序的一致性性指标为，相相应的平均均随机一致致性指标为为，则层总排排序随机一一致性比率率为：当时，认为为层次总排

22、排序里有满满意的一致致性，否则则应重新调调整判断矩矩阵的元素素取值。八、层次分分析法的基基本步骤：（S1）建建立层次结结构模型将有关因素素按照属性性自上而下下地分解成成若干层次次：同一层各因因素从属于于上一层因因素，或对对上层因素素有影响，同同时又支配配下一层的的因素或受受到下层因因素的影响响。最上层为目目标层（一一般只有一一个因素），最最下层为方方案层或对对象层/决决策层，中中间可以有有1个或几几个层次，通通常为准则则层或指标标层。当准则层元元素过多（例例如多于99个）时，应应进一步分分解出子准准则层。（S2）构构造成对比比较矩阵，以以层次结构构模型的第第2层开始始，对于从从属于（或或影响及

23、）上上一层每个个因素的同同一层诸因因素，用成成对比较法法和199比较尺度度构造成对对比较矩阵阵，直到最最下层。（S3）计计算（每个个成对比较较矩阵的）权权向量并作作一致性检检验 对每一个成成对比较矩矩阵计算最最大特征根根及对应的的特征向量量（和法、根根法、幂法法等） 利用一致性性指标，随随机一致性性指标和一一致性比率率作一致性性检验 若通过检验验（即，或或）则将上上层出权向向量归一化化之后作为为（到）的权向向量（即单单排序权向向量） 若不成立，则则需重新构构造成对比比较矩阵（S4）计计算组合权权向量并作作组合一致致性检验即层次次总排序 利用单层权权向量的权权值构组合合权向量表表：并计算算出特征

24、根根，组合特特征向量，一一致性上单 层层层 重重权 量 向下层 量层次 计算组合权权向量其中 最大特征根根和法、根法法、幂法一致性检验验 ?一致性随机机检验对照表 ？一致性比率率 若通过一致致性检验，则则可按照组组合权向量量的表示结结果进行决决策（中中最大者者的最优），即即： 若未能通过过检验，则则需重新考考虑模型或或重新构造造那些一致致性比率，较大的成对比较矩阵九、特征根根的近似求求法（实用用算法）层次分析法法的基本思思路是计算算上层每个个元素对下下一层次各各元素的权权向量（即即最大特征征根对应的特征征向量），以以及组合权权向量及一一致性检验验问题。计算判断矩矩阵最大特特征根和对对应阵向量量

25、，并不需需要追求较较高的精确确度，这是是因为判断断矩阵本身身有相当的的误差范围围。而且优优先排序的的数值也是是定性概念念的表达，故故从应用性性来考虑也也希望使用用较为简单单的近似算算法。常用用的有以下下求特征根根的近似求求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体如如下：1“和法法”求最大特特征根和对对应特征向向量（近似似解）（S1）将将矩阵的每每一列向量量的归一化化得：（S2）对对按行求和和得：（S3）将将归一化，即即有：，则则有特征向向量：（S4）计计算与特征征向量对应应的最大特特征根的近近似值：此方法：实实际上是将将的列向量量归一化后后取平均值值作为的特特征向量。解释：当为为一致矩阵阵时，它

26、的的每一列向向量都是特特征向量可以在的不不一致性不不严重时，取取的列向量量（归一化化后）的平平均值作为为近似特征征向量是合合理的（有有依据的）。2“根法法”求最大特特征根特征征向量近似似值：步骤与“和和法”相同，只只是在（SS2）时：对归一化化后的列向向量按行“求和”改为按行行“求积”再取次方根根，即：。即有具体步步骤：(S1)将将矩阵的每每一列向量量归一化得得：（S2）对对归一化以以后的列向向量各元素素： 按行“求和和”并开次方根根得：（S3）再再将归一化化得：得到特征向向量近似值值：（S4）计计算最大特特征根：作为最大大特征根的的近似值。注：“根法法”是将“和法”中求列向向量的算术术平均值

27、改改为求几何何平均值。3“幂法法”求最大特特征根：（S1）任任取维归一一化初始向向量（S2）计计算（S3）归归一化，即即令：（S4）对对预先给定定的，当时，即为所所求的特征征向量；否否则返回（SS2）（S5）计计算最大特特征根，以上用幂法法求最大特特征根对应应特征向量量的迭代方方法，其收收敛性由TTH1（教教材P3225）中的的3），其其中，是对应的归归一化向量量特征。（证明：可可以将化为为标准形证证明）保证证。任意选选取，也可可以取由“根法”、“和法”得到的注：在以上上求特征根根和特向量量的方法中中“和法”最简单。例：在旅游游问题中，求求目标层到到准则层的的成对比较较矩阵为的的特征向量量和最

28、大特特征根：选择旅游地 居住旅途景色费用饮食准则层：P1P2P3方案层：利用“和法法”求的特征向量量和特征根根（S1）将将的元素按按列归一化化得：（S2）将将中元素按行行求和得各各行元素之之和：（S3）再再将上述矩矩阵向量归归一化得到到特征向量量近似值， 特征向向量其中 （S4）计计算与特征征向量相对对应最大特特征根（的的近似值）故有最大特特征根对一致性检检验指标：故通过检验验。十、应用实实例对前面旅游游问题进行行决策选择旅游地点 目目标层： 00.2622 0.4774 0.0999 0.1002 00.0555旅途B5饮食B4居住B3费用B2景色B1准则层： 00.5955 0.129 0

29、.1129 0.2777P1P2P3决策层：已知：目目标对准则则的权重向向量为：（由前面已已算出），并并已通过一一致性检验验。准则相对对于的成对对比较矩阵阵为对作用的成成对比较矩矩阵为：同样对作用用的成对比比较矩阵为为： 解：对以上每个个比较矩阵阵都可计算算出最大特特征根及对对象的特征征向量（即即权重向量量），并进进行一致性性检验：以为例用“和法”求出的特征征根及对立立的特征向向量（S1）对对按列归一一化得：（S2）对对按列归一一化反向量量再按行求求和：（S3）对对按行归一一化得到特特征向量（S4）计计算特征根根一致性检验验：故通过检验验，既成对对矩阵可以以接受。同样步骤对对，对的影响响用特征

30、向量量表示最大特征根根用：表示示并分别计算算一致性检检验指标：列表如下：权 准则层值决策层B1 B22 B3 B4 B55组合权向量量0.2622 00.4744 00.0555 00.0999 00.10220.5955 00.0822 00.4299 00.6333 00.16660.2777 00.2366 00.4299 00.1933 00.16660.1299 00.6822 00.1422 00.1755 00.66883.0077 33.0022 3 33.0099 30.00335 0.0001 0 00.0055 00.58 0.588 0.588 0.588 00.580.0066其中的计算算公式为：因此层次总总排序：组组合权向量量为：故最终决策策为首选，次之之，最后。组合一致性性检验：由可知：组合一致致性检验结结果为层次总排排序的一致致性检验：故一致性性检验通过过。最层次总排排序为最决策为：首选，次之之，最后。11.25.202216:2016:20:4622.11.254时20分4时20分46秒11月. 25, 2225 十一月 20224:20:46 下午16:20:462022年11月25日星期五16:20:46